Master theorem provides a solution in asymptotic terms to solve time complexity problem of most divide and conquer algorithms. Recurrence relations of the form: T(n) = a T(n/b) + f(n) where a >= 1 and b > 1 Case 1: f(n) = O(nc) where c < logb a T…

前言 虽说在学OI的时候学到了非常多的有递归结构的算法或方法,也很清楚他们的复杂度,但更多时候只是能够大概脑补这些方法为什么是这个复杂度,而从未从定理的角度去严格证明他们.因此借着这个机会把主定理整个梳理一遍. 介绍 主定理(Master Theorem)提供了用于分析一类有递归结构算法时间复杂度的方法.这种递归算法通常有这样的结构: def solve(problem): solve_without_recursion() for subProblem in problem: solve(su…

主定理一般形式是T(n) = a T(n / b) + f(n), a >= 1, b > 1.递归项可以理解为一个高度为 logbn 的 a 叉树, 这样 total operation就是  (a ^ logbn) - 1,  右边的f(n)假设为 nc 那么我们对比一下这两项就会发现 T(n)的复杂度主要取决于 logba 与 c 的大小.所以我们才会有接下来的三种case.也需要注意什么时候不可以使用主定理. Case 1:  c < logba ,   O(n) = n ^ l…

1. 问题 Karatsuba 大整数的快速乘积算法的运行时间(时间复杂度的递推关系式)为 T(n)=O(n)+4⋅T(n/2),求其最终的时间复杂度. 2. 主定理的内容 3. 分析 所以根据主定理的判别方法,可知对于 T(n)=O(n)+4⋅T(n/2),a=4,b=2,则 f(n)=O(n)<nlogab=2,符合第一个判别式,因此,T(n)=O(n2)…

英文原版不上了 直接中文 定义 假设有递推关系式T(n)=aT(n/b)+f(n) 其中n为问题规模 a为递推的子问题数量 n/b为每个子问题的规模(假设每个子问题的规模基本一样) f(n)为递推以外进行的计算工作,无需参加递归 定理 a≥1,b>1为常数,f(n)为函数,T(n)为非负整数.则有以下结果(分类讨论): (1)若f(n)=O(nlogba-ε)存在ε>0,就是当nlogba的阶高于f(n)时,可以存在ε使得nlogba-ε和f(n)的阶相同.此时取T(n)=θ(nlogba)…

Heapsort (堆排序)是最经典的排序算法之一,在google或者百度中搜一下可以搜到很多非常详细的解析.同样好的排序算法还有quicksort(快速排序)和merge sort(归并排序),选择对这个算法进行分析主要是因为它用到了一个非常有意思的算法技巧:数据结构 - 堆.而且堆排其实是一个看起来复杂其实并不复杂的排序算法,个人认为heapsort在机器学习中也有重要作用.这里重新详解下关于Heapsort的方方面面,也是为了自己巩固一下这方面知识,有可能和其他的文章有不同的入手点,如有错…

acm 本文由swellspirit贡献 ACM • I can accept failure. but I can't accept not trying. Life is often compared to a marathon, but I think it is more like being a sprinter; long stretches of hard work punctuated by brief moments in which we are given the oppo…

其实算法本身不难,第一遍可以只看伪代码和算法思路.如果想进一步理解的话,第三章那些标记法是非常重要的,就算要花费大量时间才能理解,也不要马马虎虎略过.因为以后的每一章,讲完算法就是这样的分析,精通的话,很快就读完了.你所说的证明和推导大概也都是在第三章介绍了,可以回过头再认真看几遍. 至于课后题,比较难,我只做了前几章,如果要做完需要更多时间和精力.这可以通过之后做算法题来弥补,可以去leetcode等网站找一些经典的算法题做一做,加深理解. Facebook的工程师写的攻略,介绍了用算法导论来…

该树结构显示了从1(根节点)到n(n个叶节点)的整个倍增过程.节点下的标签表示从n减半到1的过程. 当我们处理递归的时候,这些级数代表了问题实例的数量以及对一系列递归调用来说处理的相关工作量. 当我们需要找出全部的工作量时,我们需要用到树的高度以及每一层所处理的工作量.每一层总共的标志总数保持在n. Recursion and Recurrences def S(seq,i=0): if i==len(seq):return 0 return S(seq,i+1)+seq[i] 该求和式从参数i…

Chapter 1 Interesting read, but you can skip it. Chapter 2 2.1 Insertion Sort - To be honest you should probably know all major sorting algorithms, not just insertion sort. It's just basic knowledge and you never know when it can help.2.2 Analysis of…