蝴蝶操作和Rader排序 蝴蝶操作的定义: 雷德(Rader)算法 (Gold Rader bit reversal algorithm) 按自然顺序排列的二进制数,其下面一个数总是比其上面一个数大1,即下面一个数是上面一个数在最低位加1并向高位进位而得到的.而倒位序二进制数的下面一个数是上面一个数在最高位加1并由高位向低位进位而得到. I. J都是从0开始,若已知某个倒位序J,要求下一个倒位序数,则应先判断J的最高位是否为0,这可与k=N/2相比较,因为N/2总是等于100..的.如 果k>J…

小学生都能看懂的FFT!!! 前言 在创新实践重心偷偷看了一天FFT资料后,我终于看懂了一点.为了给大家提供一份简单易懂的学习资料,同时也方便自己以后复习,我决定动手写这份学习笔记. 食用指南: 本篇受众:如标题所示,另外也面向同我一样高中起步且非常菜的OIer.真正的dalao请无视. 本篇目标:让大家(和不知道什么时候把FFT忘了的我)在没有数学基础的情况下,以最快的速度了解并 会写 FFT.因此本篇将采用尽可能通俗易懂的语言,且略过大部分数学证明,在严谨性上可能有欠缺.但如果您发现了较大的…

引入 可能有不少OIer都知道FFT这个神奇的算法, 通过一系列玄学的变化就可以在 $O(nlog(n))$ 的总时间复杂度内计算出两个向量的卷积, 而代码量却非常小. 博主一年半前曾经因COGS的一道叫做"神秘的常数 $\pi$"的题目而去学习过FFT, 但是基本就是照着板子打打完并不知道自己在写些什么鬼畜的东西OwO 不过...博主这几天突然照着算法导论自己看了一遍发现自己似乎突然意识到了什么OwO然后就打了一道板子题还1A了OwO再加上午考试差点AK以及日更频率即将不保于是就有了…

大力推荐博客: 傅里叶变换(FFT)学习笔记 一.多项式乘法: 我们要明白的是: FFT利用分治,处理多项式乘法,达到O(nlogn)的复杂度.(虽然常数大) FFT=DFT+IDFT DFT: 本质是把多项式的系数表达转化为点值表达.因为点值表达,y可以直接相乘.点值表达下相乘的复杂度是O(n)的. 我们分别对两个多项式求x为$\omega_n^i$时的y值. 然后可以O(n)求出乘积多项式x为$\omega_n^i$时的y值. 求法: 把F(x)奇偶分类. $FL(x)=a_0+a_2x+.…

本次笔记学习自算法导论 FFT核心:系数表示→(单位复数根)点值表示→(插值)系数表示 关于单位复数根 n次单位复数根\(ω\)为满足\(ω^n=1\)的复数 n次单位复数根恰好有n个,表示为\(ω_k,k=0,1,...n-1\) 由欧拉公式\(e^{iθ}=cosΘ+isinΘ\),得\(ω_k=e^{i2πk/n}\) 主n次单位根\(ω_n=e^{2πi/n}\),其他n次单位复数根都是\(ω_n\)的幂次,表示为\(ω_n^k,k=0,1,...n-1\) \(ω_n^n=ω_n^0\…

你看我都不好意思说是学习笔记了,毕竟\(FFT\)我怎么可能学得会 那就写一篇抄袭笔记吧ctrl+c真舒服 先从多项式说起吧 1.多项式 我们定义一个多项式 \[F(x)=\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i\] 这就是一个\(n-1\)次的多项式了 比如说\(F(x)=x^3+2x^2+x+1\)就是一个三次的多项式了 我们还可以把多项式理解成函数,比如说上面那个多项式\(F(2)=2^3+2\times2^2+2+1=19\) 很休闲吧,我会的也就这么多了 之后多项式还有两种表达形式…

[学习笔记]快速傅里叶变换 学习之前先看懂这个 浅谈范德蒙德(Vandermonde)方阵的逆矩阵的求法以及快速傅里叶变换(FFT)中IDFT的原理--gzy hhh开个玩笑. 讲一下\(FFT\) 的流程,我也不准备长篇大论地分析\(FFT...\) 将系数表示法转换为点值表示法 \(O(n \log n)​\) 对于点值表示法直接进行操作 \(O(n)\) 将点值表示法转换为系数表示法 \(O(n \log n)​\) 这样的流程,最终复杂度是\(O(n \log n)\) 的,现在我们从最…

定义 多项式 系数表示法 设\(A(x)\)表示一个\(n-1\)次多项式,则所有项的系数组成的\(n\)维向量\((a_0,a_1,a_2,\dots,a_{n-1})\)唯一确定了这个多项式. 即 \[A(x)=\sum \limits_{i=0}^{n-1}a_ix^i\] \[=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_{n-1}x^{n-1}\] 点值表示法 将\(n\)个互不相同的\(x\)代入多项式,会得到\(n\)个互不相同的取值\(y\).设他们组成的\(n\)维向量分别…

FFT和NTT学习笔记 算法导论 参考(贺) http://picks.logdown.com/posts/177631-fast-fourier-transform https://blog.csdn.net/qq_38944163/article/details/81835205 https://www.cnblogs.com/RabbitHu/p/FFT.html [TOC] 概述 目的 以$O(nlg_n)$的时间复杂度计算多项式乘法 多项式的表达 系数表达: \(\{a_0, a_1,…

目录 「学习笔记」FFT 之优化--NTT 前言 引入 快速数论变换--NTT 一些引申问题及解决方法 三模数 NTT 拆系数 FFT (MTT) 「学习笔记」FFT 之优化--NTT 前言 \(NTT\) 在某种意义上说,应该属于 \(FFT\) 的一种优化. --因而必备知识肯定要有 \(FFT\) 啦... 如果不知道 \(FFT\) 的大佬可以走这里 引入 在 \(FFT\) 中,为了能计算单位原根 \(\omega\) ,我们使用了 \(\text{C++}\) 的 math 库中的…