题目描述 求出n个点的简单(无重边无自环)无向连通图数目mod 1004535809(479 * 2 ^ 21 + 1). 输入 仅一行一个整数n(<=130000) 输出 仅一行一个整数, 为方案数 mod 1004535809. 样例输入 3 样例输出 4 题解 容斥原理+NTT+多项式求逆 设 $f_i$ 表示 $i$ 个点的简单无向连通图的数目,$g_i$ 表示 $i$ 个点的简单无向图的数目. 根据定义得 $g_i=2^{\frac{n(n-1}2}$ . 对于 $f_i$ ,考虑容斥…

写在前面的话 昨天听吕老板讲课,数数题感觉十分的神仙. 于是,ErkkiErkko这个小蒟蒻也要去学数数题了. 分析 Miskcoo orz 带标号无向连通图计数. \(f(x)\)表示\(x\)个点的带标号无向连通图的个数.弱化限制条件,令\(g(x)\)表示\(x\)个点的带标号无向图的个数(不要求连通). 考虑每条边是否出现,显然有: \[g(x)=2^{\binom{x}{2}}\] 考虑编号为\(1\)的结点所在连通块的大小,有: \[g(x)=\sum_{i=1}^{x}\binom…

3456: 城市规划 Time Limit: 40 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 658  Solved: 364 Description 刚刚解决完电力网络的问题, 阿狸又被领导的任务给难住了. 刚才说过, 阿狸的国家有n个城市, 现在国家需要在某些城市对之间建立一些贸易路线, 使得整个国家的任意两个城市都直接或间接的连通. 为了省钱, 每两个城市之间最多只能有一条直接的贸易路径. 对于两个建立路线的方案, 如果存在一个城市对, 在两个方案中是否建立路线不一…

题面 bzoj权限题面 离线题面 思路 orz Miskcoo ! 先考虑怎么算这个图的数量 设$f(i)$表示$i$个点的联通有标号无向图个数,$g(i)$表示$n$个点的有标号无向图个数(可以不连通) 那么,显然因为$n$个点有$\binom{n}{2}$条边可以选放不放,所以$g(n)=2^{\binom{n}{2}}$ 同时,我们考虑枚举标号为$1$的点所在的联通块大小,以此用$f$来表示$g$ 那么,显然可以得到以下式子: $g(n)=\sum_{i=1}^{n-1}\binom{n-…

参考:http://blog.miskcoo.com/2015/05/bzoj-3456 首先推出递推式(上面的blog讲的挺清楚的),大概过程是正难则反,设g为n个点的简单(无重边无自环)无向图数目,显然边数是\( C_{n}^{2} \),所以\( g(n)=2^{C_{n}^{2}} \),那么f[n]=g[n]-n个点的简单(无重边无自环)无向不连通图数目,后面那部分可以枚举1所在联通块的1点数,当这个块有i个点时,方案数为从n-1个点中选出i-1个(减去点1)* f[i](这i个点组成…

题目链接: https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3456 题意: 求出\(n\)个点的简单(无重边无自环)无向连通图的个数.(\(n<=130000\)). 并且输出方案数mod \(1004535809(479 * 2 ^ {21} + 1)\). 题解: 这题是POJ 1737的加强版. 从之前写过的题解中: POJ 1737 Connected Graph 我们知道存在这样的递推式: \[f[n]=2^{C(n,2)}-\sum…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3456 分治FFT: 设 dp[ i ] 表示 i 个点时连通的方案数. 考虑算补集:连通的方案数 == 随便连方案数 - 不连通方案数 不连通方案数就和很久之前做过的“地震后的幻想乡”一样,枚举一个连通的点集,其中需要一直包含一个“划分点”保证不重复:其余部分随便连.注意还有从 i 个点里选 j 个点作为连通点集的那个组合数. \( dp[i]=2^{C^{2}_{i}} - \sum\l…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3456 首先考虑DP做法,正难则反,考虑所有情况减去不连通的情况: 而不连通的情况就是那个经典做法:选定一个划分点,枚举包含它的连通块,连通块以外的部分随便连(但不和连通块连通),合起来就是不连通的方案数: 设 \( f[i] \) 表示一共 \( i \) 个点时的连通方案数,\( g[i] \) 表示 \( i \) 个点随便连的方案数,即 \( g[i] = 2^{C_{i}^{2}}…

正题 题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4233 题目大意 随机选择一条有哈密顿回路的\(n\)个点的竞赛图,求选出图的哈密顿回路的期望个数. 对于每个\(n\in[1,N]\)求答案. \(1\leq N\leq 10^5\) 解题思路 竟然自己推出来了泪目( Ĭ ^ Ĭ ) 如果是统计所以的哈密顿回路个数是一个很简单的题目,我们可以求出\(n\)的一个圆排列表示一条回路,然后剩下的边随便排即可.也就是\((n-1)!\times 2^{\frac{…

