题目链接:http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#!#problemId=1079 一个正整数K,给出K Mod 一些质数的结果,求符合条件的最小的K.例如,K % 2 = 1, K % 3 = 2, K % 5 = 3.符合条件的最小的K = 23. 收起   输入 第1行:1个数N表示后面输入的质数及模的数量.(2 <= N <= 10) 第2 - N + 1行,每行2个数P和M,中间用空格分隔,P是质数,M是K % P的结果.(2 <…

中国剩余定理(CRT) & 扩展中国剩余定理(ExCRT)总结 标签:数学方法--数论 阅读体验:https://zybuluo.com/Junlier/note/1300035 前置浅讲 前置知识点:\(Exgcd\) 这两个东西都是用来解同余方程组的 形如 \[ \left\{ \begin{aligned} x\equiv B_1(mod\ W_1)\\ x\equiv B_2(mod\ W_2)\\ \cdots\\ x\equiv B_n(mod\ W_n)\\ \end{aligne…

前言: 中国剩余定理又名孙子定理.因孙子二字歧义,常以段子形式广泛流传. 中国剩余定理并不是很好理解,我也理解了很多次. CRT 中国剩余定理 中国剩余定理,就是一个解同余方程组的算法. 求满足n个条件的最小的x. 看起来很麻烦. 先找一个特殊情况:$m_1,m_2,...m_n$两两互质. 这个时候,构造$M=m_1*m_2*...m_n$; 令$M_i=M/m_i$; 所以,构造$n$个数,其中第$i$个数是除$i$之外的其他所有数的倍数,并且第$i$个数$mod m_i =1$ 即:$M_…

今天在$xsy$上翻题翻到了一道扩展CRT的题,就顺便重温了下(扩展CRT模板也在里面) 中国剩余定理是用于求一个最小的$x$,满足$x\equiv c_i \pmod{m_i}$. 正常的$CRT$有一个微小的要求,就是$\forall i,j (m_i,m_j)=1$. 在某些情况下,这个式子无法被满足,这个时候就要用扩展$CRT$来求解了. 我们先假设我们只有两条方程要被求解,它们分别是: $\begin{cases} x\equiv c_1 \pmod{m_1}\\x\equiv c_2…

地址:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5768 Lucky7 Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others) Problem Description When ?? was born, seven crows flew in and stopped beside him. In its childhood, ?? had be…

好久没写了,写一篇凑个数. 题目分析: 这题不难想,讲一下中国剩余定理怎么扩展. 考虑$$\left\{\begin{matrix}x \equiv a\pmod{b}\\ x \equiv c\pmod{d}\end{matrix}\right.$$ 不难发现需要满足$gcd(b,d)|(c-a)$才有解. 结合后的模数一定是$lcm(b,d)$.然后扩展gcd合并就行了. 中间过程会超过$10^18$,需要快速乘. 代码: #include<bits/stdc++.h> using nam…

中国剩余定理&扩展中国剩余定理 NOIP考完回机房填坑 ◌ 中国剩余定理 处理一类相较扩展中国剩余定理更特殊的问题: 在这里要求 对于任意i,j(i≠j),gcd(mi,mj)=1 (就是互素) 不互素的话就只能用扩展算法了……这也是中国剩余定理与其扩展算法的主要区别. 另外 中国剩余定理 和 扩展中国剩余定理 似乎没有什么关系,除了解决的问题比较相似,所以我就分开讲了. ▫算法 举一个比较常用的例子(出自<九章算术>),求正整数x满足: 先计算 3,5,7 的最小公倍数为 105 再…

P4777 [模板]扩展中国剩余定理(EXCRT) excrt模板 我们知道,crt无法处理模数不两两互质的情况 然鹅excrt可以 设当前解到第 i 个方程 设$M=\prod_{j=1}^{i-1}b[j]$ ,$ res$是前$ i-1 $个方程的最小解 则$ res+x*M$ 是前 $i-1 $个方程的通解 那么我们求的就是 $res+x*M ≡ a[i] (mod b[i])$ $<=> x*M - y*b[i] = a[i]-res$ 用exgcd求出的解为 t (当且仅当 gcd…

0.引子 每一个讲中国剩余定理的人,都会从孙子的一道例题讲起 有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何? 1.中国剩余定理 引子里的例题实际上是求一个最小的x满足 关键是,其中r1,r2,--,rk互质 这种问题都有多解,每一个解都为最小的解加上若干个lcm(r1,r2,...,rk),这个不用我证了吧(-_-||) 解决这个问题的方法是构造法, 先构造k个数 满足, 这样就保证 ,但是由于 bi 乘了除 ri 以外所有 r,所以bi模其它的 r 都为 0, 再把所有 b…

题意:求解一般模线性同余方程组 解题关键:扩展中国剩余定理求解.两两求解. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {r_1}\,\bmod \,{m_1}}\\{x = {r_2}\,\bmod \,{m_2}}\end{array}} \right.$ 为了代码的符号清晰,将转化后的系数都为正,故如下设方程. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {r_1} - {k_1}{m_1}}\\{x = {r_2} + {k…