$Ans(l,r)=ans(r)-ans(l-1)\\ans(n)=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^i \frac{j}{gcd(i,j)}\\=\sum\limits_{g=1}^n \sum\limits_{i=1}^{n/g} \sum\limits_{j=1}^n j\cdot [gcd(i,j)=1]\\=\sum\limits_{g=1}^n \sum\limits_{i=1}^{n/g} \sum\limits_{j=1}^n j\sum…

题意 求 $\sum_{i=a}^b \sum_{j=1}^i \frac{lcm(i,j)}{i}$. 分析 只需要求出前缀和, $$\begin{aligned}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i \frac{lcm(i,j)}{i} &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i \frac{j}{gcd(i,j)} \\&= \sum_{d=1}^n \sum _{i=1}^n \sum_{j=1}^i \frac{j}{d} \cdot [gcd(i,j…

1227 平均最小公倍数 题意:求\(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n lcm(n,i)\) 和的弱化版? \[ ans = \frac{1}{2}((\sum_{i=1}^n \sum_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{i} \rfloor} d\cdot \varphi(d) ) - \sum_{i=1}^n) \] 求\(id\cdot \varphi\)的前缀和,卷上\(id\)就行了 我竟然把整除分块打错了,直接i++,gg #include <iostr…

原题链接 Lcm(a,b)表示a和b的最小公倍数,A(n)表示Lcm(n,i)的平均数(1 <= i <= n), 例如:A(4) = (Lcm(1,4) + Lcm(2,4) + Lcm(3,4) + Lcm(4,4)) / 4 = (4 + 4 + 12 + 4) / 4 = 6.   F(a, b) = A(a) + A(a + 1) + ...... A(b).(F(a,b) = ∑A(k), a <= k <= b) 例如:F(2, 4) = A(2) + A(3) +…

题解 这个故事告诉们数论函数不要往分式上跑,你推不出来 好久没推式子了这么明显的转化我都忘了= = 首先\(A(n) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{i * n}{gcd(i,n)}\) 然后显然可以把n消掉 \(A(n) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{i}{gcd(i,n)}\) 改为枚举约数 \(A(n) = \sum_{d = 1}^{n} \frac{1}{d}\sum_{i = 1}^{n} i [gcd(i,n) == d…

http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1227 懒得打公式了,看这位的吧:https://blog.csdn.net/fromatp/article/details/74999989 又一次将我的智商下限刷低的一道题,论我根本没注意到[gcd(i,j)==1]*j=phi(i)*i/2这个悲催的事实. 果然我数学活该学不好. #include<map> #include<cmath> #inclu…

以后这种题能用phi的就不要用mu-mu往往会带着个ln然后被卡常致死 把题目要求转换为前缀和相减的形式,写出来大概是要求这样一个式子: \[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}\frac{j}{gcd(i,d)} \] 注意j的限制是i \[ \sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}[gcd(i,j)==d]\frac{j}{d} \] \[ \sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{\left \lfloor \fr…

题意 定义 \(n\) 的平均最小公倍数: \[ A(n)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\text{lcm}(n,i) \] 求 \[ \sum _{i=L}^RA(i) \] \(n\le 10^9\) . 分析 有趣的题,学到了一些东西. 我最开始不知道怎么都枚举gcd的时候是整除枚举,然后怎么都做不了.改求和指标为gcd的时候,直接从 1 到 \(n\) 枚举不是很正常的做法吗?于是就开始推---经过很久,答案变成了这个样子: \[ \sum _{i=1}^ng(i)f…

Preface 老叶说了高中停课但是初中不停的消息后我就为争取民主献出一份力量 其实就是和老师申请了下让我们HW的三个人听课结果真停了 那么还是珍惜这次机会好好提升下自己吧不然就\(AFO\)了 List Luogu P4198 楼房重建 把高度化为斜率,然后就是个动态最长上升子序列的问题了,线段树上二分即可解决,而且可以做到\(O(n\log n)\) NOIP模拟赛10.24 实力翻车,T1主席树裸题切了,T2想了贪心+前缀和+二分正解,最后1min写完发现忘记判边界了炸到60,T3以为很难…

最近重新系统地学了下这几个知识点,以前没发现他们的联系,这次总结一下. 莫比乌斯反演入门:https://blog.csdn.net/litble/article/details/72804050 线性筛筛常见积性函数及其代码:https://blog.masterliu.net/algorithm/sieve/ 积性函数与线性筛(包括普通线性函数):https://blog.csdn.net/weixin_42562050/article/details/87997582 bzoj2154/b…