定义多项式$h(x)$的每一项系数$h_i$,为i在c[1]~c[n]中的出现次数. 定义多项式$f(x)$的每一项系数$f_i$,为权值为i的方案数. 通过简单的分析我们可以发现:$f(x)=\frac{2}{\sqrt{1-4h(x)}+1}$ 于是我们需要多项式开方和多项式求逆. 多项式求逆: 求$B(x)$,使得$A(x)*B(x)=1\;(mod\;x^m)$ 考虑倍增. 假设我们已知$A(x)*B(x)=1\;(mod\;x^m)$,要求$C(x)$,使得$A(x)*C(x)=1\;…

第一眼生成函数.四个等比数列形式的多项式相乘,可以化成四个分式.其中分母部分是固定的,可以多项式求逆预处理出来.而分子部分由于项数很少,询问时2^4算一下贡献就好了.这个思路比较直观.只是常数巨大,以及需要敲一发类似任意模数ntt的东西来避免爆精度.成功以这种做法拿下luogu倒数rank1,至于bzoj不指望能过了. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstdlib>…

不想多说了,看网上的题解吧,我大概说下思路. 首先考察Stirling的意义,然后求出递推式,变成卷积的形式. 然后发现贡献是一定的,我们可以分治+NTT. 也可以直接求逆(我不会啊啊啊啊啊) #include <map> #include <cmath> #include <queue> #include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <alg…

传送门 注意到总共有\(\frac{n!}{n}\)条本质不同的哈密顿回路,每一条哈密顿回路恰好会出现在\(2^{\binom{n}{2} - n}\)个图中,所以我们实际上要算的是强连通有向竞赛图的数量. 设\(f_i\)表示点数为\(i\)的强连通竞赛图数,转移考虑用总数\(2^\binom{i}{2}\)减去不强连通的图数量.如果竞赛图不强连通,我们可以枚举拓扑序最靠后的一个强连通子图,如果它的大小为\(j\),那么剩下\(i-j\)个点之间的边可以任意连,但是这\(i-j\)个和这\(j…

生成函数又有奇妙的性质. $F(x)=C(x)*F(x)*F(x)+1$ 然后大力解方程,得到一个带根号的式子. 多项式开根有解只与常数项有关. 发现两个解只有一个是成立的. 然后多项式开根.求逆. 不太会算复杂度为什么是$n\log {n}$的. 开根号里套了一个求逆,不应该是两个$\log$? #include <map> #include <cmath> #include <queue> #include <cstdio> #include <c…

https://loj.ac/problem/6402 庆祝一下,,,第一个我自己做出来的,,,多项式的题(没办法,我太弱 虽然用了2个小时才想出来,但这毕竟是0的突破…… 首先声明,虽然我写的题解很长,但是大部分都是证明和废话 第一步,转化题意(用时30min): 一个1~n的全排列$p$,如果存在$i<j,p[i]<p[j]$,那么就把$i$和$j$之间连一条边. 问所有p的所有排列方案,最后联通块的大小的乘积,的和. 因为原题中$a$是随机的实数,所以说我们可以不用考虑有$a_i=a_j…

Code: #include<bits/stdc++.h> #define maxn 300000 #define ll long long #define MOD 998244353 #define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) ,freopen(s".out","w",stdout) using namespace std; namespace poly{ #define…

传送门 CTS的计数题更完辣(撒花 Orz zx2003,下面的内容在上面的博客基础上进行一定的补充. 考虑计算无限循环之后不存在子串比\(s\)字典序小的串的个数.先对串\(s\)建立KMP自动机,那么对于点\(i\)连出的所有边,只有不是回到起点的字符最大的那条边以及字符比它大的走向起点的边可以走,因为如果走其他边,那么当前匹配的串就会存在一个后缀比\(s\)字典序小. 经过这样的删边后,对于每一个点只有两种边,一种是去往另一个点的边,一种是去往起点的边.如果不考虑去往起点的边,与起点连通的…

https://www.cnblogs.com/HocRiser/p/8207295.html 安利! 写NTT把i<<=1写成了i<<=2,又调了一年.发现我的日常就是数组开小调调调,变量名写错调调调,反向判if调调调,退役吧. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstdlib> #include<cstring> #include&…

https://www.cnblogs.com/HocRiser/p/8207295.html 安利! #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; #define ll long long #define P 9982443…

https://www.cnblogs.com/HocRiser/p/8207295.html 安利! #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; #define ll long long #define P 9982443…

