P4240 毒瘤之神的考验 题目背景 \(\tt{Salamander}\)的家门口是一条长长的公路. 又是一年春天将至,\(\tt{Salamander}\)发现路边长出了一排毒瘤! \(\tt{Salamander}\)想带一些毒瘤回家,但是,这时毒瘤当中钻出来了一个毒瘤之神! 毒瘤之神:你想要带毒瘤走吗?想要带走毒瘤,就必须回答我的问题!如果答不出来的话,你还是乖乖回家吧! 题目描述 毒瘤之神会问\(T\)次,每次给定\(n\),\(m\),\(\tt{Salamander}\)需要回答出…

洛谷题面传送门 先扯些别的. 2021 年 7 月的某一天,我和 ycx 对话: tzc:你做过哪些名字里带"毒瘤"的题目,我做过一道名副其实的毒瘤题就叫毒瘤,是个虚树+dp ycx:还有毒瘤之神的考验 tzc:???那是个啥? ycx:一道数论水题 然后我便做到了这个题,然后却发现它一点也不水-- 跑题了跑题了 首先我们显然不可能硬着头皮算 \(\varphi(ij)\),肯定要想办法将 \(\varphi(ij)\) 中的 \(i,j\) 独立开来.通过这题的套路可知 \(\var…

题目链接 洛谷P4240 题解 式子不难推,分块打表真的没想到 首先考虑如何拆开\(\varphi(ij)\) 考虑公式 \[\varphi(ij) = ij\prod\limits_{p | ij}\frac{p - 1}{p}\] 而 \[ \begin{aligned} \varphi(i)\varphi(j) &= i\prod\limits_{p | i}\frac{p - 1}{p} j \prod\limits_{p | j}\frac{p - 1}{p} \\ \varphi(i…

题目大意:略 题面传送门 果然是一道神duliu题= = 出题人的题解传送门 出题人的题解还是讲得很明白的 1.关于$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\varphi (i,j)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\frac{\varphi (i)\varphi (j)gcd(i,j)}{\varphi (gcd(i,j))}$的证明,lgl神犇提供了一种方法 假设现在$gcd(i,j)$中有一个…

传送门 首先有\(\varphi(ij) = \frac{\varphi(i) \varphi(j) \gcd(i,j)}{\varphi(\gcd(i,j))}\),把欧拉函数的定义式代入即可证明 然后就可以开始推式子(默认\(n \leq m\)): \(\begin{align*} \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^m \varphi(ij) &= \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^m \frac{\var…

题目 P4240 毒瘤之神的考验 神仙题\(emmm\) 前置 首先有一个很神奇的性质: \(\varphi(ij)=\dfrac{\varphi(i)\varphi(j)gcd(i,j)}{\varphi(gcd(i,j))}\) 证明: \[\begin{aligned} \varphi(i)\varphi(j) &= i\prod\limits_{p|i}\frac{p-1}{p}j\prod\limits_{p|j}\frac{p-1}{p}\\ &= ij\prod\limits…

题目 设d(x)为x的约数个数,给定N.M,求\(\sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{M} d(ij)\) 输入格式 输入文件包含多组测试数据.第一行,一个整数T,表示测试数据的组数.接下来的T行,每行两个整数N.M. 输出格式 T行,每行一个整数,表示你所求的答案. 输入样例 2 7 4 5 6 输出样例 110 121 提示 1<=N, M<=50000 1<=T<=50000 题解 好神的题[是我太弱吧] 首先上来就伤结论.. 题目所求 \[ans…

感觉这题真的特别有意思,涉及了 OI 中很多非常有意思.非常美的手法,比如--平衡两部分的时间复杂度.\(n \ln n\) 的那个 Trick等等,真的一种暴力的美学. 题目大意: 多组询问,求 \(f_{n,m}=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m \varphi(i\cdot j)\),\(1 \le n,m \le 1e5\),\(T \le 1e4\). 解法: 这里用一个套路一点的式子:\(\varphi(i\cdot j)=\frac{\v…

传送门 思路 很明显的一个思路:先搞出有多少种珠子,再求有多少种项链. 珠子 考虑这个式子: \[ S3=\sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^a\sum_{k=1}^a [\gcd(i,j,k)==1] \] 显然可以莫比乌斯反演一波,但这个是对的吗? 当有两个数字相同时只被算了3遍,而三个都相同的只被算了一遍. \[ S2=\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^a [\gcd(i,j)==1] \] 显然有\(S1=1\),那么就会得到最终答案: \[ ans=\frac…

点此看题面 大致题意: 求\(\sum_{x=1}^N\sum_{y=1}^MIsPrime(gcd(x,y))\). 莫比乌斯反演 听说此题是莫比乌斯反演入门题? 一些定义 首先,我们可以定义\(f(d)\)和\(F(d)\)如下: \[f(d)=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M[gcd(i,j)==d]\] \[F(d)=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M[d|gcd(i,j)]\] 通过定义,不难发现: \[F(n)=\sum_{n|d}f(d)=\lfloo…