题意:给你三个杯子,一开始钥匙放在中间的杯子里,然后每一回合等概率将左右两个杯子中的一个与中间杯子交换.求n回合之后钥匙在中间杯子的概率.这里要求概率以分数形式输出,先化成最简,然后对1e9 + 7取模. 题解:首先我们可以轻易得到一个递推式:$ d[i] = \frac{{1 - d[i - 1]}}{2} $ 但递推式是不行的,我们要得到一个封闭形式. 运用数列技巧,我们可以进行如下变换:$d[i] - \frac{1}{3} =  - \frac{1}{2}(d[i - 1] - \fra…

矩阵快速幂+扩展欧拉定理 对于一个矩阵\(A\),我们有\(A^n \equiv A^{n\% \phi(m)+\phi(m)}(\%m)\) 经过简单的列举或推导可得 设目前进行了\(x\)轮,\(f(x)\)为分子,\(g(x)\)为分母 则有\(f(x)=g(x-1)-f(x-1),g(x)=2g(x-1)\) 由此及首项可得\(x>1\)时概率的分子一直是奇数,分母一直为2的幂 而\(x=1\)时分子为0,分母为1 即分子与分母恒互质 由此可得转移矩阵 \[A=\begin{bmatri…