题意 满足$b_1 < b_2 < \dots < b_k$且$a_{b_1} \geqslant a_{b_2} \geqslant \dots \geqslant a_{b_k}$ Sol 组合数取模? 肯定考虑Lucas定理 考虑Lucas定理在最后一步肯定会化为$C(1, 1), C(1, 0), C(0, 0), C(0, 1)$. 很显然$C(0,1)$不存在,而其他的都等于$1$,因此当最后分解为$C(0, 1)$的时候不满足条件. 具体怎么判断呢?观察上式可以得到一个普遍…

luogu 这里的组合数显然要用\(\text{lucas}\)定理来求,所以考虑\(\text{lucas}\)定理的本质,即把\(n,m\)分别拆分成\(p\)进制串\(\{a\}\{b\}\),然后\(\binom{n}{m}\mod p=\prod_i \binom{a_i}{b_i}\mod p\) 这题里\(p=2\),那么最后的\(\binom{n}{m}\)要为\(1\),当且仅当\(m\)的二进制串每一位\(\le n\)二进制串的对应位,这相当于\(n\ \&\)(按位与)\…

传送门 看到组合数在模 $2$ 意义下的乘积,考虑用 $lucas$ 定理把组合数拆开 $lucas$ 告诉我们,$C(n,m)$ 在模 $k$ 意义下的值,相当于 $n,m$ 在 $k$ 进制下每一位的组合数分别相乘的积在模 $k$ 意义下的值 就是若 $n=\sum_{i=0}a[i]k^i$,$m=\sum_{i=0}b[i]k^i$,其中 $a[i],b[i] \in [0,k-1]$ ,那么 $C(n,m) \equiv \prod_{i=0}C(a[i],b[i])\ \ (mod\…

BZOJ4903 UOJ300 CTSC2017 吉夫特 弱弱地放上题目链接 Lucas定理可以推一推,发现C(n,m)是奇数的条件是n" role="presentation">nn&m==m" role="presentation">m==mm==m,也就是说n是m的子集,这不就显然了吗 非常友好的枚举子集DP f[i]表示以i结尾的不下降序列的方案数什么的 #include<bits/stdc++.h> us…

Description: 给定一个序列\(a_1,a_2,a_3...a_n\) 求有多少个不上升子序列: \(a_{b1},a_{b_2}...\) 满足 \(C_{a_{b1}}^{a_{b2}}*C_{a_{b2}}^{a_{b3}}*.....mod\ 2 >0\) 输出对\(10^9+7\)取模的结果 Hint: $ 1 ≤ n ≤ 211985, 1 ≤ ai ≤ 233333​\(.所有的\) a_i ​$互不相同 Solution: 由\(Lucas\)定理: $ C_n^m=C…

题目链接 首先\(C(n,m)\)为奇数当且仅当\(n\&m=m\). 简要证明: 因为是\(mod\ 2\),考虑Lucas定理. 在\(mod\ 2\)的情况下\(C(n,m)\)最后只会化成4种情况:\(C(0,1),C(0,0),C(1,0),C(1,1)\). 后三种情况都是1,\(C(0,1)\)不存在(=0).所以如果\(C(n,m)mod\ 2\)为偶数,那么在Lucas的过程中一定出现了\(C(0,1)\). \(mod\ 2\)的过程容易想到位运算. 由\(C(n,m)mod…

题目传送门 戳此处转移 题目大意 给定一个长为$n$的序列,问它有多少个长度大于等于2的子序列$b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{k}$满足$\prod_{i = 2}^{k}C_{b_{i - 1}}^{b_{i}} \equiv 1 \pmod{2}$.答案模$10^{9} + 7$ 考虑限制条件,即前后两个数$b_{i - 1}, b_{i}$,它们要满足$C_{b_{i - 1}}^{b_{i}} \equiv 1\pmod{2}$. 这样不好处理,考虑使用Lucas定理…

