题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4407 推导如这里:https://www.cnblogs.com/clrs97/p/5191506.html 然后发现 \( F(D) \) 是一个积性函数,可以筛质数的同时筛出来: 首先,单个质数 \( p \) 时只有 \( d=1 \) 和 \( d=p \) 两个因数,所以 \( F[p] = p^{k} - 1 \) 然后如果筛到互质的数,直接把 \( F() \) 相乘即可:…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4407 \( ans = \sum\limits_{D=1}^{min(n,m)}\frac{n}{D}*\frac{m}{D}\sum\limits_{d|D}d^{k}\mu (\frac{D}{d}) \) 设 \( g[ i ]=\sum\limits_{j|i}(\frac{i}{j})^{k}*\mu (j) \) ,则 g 是积性函数(因为 id 是积性函数,所以 idk 也是…

Divisor counting 题目大意:定义f(n)表示整数n的约数个数.给出正整数n,求f(1)+f(2)+...+f(n)的值. 注释:1<=n<=1000,000 想法:我们再次有两种做法:文...武......想讲武的......我们其实这次更博只是为了介绍一种知识点——线性筛法筛积性函数.这里,给出线性筛的万能筛法. 1.初值:显然,初值是必要的. 2.我们类比欧拉筛,用k(n)举例.当n是素数时的情况使我们必须的,这相当于初值一样重要. 3.又因为,我们主要筛积性函数,显然函数…

4407: 于神之怒加强版 Time Limit: 80 Sec  Memory Limit: 512 MBSubmit: 1067  Solved: 494[Submit][Status][Discuss] Description 给下N,M,K.求     Input 输入有多组数据,输入数据的第一行两个正整数T,K,代表有T组数据,K的意义如上所示,下面第二行到第T+1行,每行为两个正整数N,M,其意义如上式所示. Output 如题 Sample Input 1 2 3 3 Sample…

题目链接 Description 求\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\gcd(i,j)^K\ \mod\ 10^9+7\] Solution 前面部分依旧套路. \[\begin{aligned}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\gcd(i,j)^K&=\sum_{d=1}^{min(n,m)}d^K\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\left[(i,j)=d\right]\\&=\sum_{d=1}^{min(n,m)}d^K\sum_{…

题链: http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4407 题解: 莫比乌斯反演 直接套路化式子 $\begin{align*}ANS&=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)^k(接下来先枚举gcd的值g,然后求出有多少对(i,j)的gcd=g) \\&=\sum_{g=1}^{min(n,m)}g^k\sum_{d=1}{\frac{n}{g}\mu(d)\lfloor \frac{n}{gd} \…

LINK:简单题 以前写过弱化版的 不过那个实现过于垃圾 少预处理了一个东西. 这里写一个实现比较精细了. 最后可推出式子:\(\sum_{T=1}^nsum(\frac{n}{T})\sum_{x|T}(\frac{T}{x})^kx^k\mu(\frac{T}{x})^2\mu(x)\) 其中 \(sum(x)=\sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{x}(i+j)^k\) 先看前面的那项 由于是完全积性函数先筛出\(i^k\)复杂度可近乎是O(n)的. 考虑上面的式子怎么求?再…

下文中所有讨论都在数论函数范围内开展. 数论函数指的是定义域为正整数域, 且值域为复数域的函数. 数论意义下的和式处理技巧 因子 \[ \sum_{d | n} a_d = \sum_{d | n} a_{\frac n d} \] 双重因子 \[ \sum_{k | n} \sum_{j | k} a_{k, j} = \sum_{k | n} \sum_{j | \frac n k} a_{jk, k} \] \[ \sum_{n | k} \sum_{k | j} a_{k, j} = \…

2693: jzptab Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 512 MBSubmit: 444  Solved: 174[Submit][Status][Discuss] Description   Input 一个正整数T表示数据组数 接下来T行 每行两个正整数 表示N.M Output T行 每行一个整数 表示第i组数据的结果 Sample Input 1 4 5 Sample Output 122 HINT T <= 10000 N, M<=100000…

最近重新系统地学了下这几个知识点,以前没发现他们的联系,这次总结一下. 莫比乌斯反演入门:https://blog.csdn.net/litble/article/details/72804050 线性筛筛常见积性函数及其代码:https://blog.masterliu.net/algorithm/sieve/ 积性函数与线性筛(包括普通线性函数):https://blog.csdn.net/weixin_42562050/article/details/87997582 bzoj2154/b…