矩阵乘法递推的新姿势. 叉姐论文里有讲到 利用特征多项式进行递推,然后可以做到k^2logn #include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> #define ll long long #define F(i,j,k) for (int i=j;i<=k;++i) #define D(i,j,k) for (int i=j;i>=k;--i)…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4161 还是不能理解矩阵…… 关于不用矩阵理解的方法:https://blog.csdn.net/joker_69/article/details/80869814 关于这道题:https://blog.csdn.net/sdfzyhx/article/details/63697273 现在只会 O(k2logn) 的做法. 很多题解的写法是快速幂到多项式的 n-(k-1) 次,用递推式暴力…

Description 给定数列 {hn}前k项,其后每一项满足 hn = a1h(n-1) + a2h(n-2) + ... + ak*h(n-k) 其中 a1,a2...ak 为给定数列.请计算 h(n),并将结果对 1000000007 取模输出. Solution 常系数线性齐次递推 首先 \(A\) 的特征多项式是 \(x^k-\sum_{i=1}^{k}a_i*x^{k-i}\) 根据Cayley-Hamilton定理可以得到 \(f(A)=0\) \(A^n=A^n\mod f(A…

并不会递推,不过板子挺好背的,只要是类似的递推都能用,但是注意c数组不能使负数 如果除了递推还有常数项的话,就用f[i]-f[i-1]的方式消掉常数项(然后多一个f[i-1]的项) #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstring> using namespace std; const int N=4005,mod=1000000007; int n,m,a[N],ans…

[BZOJ4161]Shlw loves matrixI (常系数齐次线性递推) 题面 BZOJ 题解 \(k\)很小,可以直接暴力多项式乘法和取模. 然后就是常系数齐次线性递推那套理论了,戳这里 #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; #define MOD 1000000007 #define MAX 5000 void add(int &x,int…

Time Limit: 30 Sec  Memory Limit: 128 MB Description 给定矩阵 M,请计算 M^n,并将其中每一个元素对 1000000007 取模输出. Input 第 1 行包含两个整数 n,k,其中 n 使用二进制表示,可能含有前导零; 余下 k 行描述了一个 k * k 的矩阵 M. Output 输出题目描述中要求的矩阵,格式同输入. Sample Input 010 3 5 9 5 5 4 0 8 8 8 Sample Output 110 121…

题目描述 给定数列 {hn}前k项,其后每一项满足 hn = a1h(n-1) + a2h(n-2) + ... + ak*h(n-k) 其中 a1,a2...ak 为给定数列.请计算 h(n),并将结果对 1000000007 取模输出. 解法 一个显然的思路就是矩阵乘法,但这样的话显然超时. 实际上,我们还可以继续对这个矩阵乘法进行优化. 首先,由于这是常系数齐次线性递推式,简单来说就是: \[f_i=\sum_{j=1}^k a_i*f_{i-j}\] 然后,我们需要引进特征多项式这个概念…

Description 给定数列 {hn}前k项,其后每一项满足 hn = a1*h(n-1) + a2*h(n-2) + ... + ak*h(n-k) 其中 a1,a2...ak 为给定数列.请计算 h(n),并将结果对 1000000007 取模输出. Input 第 1 行包含两个整数 n,k 第 2 行包含 k 个整数 a1,a2...ak 第 3 行包含 k 个整数 h1,h2...hk Output 一行一个整数 hn mod 1000000007 常系数线性齐次递推可转为多项式幂…

Description 神校XJ之学霸兮,Dzy皇考曰JC. 摄提贞于孟陬兮,惟庚寅Dzy以降. 纷Dzy既有此内美兮,又重之以修能. 遂降临于OI界,欲以神力而凌♂辱众生. 今Dzy有一魞歄图,其上有\(N\)座祭坛,又有\(M\)条膴蠁边. 时而Dzy狂WA而怒发冲冠,神力外溢,遂有\(K\)条膴蠁边灰飞烟灭. 而后俟其日A50题则又令其复原.(可视为立即复原) 然若有祭坛无法相互到达,Dzy之神力便会大减,于是欲知其是否连通. Input 第一行\(N,M\). 接下来\(M\)行\(x,…

题链: http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3309 题解: 莫比乌斯反演,线筛 化一化式子: f(x)表示x的质因子分解中的最大幂指数 $\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m f(gcd(i,j))$ $\quad\quad=\sum_{g=1}^{n}f(g)\sum_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor} \mu(d)\lfloor \frac{n}{gd} \rfloor\lfloo…

BZOJ 3561 DZY Loves Math VI 求\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\text{lcm}(i,j)^{\gcd(i,j)}\),钦定\(n\leq m\) \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(\frac{ij}{{\gcd(i,j)}})^{\gcd(i,j)}\) 按套路,提出\(\gcd(i,j)\),枚举的\(i\),\(j\)都除\(g\) \(\sum_{g=1}^ng^g\sum_{i=1}^{n/g}\su…