http://uoj.ac/problem/300 预备知识: C(n,m)是奇数的充要条件是 n&m==m 由卢卡斯定理可以推出 选出的任意相邻两个数a,b 的组合数计算C(a,b)必须是奇数 所以可以设dp[i][j] 表示前i个数里面,选的最后一个数是第j个数的方案数 转移的时候,枚举前i-1个数选的最后一个数k, 若C(k,i)是奇数,dp[i][j]+=dp[i-1][k] 时间复杂度:O(n^3) #include<cstdio> #include<iostream&…

uoj bzoj luogu sol 根据\(Lucas\)定理,\(\binom nm \mod 2=\binom{n\%2}{m\%2}\times\binom{n/2}{m/2}\mod 2\). 由于\(\binom{n\%2}{m\%2}\)的取值只可能是\(0\)或\(1\),以为我们希望\(\binom nm=1\mod 2\),所以\(\binom{n\%2}{m\%2}\)应该始终取值为\(1\).因为\(\binom 00=\binom 10=\binom 11=1,\bin…

传送门 可以发现,\(\binom{n}{m}\equiv 1(mod~2)\) 当且仅当 \(m~and~n~=~m\) 即 \(m\) 二进制下为 \(n\) 的子集 那么可以直接写一个 \(3^{18}\) 的枚举子集 \(DP\) 但是还有一个 \(6^9\) 的做法 把数字分成前 \(9\) 位和后 \(9\) 位 设 \(f(s_1,s_2)\) 表示前 \(9\) 位为 \(s_1\),后 \(9\) 位为 \(s_2\) 的超集的答案 那么对于一个数 \(x\),分成 \(x_1…

题目描述 给出一个长度为 $n$ 的序列,求所有长度大于等于2的子序列个数,满足:对于子序列中任意两个相邻的数 $a$ 和 $b$ ($a$ 在 $b$ 前面),${a\choose b}\mod 2\neq 0$.答案对 $10^9+7$取模. 输入 第一行一个整数 $n$ . 接下来 $n$ 行,每行一个整数,这 $n$ 行中的第 $i$ 行,表示 $a_i$ . $1\le n\le 211985,1\le a_i\le 233333$ 输出 一行一个整数表示答案. 样例输入 415731…

送70分,预处理组合数是否为偶数即可. 剩下的数据,根据Lucas定理的推论可得当且仅当n&m=n的时候,C(n,m)为奇数.这样就可以直接DP了,对于每个数,考虑它对后面的数的影响即可,直接枚举子集即可. #include<cstdio> #include<algorithm> #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++) using namespace std; ,mod=; int n,ans,a[N],f[N],pos…

题目链接 loj300 题解 orz litble 膜完题解后,突然有一个简单的想法: 考虑到\(2\)是质数,考虑Lucas定理: \[{n \choose m} = \prod_{i = 1} {\lfloor \frac{n}{2^{i - 1}} \rfloor \mod 2^i \choose \lfloor \frac{m}{2^{i - 1}} \rfloor \mod 2^i} \pmod 2\] 即 \[{n \choose m} = \prod_{each.bit.of.n.…

首先根据lucas, \[ C_n^m\%2=C_{n\%2}^{m\%2}*C_{n/2}^{m/2} \] 让这个式子的结果为计数的情况只有n&m==m,因为m的每一个为1的二进制位都需要n中这一位为1,否则结果就是0 所以枚举子集,设f[i]为以i开头的合法子序列个数,dp的时候枚举子集从后往前dp即可 #include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; const int N=300005,mod=1e9…

思路很巧妙的一道题 ~ 这个应该不完全是正解,复杂度约为 $O(3\times 10^8)$,有时间再研究研究正解. 首先,最裸的暴力是按照权值从小到大枚举每一个数,然后枚举后面的数来更新方案数,是 $O(n^2)$ 的. 然后,我们可以用lucas定理来模拟那个组合数,会发现只需满足大数&小数=小数即可. 这个的话可以枚举子集,复杂度就是 $O(3^{18})$ 左右的,大概能过 ~ code: #include <bits/stdc++.h> #define ll long lon…

