您需要写一种数据结构,来维护一些数,其中需要提供以下操作:1. 插入x2. 删除x(若有多个相同的数,因只删除一个)3. 查询x的排名(若有多个相同的数,因输出最小的排名)4. 查询排名为x的数5. 求x的前驱(前驱定义为小于x,且最大的数)6. 求x的后继(后继定义为大于x,且最小的数) 1.n的数据范围:$n<=100000$ 2.每个数的数据范围:$[-2e9,2e9]$ 题解: 二叉搜索树可以完成目标,但是单次操作的时间复杂度可能退化为线性 因此使用平衡二叉树,$treap$(树堆) 树…

树堆,在数据结构中也称Treap,是指有一个随机附加域满足堆的性质的二叉搜索树,其结构相当于以随机数据插入的二叉搜索树.其基本操作的期望时间复杂度为O(logn).相对于其他的平衡二叉搜索树,Treap的特点是实现简单,且能基本实现随机平衡的结构. 在深入了解Treap之前,我们先来了解一下BST. BST(Binary-search tree),即二分搜索树,是一棵二叉树,且满足性质:若每个节点都有一个key值,则对于每个根节点,均满足key[leftson]<key[root]<key[r…

一棵treap是一棵修改了结点顺序的二叉查找树,如图,显示一个例子,通常树内的每个结点x都有一个关键字值key[x],另外,还要为结点分配priority[x],它是一个独立选取的随机数. 假设所有的优先级是不同的,所有的关键字也是不同的.treap的结点排列成让关键字遵循二叉查找树性质,并且优先级遵循最小堆顺序性质: 1.如果v是u的左孩子,则key[v] < key[u]. 2.如果v是u的右孩子,则key[v] > key[u]. 3.如果v是u的孩子,则priority[u] >…

之前我们讲到二叉搜索树,从二叉搜索树到2-3树到红黑树到B-树. 二叉搜索树的主要问题就是其结构与数据相关,树的深度可能会非常大,Treap树就是一种解决二叉搜索树可能深度过大的还有一种数据结构. Treap Treap=Tree+Heap. Treap本身是一棵二叉搜索树,它的左子树和右子树也各自是一个Treap.和一般的二叉搜索树不同的是.Treap纪录一个额外的数据,就是优先级.Treap在以关键码构成二叉搜索树的同一时候,还满足堆的性质.这些优先级是是在结点插入时,随机赋予的.Treap…

如果一棵二叉排序树的节点插入的顺序是随机的,那么这样建立的二叉排序树在大多数情况下是平衡的,可以证明,其高度期望值为 \(O( \log_2 n )\).即使存在一些极端情况,但是这种情况发生的概率很小.而且这样建立的二叉排序树的操作很方便,不必像伸展树那样通过伸展操作来保持数的平衡,也不必像 AVL 树.红黑树等结构那样,为了达到平衡而进行各种复杂的旋转操作.变成复杂度低了,正确率就很高,这对有限的竞赛时间和紧张的竞赛考场是很重要的. Treap 就是一种满足堆的性质的二叉排序树.在保持二叉排…

调了好几个月的 Treap 今天终于调通了,特意写篇博客来纪念一下. 0. Treap 的含义及用途 在算法竞赛中很多题目要使用二叉搜索树维护信息.然而毒瘤数据可能让二叉搜索树退化成链,这时就需要让二叉搜索树保持*衡,"*衡的"二叉搜索树自然就是"*衡树"啦."Treap"就是*衡树的一种,由于它易学易写,所以在算法竞赛中很常用. "Treap" 事英文单词 "Tree" 和 "Heap"…

预备知识:二叉查找树.堆(heap).平衡二叉树(AVL)的基本操作(左旋右旋) 定义: Treap.平衡二叉树.Tree+Heap.树堆. 每个结点两个键值(key.priority). 性质1. Treap是关于key的二叉排序树. 性质2. Treap是关于priority的堆.(非二叉堆,因为不是完全二叉树) 结论1. key和priority确定时,treap唯一. 作用1. 随机分配的优先级,使数据插入后更不容易退化为链.就像是将其打乱再插入.所以用于平衡二叉树. 基本操作 要满足它…

treap树是一种平衡树,它有平衡树的性质,满足堆的性质,是二叉搜索树,但是我们需要维护他 为什么满足堆的性质?因为每个节点还有一个随机权值,按照随机权值维持这个堆(树),可以用O(logn)的复杂度维护他.树的期望深度是log n. 平衡树是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1,并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树.权值:右儿子大于爸爸大于左儿子. 那么如何维护他呢? 我们来看看维护treap树的几个操作. 1.左旋右旋: 旋转是什么?看图: 把父亲和他左(右)儿子及其各子树调换(…

原文 其它较好的的介绍:堆排序  AVL树 树堆,在数据结构中也称Treap(事实上在国内OI界常称为Traep,与之同理的还有"Tarjan神犇发明的"Spaly),是指有一个随机附加域满足堆的性质的二叉搜索树,其结构相当于以随机数据插入的二叉搜索树.其基本操作的期望时间复杂度为O(logn).相对于其他的平衡二叉搜索树,Treap的特点是实现简单,且能基本实现随机平衡的结构.   编辑 我们可以看到,如果一个二叉排序树节点插入的顺序是随机的,这样我们得到的二叉排序树大多数情况下是平…

Treap树算是一种简单的优化策略,这名字大家也能猜到,树和堆的合体,其实原理比较简单,在树中维护一个"优先级“,”优先级“ 采用随机数的方法,但是”优先级“必须满足根堆的性质,当然是“大根堆”或者“小根堆”都无所谓,比如下面的一棵树: 从树中我们可以看到: ①:节点中的key满足“二叉查找树”. ②:节点中的“优先级”满足小根堆. 一棵treap是一棵修改了结点顺序的二叉查找树,如图,显示一个例子,通常树内的每个结点x都有一个关键字值key[x],另外,还要为结点分配priority[x],它…