又双叒叕来水数论了 今天来学习\(Lucas \:\ \& \:\ Catalan Number\) 两者有着密切的联系(当然还有CRT),所以放在一起学习一下 \(Lucas\) 定义\(\&\)性质 \(Lucas\)定理是用来求 $C_n^m mod :\ p \(的值. 其中\)n\(和\)m\(是非负整数,\)p\(是素数. 一般用于\)m,n\(很大而\)p\(很小,抑或是\)n,m\(不大但是大于\)p$的情况下来求结果. 用处\(\&\)背景 目前我们学过几个用来求…

中国剩余定理(CRT) & 扩展中国剩余定理(ExCRT)总结 标签:数学方法--数论 阅读体验:https://zybuluo.com/Junlier/note/1300035 前置浅讲 前置知识点:\(Exgcd\) 这两个东西都是用来解同余方程组的 形如 \[ \left\{ \begin{aligned} x\equiv B_1(mod\ W_1)\\ x\equiv B_2(mod\ W_2)\\ \cdots\\ x\equiv B_n(mod\ W_n)\\ \end{aligne…

问题背景   孙子定理是中国古代求解一次同余式方程组的方法.是数论中一个重要定理.又称中国余数定理.一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作<孙子算经>卷下第二十六题,叫做"物不知数"问题,原文如下:   有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何?即,一个整数除以三余二,除以五余三,除以七余二,求这个整数.<孙子算经>中首次提到了同余方程组问题,以及以上具体问题的解法,因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称…

中国剩余定理 CRT 正常版本CRT 要解的是一个很容易的东西 \[ \begin{aligned} x\equiv a_1(mod\ m_1)\\ x\equiv a_2(mod\ m_2)\\ ...\\ x\equiv a_n(mod\ m_n) \end{aligned} \] 保证\(m_1,m_2...m_n\)之间两两互质,求最小的\(x\). 设\(M=\prod m_i\). 首先我们确定一点,我们求出了任意一个满足条件的\(x\)之后,只需要对其模\(M\)就是最终的答案.…

LINK:上学路线 从(0,0)走到(n,m)每次只能向上或者向右走 有K个点不能走求方案数,对P取模. \(1\leq N,M\leq 10^10 0\leq T\leq 200\) p=1000003或p=1019663265 考虑dp......(没啥意义. 要求出 从(0,0)到(n,m)不经过一个障碍点的方案数 显然需要容斥. 所有方案C(n+m,n). 还是考虑dp 将T个障碍点排序之后可以发现 后面的点一定不会经过前面的点. 设f[i]表示到达第i个点且不经过前面i-1个点的方案数…

extend_gcd: 已知 a,b (a>=0,b>=0) 求一组解 (x,y) 使得 (x,y)满足 gcd(a,b) = ax+by 以下代码中d = gcd(a,b).顺便求出gcd 能够扩展成求等式 ax+by = c,但c必须是d的倍数才有解,即 (c%gcd(a,b))==0 注意求出的 x,y 可能为0或负数 =================================== 乘法逆元: a*b %n == 1 已知 a, n, 求b 就是乘法逆元 ============…

中国剩余定理 CRT 推导 给定\(n\)个同余方程 \[ \left\{ \begin{aligned} x &\equiv a_1 \pmod{m_1} \\ x &\equiv a_2 \pmod{m_2} \\ &... \\ x &\equiv a_n \pmod{m_n} \end{aligned} \right. \] \(m_1, m_2 , ... , m_n\)两两互质 令\(M = \prod_{i=1}^{n} m_i\),求\(x \mod M\)…

引入 常想起在空间里见过的一些智力题,这个题你见过吗: 一堆苹果,\(3\)个\(3\)个地取剩\(1\)个,\(5\)个\(5\)个地取剩\(1\)个,\(7\)个\(7\)个地取剩\(2\)个,苹果最少有几个? 够焦头烂额的(雾 大力算可知至少有16个. 我们把它抽象成数学问题: 求满足 \[\begin{cases}x\equiv1\pmod{3}\\x\equiv1\pmod{5}\\x\equiv2\pmod{7}\end{cases}\] 的最小正整数\(x\). 感性地猜到有一个长…

数论_CRT(中国剩余定理)& Lucas (卢卡斯定理) 前言 又是一脸懵逼的一天. 正文 按照道理来说,我们应该先做一个介绍. 中国剩余定理 中国剩余定理,Chinese Remainder Theorem,又称孙子定理,给出了一元线性同余方程组的有解判定条件,并用构造法给出了通解的具体形式. 现在有方程组:中国剩余定理指出: 扩展中国剩余定理 在一般情况下,要求任两个数互质这个条件太苛刻了,CRT派不上用场,我们需要一个更具普遍性的结论,这就是EX-CRT.虽然是称为EX-CRT,但这个定…

题意:n件礼物,送给m个人,每人的礼物数确定,求方案数. 解题关键:由于模数不是质数,所以由唯一分解定理, $\bmod  = p_1^{{k_1}}p_2^{{k_2}}......p_s^{{k_s}}$ 然后,分别求出每个组合数模每个$p_i^{{k_i}}$的值,这里可以用扩展lucas定理求解,(以下其实就是扩展lucas定理的简略证明) 关于$C_n^m\% {p^k}$, $C_n^m = \frac{{n!}}{{m!(n - m)!}}$, 我们以$n=19,p=3,k=2$为…