题目传送门 https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4903 https://loj.ac/problem/2264 http://uoj.ac/problem/300 题解 真 - 签到题. 对于一个组合数,直接进行 Luca 定理. \[ \binom nm = \binom {\frac n2}{\frac m2} \binom {n \bmod 2}{m\bmod 2} \] 可以发现,对于每一个二进制位,如果出现 \((0, 1)\)…

题意 分析 考场50分 旁边的L君告诉我,求的就是非升子序列的个数,于是写了个树状数组. 但是\(\mod{2333} > 0\)还需要组合数中没有2333的倍数,所以实际上只得了\(a_i \leq 2333\)的部分分,还好. #include<cstdlib> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstring> #include<iostream> #include<string…

这是一种DP状态设计方法. 有些题,当你必须以一个顺序往后填的话,然而后面的填法会对之前产生影响,那么,不妨在之前就对未来怎么填做出承诺. 通俗的讲,就是对未来打一个表. 然后后面填的时候,直接查表转移. 当然,毕竟也是一个打表,所以既要记录前面信息,又要记录后面的承诺,复杂度是比较高的.要看数据范围支不支持了. 状态经常设计成,前i个,填了....,如果后面填....的话,答案会是多少. 一. 序列上的一个比较经典的题:[CTSC2017]吉夫特 方法类似这一篇中的第一个例题:根号算法——暴力…

(总计:共66题) 4.18~4.25:19题 4.26~5.2:17题 5.3~5.9: 6题 5.10~5.16: 6题 5.17~5.23: 9题 5.24~5.30: 9题 4.18 [BZOJ3786]星系探索(伪ETT) [BZOJ4337][BJOI2015]树的同构(树的最小表示法) [BZOJ3551][ONTAK2010]Peaks(加强版)(Kruskal重构树,主席树) [CTSC2017]游戏(Bayes定理,线段树) 4.19 [CTSC2017]吉夫特(Lucas定…

目录 Noip 训练指南 图论 数据结构 位运算 期望 题解 Noip 训练指南 目前完成 \(4 / 72\) 图论 [ ] 跳楼机 [ ] 墨墨的等式 [ ] 最优贸易 [ ] 泥泞的道路 [ ] BZOJ2959 [ ] BZOJ2535 数据结构 [ ] luog 2572 [SCOI2010]序列操作 [ ] luogu2184 [ ] cf620E New year tree [ ] GSS1 [ ] GSS3 [ ] GSS4 [ ] HDU6315 [ ] luogu2073 […

F 对于一张比赛图,经过缩点,会得到dag,且它一定是transitive的,因此我们能直接把比赛图缩成一个有向链.链头作为一个强连通分量,里面的所有点都是胜利的 定义F(win)表示win集合作为赢家的概率,我们有 \[ans=\sum_{win\in all} F(win)|win| \] 显然win集合内的点构成一个强连通分量,并作为链头.win集合内的点一定向集合外的每个点连边 考虑如何求解F(win) 我们定义H(win)表示在win集合内的点构成的子图中,win集合成为一个强连通分量…

吉夫特 Time Limit: 15 Sec  Memory Limit: 512 MB[Submit][Status][Discuss] Description Input 第一行一个整数n. 接下来n行,每行一个整数,这n行中的第i行,表示ai. Output 一行一个整数表示答案. Sample Input 4 15 7 3 1 Sample Output 11 HINT Main idea 给定一个序列,问有多少个子序列满足相邻的数构成的组合数都为奇数. Solution 首先我们用Lu…

自己是有多么sb. 密钥 大家都说这是一道普及-的题,一年前我做不起,我可以说我太弱啦,我就普及组水平,今年我还是做不起…… 看大佬题解都是:开个桶就好啦! 我:你在说什么…… 首先把环拉成链,倍长. 如果确定$i$这个位置是起始位置,那么特征值就是$\sum\limits_{j=1}^{n-1} (p_j!=0 , sum(A_{i+1}...A_{i+j})>0) $. 那么我们先记录一个前缀和,后面所提到的$A$都是前缀和.$\sum\limits_{j=1}^{n-1} (p_j!=0…