3309: DZY Loves Math Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 512 MBSubmit: 761  Solved: 401[Submit][Status][Discuss] Description 对于正整数n,定义f(n)为n所含质因子的最大幂指数.例如f(1960)=f(2^3 * 5^1 * 7^2)=3, f(10007)=1, f(1)=0.给定正整数a,b,求sigma(sigma(f(gcd(i,j)))) (i=1..a, j=1.…

3512: DZY Loves Math IV 题意:求\(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \varphi(ij)\),\(n \le 10^5, m \le 10^9\) n较小,考虑写成前缀和的形式,计算\(S(n,m)=\sum_{i=1}^m \varphi(in)\) 一开始想出 \[ n= \prod_i p_i,\ \varphi(in) = \varphi(i) \cdot \varphi(\frac{n}{d})\cdot d,\ d=(n,i) \] 比较…

来自FallDream的博客,未经允许,请勿转载,谢谢 给定矩阵k*k的矩阵M,请计算 M^n,并将其中每一个元素对 1000000007 取模输出. k<=50 n<=2^10000 考虑求出矩阵的特征多项式,这点我们可以通过带入$\lambda=x0..xk$,求出矩阵的行列式,然后通过插值求出多项式. 然后搬出一个很厉害的定理:f(A)=0 其中f(x)是特征多项式,A是矩阵,所以我们可以把所求的$x^{n}$对f(x)取膜,从而让答案变成一个k-1次多项式.然后我们把原矩阵带进去就行了…

来自FallDream的博客,未经允许,请勿转载,谢谢. 给定数列 {hn}前k项,其后每一项满足 hn = a1*h(n-1) + a2*h(n-2) + ... + ak*h(n-k) 其中 a1,a2...ak 为给定数列.请计算 h(n),并将结果对 1000000007 取模输出. n<=10^9,k<=2000   很裸的特征多项式优化矩阵乘法,打个模版. #include<iostream> #include<cstdio> #define mod 100…

给定n个正整数a1,a2,…,an,求 的值(答案模10^9+7). Input 第一行一个正整数n. 接下来n行,每行一个正整数,分别为a1,a2,…,an. Output 仅一行答案. Sample Input 3 6 10 15 Sample Output 1595 Hint 1<=n<=10^5,1<=ai<=10^7.共3组数据. 题目大意 (题目过于简洁,完全不需要大意) 题目虽然很简洁,但是处处挖着坑等你跳. 原计划两个小时把今天讲的例题A完,实际上两个小时都被这道题…

传送门 利用Cayley-Hamilton定理,用插值法求出特征多项式 \(P(x)\) 然后 \(M^n\equiv M^n(mod~P(x))(mod~P(x))\) 然后就多项式快速幂+取模 最后得到了一个关于 \(M\) 的多项式,代入 \(M^i\) 即可 # include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int mod(1e9 + 7); inline int Pow(ll x, i…

DZY Loves Math Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 512 MBSubmit: 1303  Solved: 819[Submit][Status][Discuss] Description 对于正整数n,定义f(n)为n所含质因子的最大幂指数.例如f(1960)=f(2^3 * 5^1 * 7^2)=3, f(10007)=1, f(1)=0.给定正整数a,b,求sigma(sigma(f(gcd(i,j)))) (i=1..a, j=1..b).…

3462: DZY Loves Math II Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 512 MBSubmit: 211  Solved: 103[Submit][Status][Discuss] Description Input 第一行,两个正整数 S 和 q,q 表示询问数量.接下来 q 行,每行一个正整数 n. Output 输出共 q 行,分别为每个询问的答案. Sample Input 30 3 9 29 1000000000000000000 Samp…

题目描述 dC 在秒了BZOJ 上所有的数论题后,感觉萌萌哒,想出了这么一道水题,来拯救日益枯竭的水题资源.给定一个长度为 n的正整数序列A,有q次询问,每次询问一段区间内所有元素乘积的φ(φ(n)代表1~n 中与n互质的数的个数) .由于答案可能很大,所以请对答案 mod 10610^610​6​​ + 777. (本题强制在线,所有询问操作的l,r都需要 xor上一次询问的答案 lastans,初始时,lastans = 0) 输入格式 第一行,两个正整数,N,Q,表示序列的长度和询问的个数…