#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cmath> #define ll long long #define N 300005 using namespace std; ; ; ll pw(ll x,int y) { ll lst=; while(y) { )lst=(lst*x)%p; y>>=; x=(x…

NTT多项式求逆模板,详见代码 #include <map> #include <set> #include <stack> #include <cmath> #include <queue> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cstdlib> #include <iostream> #include <algorithm> #…

FFT #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<cstdio> #include<cmath> #include<algorithm> #define maxn 1000005 using namespace std; inline int read() { ,f=;char ch=getchar(); ; +ch-'; return x*f; }…

Description 求\(~n~\)个点组成的有标号无向连通图的个数.\(~1 \leq n \leq 13 \times 10 ^ 4~\). Solution 这道题的弱化版是poj1737, 其中\(n \leq 50\), 先来解决这个弱化版的题.考虑\(~dp~\),直接统计答案难以入手,于是考虑容斥.显然有,符合条件的方案数\(=\)所有方案数\(-\)不符合条件的方案数,而这个不符合条件的方案数就是图没有完全联通的情况.设\(~dp_i~\)表示\(~i~\)个点组成的合法方案…

题面 求有 \(n\) 个点的无向有标号连通图个数 . \((1 \le n \le 1.3 * 10^5)\) 题解 首先考虑 dp ... 直接算可行的方案数 , 容易算重复 . 我们用总方案数减去不可行的方案数就行了 (容斥) 令 \(f_i\) 为有 \(i\) 个点的无向有标号连通图个数 . 考虑 \(1\) 号点的联通块大小 , 联通块外的点之间边任意 但 不能与 \(1\) 有间接联系 . 那么就有 \[\displaystyle f_i = 2^{\binom i 2} - \s…

题解 分治FFT 设\(f_i\)为\(i\)个点组成的无向图个数,\(g_i\)为\(i\)个点组成的无向连通图个数 经过简单的推导(枚举\(1\)所在的连通块大小),有: \[ f_i=2^{\frac{i(i-1)}{2}} \] \[ \begin{align} g_i&=f_i-\sum_{j=1}^{i-1}\binom{n-1}{j-1}g_jf_{i-j}\\ &=f_i-(i-1)!\sum_{j=1}^{i-1}\frac{g_j}{(j-1)!}\frac{f_{i-…

官方题解:http://codeforces.com/blog/entry/54233 就是由简入繁 1.序列处理,只考虑一个半圆 2.环形处理(其实这个就是多了旋转同构) 然后基于分割线邻居的跨越与否,分类讨论 g->没有分割线方案数(其实也可以变成贡献,但是太简单,之后乘上(i+0/1/2)也方便) f0->有分割线,两边都没有选所有情况的贡献的和 f1->有分割线,两边选择了一个所有情况的贡献的和 f2->有分割线,两边都选择了所有情况的贡献的和 最后对于环 考虑除了中间割线…

题目链接 BZOJ3456 题解 之前我们用分治\(ntt\)在\(O(nlog^2n)\)的复杂度下做了这题,今天我们使用多项式求逆 设\(f_n\)表示\(n\)个点带标号无向连通图数 设\(g_n\)表示\(n\)个点图的数量,显然\(g_n = 2^{{n \choose 2}}\) 枚举\(1\)号点所在联通块大小,我们有 \[g_n = \sum\limits_{i = 1}^{n} {n - 1 \choose i - 1}f_{i}g_{n - i}\] 代入\(g_n\) \[…

传送门 解题思路 这道题就是求带标号的无向连通图个数,首先考虑\(O(n^2)\)的做法,设\(f_i\)表示有\(i\)个节点的无向连通图个数,那么考虑容斥,先把所有的无向图求出,即为\(2^{C(n,2)}\),再减去不联通的情况,而计算不联通情况时可以枚举\(1\)号点这个联通块的大小,就有方程 \[f_i=2^{C_i^2}-\sum\limits_{j=1}^{i-1}C_{i-1}^{j-1}2^{C^2_{i-j}}f_j\] 发现这样的时间复杂度为\(O(n^2)\)的,无法通过…

[BZOJ 3625] [Codeforces 438E] 小朋友的二叉树 (DP+生成函数+多项式开根+多项式求逆) 题面 一棵二叉树的所有点的点权都是给定的集合中的一个数. 让你求出1到m中所有权值为i的二叉树的个数. 两棵树不同当且仅当树的形态不一样或者是树的某个点的点权不一样 分析 设\(c(i)\)表示数值i是否在集合中.\(f(i)\)表示权值为i的二叉树的个数.那么 \[f(n)=\sum_{i=1}^n c(i) \sum_{j=0}^{n-i} f(j)f(n-i-j)\] 其…