题目描述 给你一个长度为\(n\)的数列\(a\),求有多少个长度\(\geq 2\)的不上升子序列\(a_{b_1},a_{b_2},\ldots,a_{b_k}\)满足 \[ \prod_{i=2}^k\binom{a_{b_{i-1}}}{a_{b_i}}\mod 2>0 \] 答案对\({10}^9+7\)取模. \(n\leq211985,a_i\leq 233333\) \(\forall i\neq j,a_i\neq a_j\) 题解 水题. 先忽略长度\(\geq 2\)这个条…

题解 根据一番认真严肃的猜结论和打表证明之后 我们可以得到 \(f[i] = (\sum_{a[i] \& a[j] == a[j]} f[j]) + 1\) 统计所有的\(f[i] - 1\) 然后对于这道题,我们可以从值域上直接做 就是\(g[a]\)表示\(a\)作为结尾的数的序列有多少个 每次从\(a\)转移到\(a\)的子集\(b\),同时要满足\(pos[b] > pos[a]\) 代码 #include <bits/stdc++.h> #define fi firs…

Description 传送门 ​ 简述题意:给一个序列,询问有多少子序列满足其中不会出现\(a\choose b\)是偶数的情况,其中\(a\)在\(b\)前面. Solution 首先探究组合数的奇偶性问题.我们用Lucas定理展开组合数,可以发现一些有趣的性质: \[ {a\choose b}={\lfloor\frac a 2 \rfloor\choose \lfloor \frac b2\rfloor}{a\mod2 \choose b\mod 2} \] 后一个括号的值可以直接算:\…

题面 传送门 思路 一句话题意: 给出一个长度为 n 的序列,求所有长度大于等于2的子序列个数,满足:对于子序列中任意两个相邻的数 a和 b (b 在 a 前面),$C_a^b mod 2=1$,答案对1e9+7取模 显然膜2余1是个非常特殊的性质,应当好好加以利用 和组合数取模有关的东西,有Lucas定理,因此我们来试着推一推 $C_n^m%2=C_{n%2}^{m%2}\ast C_{n/2}^{m/2}$ 这个玩意的意义,显然就是把n和m转成二进制,那么只要没有某一位上n是0m是1(此时$…

题面:http://uoj.ac/problem/300 一道大水题,然而我并不知道$lucas$定理的推论.. $\binom{n}{m}$为奇数的充要条件是$n&m=n$.那么我们对于每个数,直接枚举子集转移就行了,复杂度是$O(3^{18})$,不会$T$. //It is made by wfj_2048~ #include <algorithm> #include <iostream> #include <complex> #include <c…

[CTSC2017]网络 连一条长度为len的边,使得基环树的直径最小 结论:一定连在某条直径两个点上(否则更靠近不劣) 然后二分答案判定. dp[i]:链上一个点往下延伸的最大深度 考虑对于任意两个点对最短路径都不能大于mid 就是:任意的(i<j),min(sum[j]-sum[i]+dp[i]+dp[j],len+|sumb-sumj|+|sumi-suma|+dp[i]+dp[j])<mid 前面的min比较好处理,直接按照sum+dp,dp-sum排序,双指针搞一下 不能满足前面的m…

[BZOJ4903][UOJ#300]吉夫特(卢卡斯定理,动态规划) 题面 UOJ BZOJ:给的UOJ的链接...... 题解 首先模的质数更小了,直接给定了\(2\).当然是卢卡斯定理了啊. 考虑一个组合数在什么情况下会是一个奇数.\(Lucas(n,m)\equiv Lucas(n/2,m/2)*Lucas(n\%2,m\%2)\).后面这个东西一共只有\(4\)种取值,我们大力讨论一下:\(C_{0}^0=1,C_{0}^1=0,C_1^0=1,C_1^1=1\).既然是一个奇数,证明\…