Description 神校XJ之学霸兮,Dzy皇考曰JC. 摄提贞于孟陬兮,惟庚寅Dzy以降. 纷Dzy既有此内美兮,又重之以修能. 遂降临于OI界,欲以神力而凌♂辱众生. 今Dzy有一魞歄图,其上有\(N\)座祭坛,又有\(M\)条膴蠁边. 时而Dzy狂WA而怒发冲冠,神力外溢,遂有\(K\)条膴蠁边灰飞烟灭. 而后俟其日A50题则又令其复原.(可视为立即复原) 然若有祭坛无法相互到达,Dzy之神力便会大减,于是欲知其是否连通. Input 第一行\(N,M\). 接下来\(M\)行\(x,…

题意:\(f(n)\)为n的质因子分解中的最大幂指数,求\(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m f(gcd(i,j))\) 套路推♂倒 \[ \sum_{D=1}^n \sum_{d|D} f(d)\mu(\frac{D}{d}) \frac{n}{D} \frac{m}{D} \] 这次函数是\(g = (f*\mu )\),\(f\)显然不是积性函数,但我们照样可以用线性筛 具体做法我晚上回家再补吧草稿纸忘带了... 补: \(g(p^a)=p-(p-1)\) 因为卷了\(\…

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3569 题意:多次询问一个无向连通图当图中某k条边消失时这个图是否联通 强制在线 太神啦啦啦啦啦啦啦啦啦拉拉啦啦啦啦 求一棵生成树,给所有的非树边随机分配一个权值,树边的权值为所有覆盖它的非树边的权值的异或和 这样做之后,去掉k条边后原图不连通,当且仅当k条边的一个子集权值异或和为0 只有树边和覆盖它的非树边都消失了或者根本没有非树边才会造成非联通 因为权值是随机的,冲突的可能性很小.... 求线性…

把我写吐了 太弱了 首先按照欧拉函数性质 我只需要统计区间不同质数个数就好了 一眼主席树 其次我被卡了分解质因数这里 可以通过质数筛时就建边解决 不够灵性啊,不知道如何改 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int N = 1e6+1000; const int H = 5e4+5; const int M = H*100; const int mod = 1e6+777; int i…

题链: http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3561 题解: 莫比乌斯反演 $$\begin{aligned}ANS&=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}lcm(i,j)^{gcd(i,j)}\\&=\sum_{g=1}^{min(n,m)}\sum_{i=1}^{\frac{n}{g}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{g}}g^gi^gj^g[gcd(i,j)==1]\\&=\sum_{g…

题链: http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3512 题解: $$求ANS=\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}\phi(ij)\quad N\leq 10^5\;M\leq 10^9$$ 杜教筛 因为N比较小,所以从这里入手: 设$sum(n,M)=\sum_{i=1}^{M}\phi(ni)$ 则答案为$ANS=\sum_{n=1}^{N}sum(n,M)$ 考虑如何求$sum(n,M)$ 首先按照唯一分解定理,…

Description 给定n,m,求 模10^9+7的值. Input 仅一行,两个整数n,m. Output 仅一行答案. Sample Input 100000 1000000000 Sample Output 857275582 数据规模: 1<=n<=10^5,1<=m<=10^9,本题共4组数据. Solution 这题还真是要一点函数基础 设 \(S(n,m)=\sum_{i=1}^m\varphi(in)\) ,所以答案就是 \(\sum_{i=1}^nS(i,m)…

对于正整数n,定义f(n)为n所含质因子的最大幂指数.例如f(1960)=f(2^3 * 5^1 * 7^2)=3, f(10007)=1, f(1)=0.给定正整数a,b,求: $$\sum_{i=1}^{i<=a}\sum_{j=1}^{j<=b}f(gcd(i,j))$$ bzojP3309 http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3309 化式子: $$\sum_{i=1}^{i<=a}\sum_{j=1}^{j<=b…

Description 给定n,m,求 模10^9+7的值. Solution 设 \(S(n,m)\) 表示 \(\sum_{i=1}^{m}\phi(n*i)\) \(Ans=\sum_{i=1}^{n}S(i,m)\) \(S(n,m)=\sum_{i=1}^{m}\phi(n*i)\) 如果 \(\mu(n)!=0\) 则有 \(\sum_{i=1}^{m}\phi(\frac{n}{gcd(i,n)})*\phi(i)*gcd(i,n)\) (因为要保证除完\(gcd\)之后,两数不含…

题目链接:http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3569 Description 神校XJ之学霸兮,Dzy皇考曰JC. 摄提贞于孟陬兮,惟庚寅Dzy以降. 纷Dzy既有此内美兮,又重之以修能. 遂降临于OI界,欲以神力而凌♂辱众生.   今Dzy有一魞歄图,其上有N座祭坛,又有M条膴蠁边. 时而Dzy狂WA而怒发冲冠,神力外溢,遂有K条膴蠁边灰飞烟灭. 而后俟其日A50题则又令其复原.(可视为立即复原) 然若有祭坛无法相互到达,Dzy之神…