环形涂色裸题 #include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<vector> #include<cstring> #include<map> #include<set> #include<cmath> #include<queue> #include<bitset> #include<utility&…

http://www.cnblogs.com/wenruo/p/5304698.html 先看 Polya定理,Burnside引理回忆一下基础知识.总结的很棒. 一个置换就是集合到自身的一个双射,置换群就是元素为置换的群. 再看 Polya入门  涨涨姿势. Burnside定理,在每一种置换群也就是等价群中的数量和除以置换群的数量,即非等价的着色数等于在置换群中的置换作用下保持不变的着色平均数. Polya定理:设 是n个对象的一个置换群, 用m种颜色染图这n个对象,则不同的染色方案数为:…

最近,研究了两天的Burnside引理和Polya定理之间的联系,百思不得其解,然后直到遇到下面的问题: 对颜色限制的染色 例:对正五边形的三个顶点着红色,对其余的两个顶点着蓝色,问有多少种非等价的着色? 其中置换的方法有旋转 \(0^{\circ}, 72^{\circ}, 144^{\circ}, 216^{\circ}, 288^{\circ}\), 穿过一个点做对称轴进行翻转. Burnside引理的证明 那么,在解决这个问题之间,我们首先要定义和证明一些东西: 在集合\(X\)的置换群…

题目大意:给一个$n$个点的环染色,有$n$中颜色,问有多少种涂色方案是的旋转后本质不同 题解:$burnside$引理:$ans=\dfrac1{|G|}\sum\limits_{g\in G}A_g$ 对于环,有$Polya$定理:$ans=\dfrac1{|G|}\sum\limits_{g\in G}m^{c(g)}$($m$为颜色数,在这道题中$m=n$,$c(g)$为置换$g$中循环个数) 因为是循环相同,所以$|G|=n$,当$g=\left(\begin{smallmatrix}…

Polya定理:设G={π1,π2,π3........πn}是X={a1,a2,a3.......an}上一个置换群,用m中颜色对X中的元素进行涂色,那么不同的涂色方案数为:1/|G|*(mC(π1)+mC(π2)+mC(π3)+...+mC(πk)). 其中C(πk)为置换πk的循环节的个数. Polya定理的基础应用. 你得算出旋转和翻转时,每种置换的循环节数. 旋转时,每种置换的循环节数为gcd(n,i): 翻转时,若n为奇数,共有n个循环节数为n+1>>1的置换, 若n为偶数,共有n…

http://poj.org/problem?id=1286 题意:求用3种颜色给n个珠子涂色的方案数.polya定理模板题. #include <stdio.h> #include <math.h> long long gcd(long long a,long long b) { return b?gcd(b,a%b):a; } int main() { long long n; while(~scanf("%lld",&n)) { ) break;…

题目:http://poj.org/problem?id=2409 题意:用k种不同的颜色给长度为n的项链染色 网上大神的题解: 1.旋转置换:一个有n个旋转置换,依次为旋转0,1,2,```n-1.对每一个旋转置换,它循环分解之后得到的循环因子个数为gcd(n,i). 2.翻转置换:分奇偶讨论. 奇数的时候 翻转轴 = (顶点+对边终点的连线),一共有n个顶点,故有n个置换,且每个置换分解之后的因子个数为n/2+1; 偶数的时候 翻转轴 = (顶点+顶点的连线),一共有n个顶点,故有n/2个置…

感觉这两个东西好鬼畜= = ,考场上出了肯定不会qwq.不过还是学一下吧用来装逼也是极好的 群的定义 与下文知识无关.. 给出一个集合$G = \{a, b, c, \dots \}$和集合上的二元运算"$*$",并满足 (1).封闭性:$\forall a, b \in G, \exists c \in G, a * b = c$ (2).结合律:$\forall a, b, c \in G, (a * b) * c = a * (b * c)$ (3).单位元:$\exists e…

Time Limit: 2000MS   Memory Limit: 65536K Total Submissions: 11654   Accepted: 3756 Description Beads of N colors are connected together into a circular necklace of N beads (N<=1000000000). Your job is to calculate how many different kinds of the nec…

题目链接:http://poj.org/problem?id=2409 题意: 有一串n个珠子穿起来的项链,你有k种颜色来给每一个珠子染色. 问你染色后有多少种不同的项链. 注:“不同”的概念是指无论怎样旋转或翻转项链,都与之前的不同. 题解: 本题用到了置换的相关知识: (1)Burnside引理: 等价类数目 = 所有C(f)的平均值 (C(f)为置换f的不动点数目) (2)置换f可以分解成m(f)个循环的乘积,假设涂k种颜色: C(f) = k^m(f) (3)Polya定理:(综上) 等…