分析 感觉这道题的计数方法好厉害.. 一个直观的思路是,把题目转化为求至少有\(k\)个极大的数的概率. 考虑这样一个事实,如果钦定\((1,1,1),(2,2,2),...,(k,k,k)\)是那\(k\)个极大值的位置,并且\(val(1,1,1) < val(2,2,2) < ... < val(k,k,k)\).我们考虑依次确定这些值,显然\(val(1,1,1)\)的值是和它至少有一维相同的\(n \times m \times l - (n-1) \times (m-1) \…

[CTS2019]随机立方体(容斥) 题面 LOJ 洛谷 题解 做这道题目的时候不难想到容斥的方面. 那么我们考虑怎么计算至少有\(k\)个极大值的方案数. 我们首先可以把\(k\)个极大值的位置给确定出来,方案数是\(\displaystyle {n\choose k}{m\choose k}{l\choose k}(k!)^3\),乘上\(k!\)是为了确定之间的顺序关系,即我们先确定\(xyz\)三维,然后把这三维要一一对应到点才行.假设这个值是\(w[k]\). 剩下要填的是两个部分,一…

洛谷题面传送门 二项式反演好题. 首先看到"恰好 \(k\) 个极大值点",我们可以套路地想到二项式反演,具体来说我们记 \(f_i\) 为钦定 \(i\) 个点为极大值点的方案数,那么 \[ans=\dfrac{1}{(nml)!}\sum\limits_{i=k}^{\min(n,m,l)}f_i(-1)^{i-k}\dbinom{i}{k} \] 考虑怎么求 \(f_i\),首先我们肯定要选出 \(i\) 个极大的位置.我们假设 \(g_i\) 为选出 \(i\) 个极大的位置的…

题目 ​ 一个 $ n m l $ 的立方体等概率填入 $ 1-nml $ ; ​ 定义一个位置是极大的当且仅当这个位置比三位坐标的至少一维与之相等的位置的值都大． ​ 询问极大值恰好有\(k\)个的概率 ​ $1 \le n,m,l \le 5000000  ,  1 \le k \le 100 , 1 \le T \le 10 $ 题解 由于平时不注意部分分所以CTS考得很难看,会改一改写博客的风格QAQ 二项式反演 \[ \begin{align} f_i = \sum_{j\le i}(…

Description Solution 记\(N=min(n,m,l)\) 首先考虑容斥,记\(f(i)\)为至少有i个位置是极大的,显然极大的位置数上界是N. 那么显然\(Ans=\sum\limits_{i=k}^{N}(-1)^{i-k}f(i){i \choose k}\) 现在来计算\(f\) 我们考虑立方体中哪些位置是极大的,显然这些极大的位置三维坐标都互不相同,然后剩下的怎么选概率都是一样的. 将这i个位置按值从小到大排起来,那么有序的选出\(i\)个位置的方案数就是\(n^{i…

题目传送门 https://loj.ac/problem/3119 现在 BZOJ 的管理员已经不干活了吗,CTS(C)2019 和 NOI2019 的题目到现在还没与传上去. 果然还是 LOJ 好. 题目 恰好有 \(k\) 个极大数不太好求,我们还是转化成二项式反演. 然后就变成了给定一个点的集合 \(S\),求钦定 \(S\) 中的点是极大点的方案数.可以发现 \(S\) 中的点因为必须要保证没有一维的坐标相同,所以到底是哪些点是不重要的,有用的只有 \(|S|\).所以问题转化为钦定了…

传送门 为了方便我们设\(N\)是\(N,M,L\)中的最小值,某一个位置\((x,y,z)\)所控制的位置为集合\(\{(a,b,c) \mid a = x \text{或} b = y \text{或} c = z\}\) 发现恰好\(k\)个位置不大好算,考虑容斥计算强制\(k\)个位置是极大值的概率 对于极大值所在位置的数\(a_1,a_2,...,a_k\),假设\(a_1 > a_2 > ... > a_k\),那么我们还需要满足\(a_1 \geq a_1\)所在位置控制的…

「CTS2019 | CTSC2019」随机立方体 据说这是签到题,但是我计数学的实在有点差,这里认真说一说. 我们先考虑一些事实 如果我们在位置\((x_0,y_0,z_0)\)钦定了一个极大数\(p\),那么我们需要把\(x=x_0\),\(y=y_0\)与\(z=z_0\)的三个平面的交中填上比\(p\)小的数字,这样,剩下的正方体就成了一个长宽高分别为\((n-1)(m-1)(l-1)\)的子问题了. 考虑到我们使用的是数字的相对大小关系,而不是数字的值,也就是说,任意的\(k\)个数字…

题目传送门:LOJ #3119. 题意简述: 题目说的很清楚了. 题解: 记恰好有 \(i\) 个极大的数的方案数为 \(\mathrm{cnt}[i]\),则答案为 \(\displaystyle\frac{\mathrm{cnt}[k]}{(nml)!}\). "恰好"这个词非常的难受,我们考虑容斥: 记 \(\mathrm{f}[i]\) 为存在 \(i\) 个极大的数的方案数,若恰好有 \(j\) 个极大的数,会被相应地统计 \(\displaystyle\binom{j}{i…

problem \(\mathtt {loj-3119}\) 题意概要:一个 \(n\times m\times l\) 的立方体,立方体中每个格子上都有一个数,如果某个格子上的数比三维坐标中至少有一维相同的其他格子上的数都要大的话,我们就称它是极大的.将 \(n\times m\times l\) 的排列随机填入这些格子,求恰有 \(k\) 个极大的数的概率.\(T\) 组数据. \(T\le 10,\ 1\le n,m,l\le 5\times 10^6,\ 1\le k \le 100\)…