MT【191】阿波罗尼乌斯圆

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MT【191】阿波罗尼乌斯圆

已知$f(x)=2\sqrt{(\cos x+\frac{1}{2})^2+\sin^2 x}-\sqrt{\cos^2 x+(\sin x-\frac{1}{2})^2}$,若$m\ge f(x)$恒成立,求$m$的范围_______. 提示: 设 $A'(-\dfrac{1}{2},0),B(0,\dfrac{1}{2}),A(-2,0),P(x,y)$为单位圆上的点, 则$f(x)=2|PA'|-|PB|=|PA|-|PB|\le |AB|=\dfrac{\sqrt{17}}{2}$故$m…

MT【107】立体几何中用阿波罗尼乌斯圆的一道题

分析:利用内外圆知识知道,B,C两点到 AD 的距离$\le4$. 利用体积公式$V=\frac{1}{3}S_{截面}|AD|\le2\sqrt{15}$…

MT【253】仿射和蒙日圆

如图,设点$M(x_0,y_0)$是椭圆$C:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$上一点,从原点$O$向圆$M:(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=\dfrac{2}{3}$作两条切线分别与椭圆$C$交于$P,Q$,直线$OP,OQ$的斜率分别为$k_1,k_2$(1)求证:$k_1k_2$为定值(2)求四边形$OPQM$面积的最大值. 分析:涉及到面积最大容易想到仿射变换:(1)$$\begin{cases} x^{'}&=x\\ y^{'}&=\sqrt{2}y\end{ca…

普林斯顿数学指南(第三卷) (Timothy Gowers 著)

第V部分定理与问题 V.1 ABC猜想 V.2 阿蒂亚-辛格指标定理 V.3 巴拿赫-塔尔斯基悖论 V.4 Birch-Swinnerton-Dyer 猜想 V.5 卡尔松定理 V.6 中心极限定理 V.7 有限单群的分类 V.8 狄利克雷素数定理 V.9 遍历定理 V.10 费马大定理 V.11 不动点定理 V.12 四色定理 V.13 代数的基本定理 V.14 算术的基本定理 V.15 哥德尔定理 V.16 Gromov 多项式增长性定理 V.17 希尔伯特零点定理 V.18 连续统假设的…

如何阅读一本书——分析阅读Pre

如何阅读一本书--分析阅读Pre 前情介绍作者: 莫提默.艾德勒查尔斯.范多伦初版:1940年,一出版就是全美畅销书榜首一年多.钢铁侠Elon.Musk学过. 需要注意的句子: 成功的阅读牵涉到读者与作者达成共识. 实用性的书,要以目标结果为导向去学习.没有目的的学习是毫无效率和意义的. 如果一本书不能启发一个人时,读者只有一个解决办法,就是自己亲身体验以获得必要的特殊经验.即上手操作. 只有当我们解决了基础的层次问题,即基础阅读中遇到的如不认识的字或语法句法问题时,我们的阅读能力才能更上…

MT【290】内外圆求三角最值

求$\sqrt{\dfrac{5}{4}-\sin x}+2\sqrt{\dfrac{9}{4}+\cos x-\sin x}$的最小值. 提示:$\sqrt{\dfrac{5}{4}-\sin x}+2\sqrt{\dfrac{9}{4}+\cos x-\sin x}$ $=\sqrt{(\dfrac{1}{2}\cos x)^2+(1-\dfrac{1}{2}\sin x)^2}+2\sqrt{(\dfrac{1}{2}\cos x+1)^2+(\dfrac{1}{2}\sin x-1)^2…