传送门 •参考资料 [1]:CF1204E Natasha, Sasha and the Prefix Sums(动态规划+组合数) •题意 由 n 个 1 和 m 个 -1 组成的 $C_{n+m}^{n}$ 个序列: 对所有序列的最大前缀和求和: 并规定最大前缀和最小是 0: •题解 定义 $(i,j)$ 表示序列由 i 个 1,j 个 -1 组成: $(i,j)$ 共有 $C_{i+j}^{i}$ 种不同的组合方式: $(i-1,j)$ 共有 $C_{i+j-1}^{i-1}$ 种不同的组…

前言 本文中的排列指由n个1, m个-1构成的序列中的一种. 题目这么长不吐槽了,但是这确实是一道好题. 题解 DP题话不多说,直接状态/变量/转移. 状态 我们定义f表示"最大prefix sum"之和 变量 f[i][j]为有i个1,j个-1的"最大prefix sum"之和 转移 我们记C[i][j]为\(\left(\begin{matrix} i \\ j\end{matrix}\right)\),那么: \[f[i][j] = \left\{\begin…

做法一 \(O(nm)\) 考虑\(f(i,j)\)为i个+1,j个-1的贡献 \(f(i-1,j)\)考虑往序列首添加一个\(1\),则贡献\(1\times\)为序列的个数:\(C(j+i-1,i-1)\) \(f(i,j-1)\)考虑首添加一个\(-1\),则贡献为\(-1\times\)最大前缀和不为\(0\)的个数,考虑序列个数减掉为\(0\)的个数 设\(k(i,j)\)为\(0\)的个数 \(i=0:k(i,j)=1\) \(j=0或i>j:k(i,j)=0\) \(i\le:k(…

题意:求n个1,m个-1组成的所有序列中,最大前缀之和. 首先引出这样一个问题:使用n个左括号和m个右括号,组成的合法的括号匹配(每个右括号都有对应的左括号和它匹配)的数目是多少? 1.当n=m时,显然答案为卡特兰数$C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n+1}$ 2.当n<m时,无论如何都不合法,答案为0 3.当n>m时,答案为$C_{n+m}^{n}-C_{n+m}^{n+1}$,这是一个推论,证明过程有点抽象,方法是把不合法的方案数等价于从(0,-2)移动到(n+m,n-m)的方案数,…

http://codeforces.com/contest/1204/problem/E 给定n个 1 m个 -1的全排 求所有排列的$f(a) = max(0,max_{1≤i≤l} \sum_{j=1}^{i} a_{j} )$之和 组合数,枚举 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; ; int n, m; ll C[][]; ll sum; ll realSum; ll ans; void…

题面 题解 把题意变换一下,从(0,0)走到(n,m),每次只能网右或往上走,所以假设最大前缀和为f(n),那么走的时候就要到达但不超过 y = x-f(n) 这条线, 我们可以枚举答案,然后乘上方案数. 根据卡塔兰数的通项公式公式的推导过程, 可以得出方案数的解法, 对于这道题的图中,求碰到过红线的方案数则是把第一次碰到红线后的步骤都沿红线轴对称折叠过去,那么就唯一对应一个从(0,0)走到(m+f(n),n-f(n))的方案,方案数就为C(n+m,n-f(n)) (这里是组合数) 我们再容斥一…

Codeforces Round #581 (Div. 2)-E. Natasha, Sasha and the Prefix Sums-动态规划+组合数学 [Problem Description] ​ 给你\(n\)个\(1\),\(m\)个\(-1\),他们任意排列有\(\frac{(n+m)!}{n!\cdot m!}\)中排列,每种排列都有一个最大前缀和(可能为\(0\)),求所有排列的最大前缀和之和为多少. [Solution] ​ 定义\(dp[i][j]\)表示有\(i\)个\(…

A non-empty zero-indexed string S is given. String S consists of N characters from the set of upper-case English letters A, C, G, T. This string actually represents a DNA sequence, and the upper-case letters represent single nucleotides(核苷). You are…

A non-empty zero-indexed array A consisting of N integers is given. The consecutive elements of array A represent consecutive cars on a road. Array A contains only 0s and/or 1s: 0 represents a car traveling east, 1 represents a car traveling west. Th…

Prefix Sums 在 n >= 4时候直接暴力. n <= 4的时候二分加矩阵快速幂去check #include<bits/stdc++.h> #define LL long long #define LD long double #define fi first #define se second #define mk make_pair #define PLL pair<LL, LL> #define PLI pair<LL, int> #def…