题目传送门 题目大意 给出一个 \(n\) 个点 \(m\) 条无向边的图,每个点都有一个 \(\in [0,1]\) 的权值,每次可以选择一条边,然后将该边相连两点权值异或上 \(1\).问有多少种选择方法使得每个点的权值都变为 \(0\).(每条边只能选择一次) 但是这个问题太简单了,所以你要求删掉每个点以及它连出的边之后的答案. 有 \(t\) 组数据,\(t\le 5,n,m\le 10^5\). 思路 这道题不是很难写,但是很难想. 我们先考虑一棵树的答案,你发现这样方案是唯一的,因为…

[BZOJ5303][HAOI2018]反色游戏(Tarjan,线性基) 题面 BZOJ 洛谷 题解 把所有点全部看成一个\(01\)串,那么每次选择一条边意味着在这个\(01\)串的基础上异或上一个有\(2\)个\(1\)的\(01\)串. 那么把边构建线性基,最终的答案显然就是\(2\)的不在线性基里的边数次方. 显然每次只需要考虑一个联通块,一个联通块随便拉出一棵生成树,就可以在线性基上确定\(n-1\)个元,那么对于其他边任意的情况,显然可以通过修改这\(n-1\)条边的选择情况使得最终…

bzoj 5393 [HAOI2018] 反色游戏 Link Solution 最简单的性质:如果一个连通块黑点个数是奇数个,那么就是零(每次只能改变 \(0/2\) 个黑点) 所以我们只考虑偶数个黑点的连通块 如果是一棵树,那么方案只有一种,因为所有叶子颜色都确定,可以自底向上一层层推出每一条边是否反色 下面考虑一个图,随便找一棵生成树,那么如果其他非树边都不反色就只有一种.假设其它非树边是否反色都已确定,那么相当于这棵生成树的每个点的初始颜色确定,所以每一种非树边的选取方案都对应着一种反色方…

P4494 [HAOI2018]反色游戏 题意 给你一个无向图,图上每个点是黑色或者白色.你可以将一条边的两个端点颜色取反.问你有多少种方法每个边至多取反一次使得图上全变成白色的点. 思路 若任意一个连通块黑色点的个数为奇数那么无解. 先考虑树的情况.发现如果是树,并且黑点个数为偶数,有且仅有一种方式达到目标.然后发现,对于一个无向图,它的任意一个生成树若有解,那么其他非树边无论是否取反都有且仅有一种情况达到目标,并且充分.所以答案就是 \(2^{m-n+1}\). 考虑不联通的情况,每多一个连…

题目传送门:loj bzoj 题意中的游戏方案可以转化为一个异或方程组的解,将边作为变量,点作为方程,因此若方程有解,方程的解的方案数就是2的自由元个数次方.我们观察一下方程,就可以发现自由元数量=边数-点数+连通块数,或者换句话说,若对原图的每个联通块指定一棵生成树,那么确定了生成树之外的边是否进行操作,那么生成树内的边的操作方案就是一定存在并唯一确定的. 那么我们就只需要判断一下什么样的图无解.我们发现每对一条边进行操作,原图内的黑点数量奇偶性不变,那么我们只需判断图中的是否存在某个联通块有…

题目链接 LOJ:https://loj.ac/problem/2524 BZOJ:https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5303 洛谷:https://www.luogu.org/problemnew/show/P4494 Solution 精神污染 假设所有点都是连通的,很显然如果黑点个数为奇数个则无解,否则可以证明一定有解. 那么随便整出一棵生成树,然后反色一些边使其合法,显然一棵树只有一种情况. 考虑非树边的贡献,如果非树边不反色显然无…

暴力做法是列异或方程组后高斯消元,答案为2^自由元个数,可以得60分.但这个算法已经到此为止了. 从图论的角度考虑这个问题,当原图是一棵树时,可以从叶子开始唯一确定每条边的选择情况,所以答案为1. 于是首先,对一个连通块,若其中黑点个数为奇数则必然无解,否则考虑求出它的一棵生成树.然后当我们选择一条非树边(u,v)时,只需要将树上u,v两点间的所有边的选取情况取反,就又得到一个合法方案.于是答案为$2^{m-n+1}$.进一步可以发现,设原图连通块个数为c,则答案为$2^{m-n+c}$. 现在…

题面 传送门 题解 我们先来考虑一个联通块,这些关系显然可以写成一个异或方程组的形式,形如\(\oplus_{e\in edge_u}x_e=col_u\) 如果这个联通块的黑色点个数为奇数,那么显然这个方程是无解的 证明:每条边都在方程组的左边出现了两次,左边全部异或起来为\(0\),右边全部异或起来为\(1\),显然无解 那么如果这个方程组有解,解的个数就是\(2^{自由元数目}\) 我们随便求出这个联通块的一棵生成树,把所有树边当成自由元,容易发现对于非树边的每一种选法,树边都有一种唯一对…

[Luogu4494] [BZOJ5303] [LOJ2524] LOJ有数据就是好 原题解,主要是代码参考 对于每一个联通块(n个点),其他的边一开始随便选,只需要n-1条边就可以确定最终结果. 所以设\(cnt\)为联通块数 , 答案为 \(2^{m-n+cnt}\) 还有就是有解的情况必须是黑点个数为偶数,还要注意有删掉这个点可能使无解变有解,这比从有解变无解更难想 #include<cstdio> #include<iostream> #include<cstring…

Description Solution 对于一个有偶数个黑点的连通块,只需要任意两两配对,并把配对点上的任一条路径取反,就可以变成全白了 如果存在奇数个黑点的连通块显然无解,判掉就可以了 如果有解,解的数量肯定是一样的(白点被取反偶数次,黑点奇数次) 一共有 \(2^{m}\) 种染色方案,有 \(2^{n-1}\) 把点染成偶数个白色的方案,因为每一种方案可以产生的解是一样的,那么就有 \(2^{m-n+1}\) 种解 所以对于每一个连通块产生的贡献就是 \(2^{m-n+1}\),如果有…