BZOJ 题意即求\[\sum_{i=0}^n\sum_{j=1}^{a+id}\sum_{x=1}^jx^k\] 我们知道最后一个\(\sum\)是自然数幂和,设\(f(n)=\sum_{x=1}^nx^k\),这是一个\(k+1\)次多项式,可以插值求出(当然本题只需要求出任意\(k+3\)个值即可不需要插值). 令\(g(n)=\sum_{i=1}^nf(i)\),(打表)差分可知这是一个\(k+2\)次多项式. 同样令\(h(n)=\sum_{i=0}^ng(a+id)\),同样差分可知…

[题意]给定k<=123,a,n,d<=10^9,求: $$f(n)=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=1}^{a+id}\sum_{x=1}^{j}x^k$$ [算法]拉格朗日插值 [题解]参考:拉格朗日插值法及应用 by DZYO 虽然式子很复杂,但一点一点化简有条理的化简后就可以做了. 首先最后是一个自然数幂和: $$\sum_{x=1}^{j}x^k$$ 这是一个k+1次多项式,可以理解为k+一个Σ(一般一个Σ增加一次项). 然后会发现最后部分和第二部分之间不需要插值,因为第…

题意 题目链接 Sol 把式子拆开,就是求这个东西 \[\sum_{i = 0} ^n \sum_{j = 1}^{a + id} \sum_{x =1}^j x^k \pmod P\] 那么设\(f(x) = \sum_{i = 1}^n i^k\),这是个经典的\(k + 1\)多项式,直接差值 式子就可以化成 \[\sum_{i = 0} ^n \sum_{j = 1}^{a + id} f(j) \pmod P\] 设\(g(x) = \sum_{i = 1}^n f(x)\) 对\(g…

传送门 \(f(n)=\sum_{i=1}^ni^k\),这是自然数幂次和,是一个以\(n\)为自变量的\(k+1\)次多项式 \(g(n)=\sum_{i=1}^nf(i)\),因为这东西差分之后是\(f\),所以这是一个\(k+2\)次多项式 同理最后我们要求的也是一个\(k+3\)次多项式 \(f,g\)暴力计算,然后把第三个多项式用拉格朗日插值插出来,最后只要求第三个多项式的点值即可 话说这题模数没问题啊--为啥得开longlong啊-- //minamoto #include<bits…

分析 之前一直不知道拉格朗日插值是干什么用的,只会做模板题,做了这道题才明白这个神奇算法的用法. 由题意可知,\(f(x)\)是关于\(x\)的\(k+1\)次函数,\(g(x)\)是关于\(x\)的\(k+2\)次函数,\(ans(x)\)是关于\(x\)的\(k+3\)次函数. 由于点值连续,插值可以做到\(O(n)\),求\(g(x)\)和\(ans(x)\)都需要插值,因此时间复杂度为\(O(Tn^2 \log n).(\)\log$是快速幂的,貌似可以通过预处理逆元优化掉,不过AC这道…

拉格朗日插值 插值真惨 众所周知$k+1$个点可以确定一个$k$次多项式,那么插值就是通过点值还原多项式的过程. 设给出的$k+1$个点分别是$(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_k,y_k)$,那么xjb构造一下: 设函数$f_i(x)=\frac{\prod\limits_{j\neq i}(x-x_j)}{\prod\limits_{j\neq i}(x_i-x_j)}\times y_i$ 显然这个函数当$x=x_i$时值为$y_i$,$x=x_j(0\leq j\le…

The Sum of the k-th Powers There are well-known formulas: , , . Also mathematicians found similar formulas for higher degrees. Find the value of the sum modulo 109 + 7 (so you should find the remainder after dividing the answer by the value 109 + 7).…

常系数齐次线性递推 具体记在笔记本上了,以后可能补照片,这里稍微写一下,主要贴代码. 概述 形式: \[ h_n = a_1 h_{n-1}+a_2h_{n-2}+...+a_kh_{n-k} \] 矩阵乘法是\(O(k^3 \log n)\) 利用特征多项式可以做到\(O(k^2\log n)\) 特征多项式 特征值和特征向量 特征多项式 \[ f(\lambda) = \mid M - \lambda I\mid \] 是关于\(\lambda\)的\(n\)次多项式 根据\(Cayley-…

private static void QuictSort(int[] zu, int left, int right) { if (left < right) { ; ; ]; while (true) { while (i<right && zu[i]<mid) { i++; } while (j > left && zu[j] > mid) { j--; } if (i == j) { break; } int temp = zu[i];…

传送门 题面图片真是大到离谱-- 题目要求的是 \(\begin{align*}\sum\limits_{i=1}^N i^d[gcd(i,n) == 1] &= \sum\limits_{i=1}^N i^d \sum\limits_{p \mid gcd(i,n)} \mu(p) \\ &= \sum\limits_{p|n} \mu(p) p^d \sum\limits_{i=1}^{\frac{n}{p}} i^d\end{align*}\) 然后就不会做了qwq,后面的自然数次幂…