做这题的时候发现题解里有提到\(generalizations\ of\ Cayley's\ formula\)的,当场懵逼,Wikipedia里也就带到了一下,没有解释怎么来的,然后下面贴了篇论文. 大概就是\(n\)个点\(k\)个联通块的森林,\(1,2,\cdots,k\)属于不同的联通块,这样不同的方案数共有\(k\cdot n^{n-k-1}\)种. 我自己用\(Prüfer\)序列脑补了半天没搞懂怎么来的,始终觉得感性理解是\(n^{n-k}\),然后就去看了下那个证明. 用\(F…

\(Prufer\)序列 在一棵\(n\)个点带标号无根树里,我们定义这棵树的\(Prufer\)序列为执行以下操作后得到的序列 1.若当前树中只剩下两个节点,退出,否则执行\(2\) 2.令\(u\)为树中编号最小的叶子节点,记\(v\)为唯一与\(u\)有边相连的节点,把\(u\)删去,并将\(v\)加入到序列的末尾,重复\(1\) 显然,得到的\(Prufer\)序列是一个长度为\(n-2\)的序列 易证每一棵\(n\)个节点的有标号无根树都唯一对应一个长度为\(n-2\)的\(Prufe…

Prufer序列 在一棵n个节点带标号树中,我们认为度数为1的点为叶子.n个点的树的Prufer序列是经过下面流程得到的一个长度为n-2的序列. 1.若当前树中只剩下两个点,退出,否则执行2. 2.找到树中编号最小的节点,将与它相连的那个点的编号加入Prufer序列的末尾,并将这个叶子删除.返回1. 显然,每棵树都唯一对应一个Prufer序列,而每个Prufer序列也唯一对应一棵树.可以通过一下流程得到这棵树. 1.令A={1,2,...,n},不断重复2直到Prufer序列为空. 2.找到A中…

Codeforces 1109D. Sasha and Interesting Fact from Graph Theory 解题思路: 这题我根本不会做,是周指导带飞我． 首先对于当前已经有 \(m\) 个联通块的有标号生成树的数量是 \[ n^{m-2}\prod_{i=1}^msize_i \] 其中 \(size_i\) 是第 \(i\) 个联通块的大小． 原理就是考虑 \(prufer\) 编码,先把每个联通块看成一个点,那么序列中每出现一个第 \(i\) 联通块缩成的点,能连的边的数…

Codeforces Round #801 (Div. 2) C(规律证明) 题目链接: 传送门QAQ 题意: 给定一个\(n * m\)的矩阵,矩阵的每个单元的值为1或-1,问从\((1,1)\)开始出发,每次只可以向下和向右走,问到终点\((n * m)\)时,是否可以总值为1. 分析: 题意很简单,本题的重点是在于,是否知道一个这样的结论: 首先定义 \(mn[i][j]\)为在\((i,j)\)处能拿到最少数量的1. \(mx[i][j]\)为在\((i,j)\)处能拿到最多数量的1.…

Problem E. Explicit Formula Time Limit: 1 Sec Memory Limit: 256 MB 题目连接 http://codeforces.com/gym/100610 Description Consider 10 Boolean variables x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, and x10. Consider all pairs and triplets of distinct variables amon…

链接:https://codeforces.com/contest/1269/problem/D 题意:给一个不规则的网格,在上面放置多米诺骨牌,多米诺骨牌长度要么是1x2,要么是2x1大小,问最多放置多米诺骨牌的数量. 思路:首先这是一个结论题,对每个方格进行染色,一个方格染黑色,周围邻近的就染白色,答案就是黑色方格数量和白色方格数量的最小值.这个结论可以用二分图进行证明:把问题抽象成最大二分图匹配,每两个点之间连一条边.一个格子和周围格子连一条边,如果一个格子周围的还没被匹配,那么匹配数+1…

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/CF1109D.html 题意 所有边权都是 [1,m] 中的整数的所有 n 个点的树中,点 a 到点 b 的距离恰好是 m 的有几个. $$n,m\leq 10^6$$ 题解 首先显然 a 和 b 的具体值是没用的. 于是我们就可以直接计数: 枚举树链 ab 上除了 a 和 b 有几个节点,假设是 i 个节点,那么这种情况下的方案总数是多少? 首先,ab 路径上 i+1 条 [1,m] 的边的和是 m ,共有…

Sasha and Interesting Fact from Graph Theory n 个 点形成 m 个有标号森林的方案数为 F(n, m) = m * n ^ {n - 1 - m} 然后就没啥难度了... #include<bits/stdc++.h> #define LL long long #define LD long double #define ull unsigned long long #define fi first #define se second #defin…

大意: 求a->b最短路长度为m的n节点树的个数, 边权全部不超过m 枚举$a$与$b$之间的边数, 再由拓展$Caylay$定理分配其余结点 拓展$Caylay$定理 $n$个有标号节点生成k棵树的森林, 且给定$k$个点各属于$k$棵树的方案数为$kn^{n-k-1}$ 可以得到有$x$条边的方案数为$\binom{m-1}{x-1}\binom{n-2}{x-1}(x-1)!m^{n-1-x}(x+1)n^{n-x-2}$ int n, m; ll fac[N], ifac[N]; ll…

思路看这篇博客就行了:https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/CF1109D.html, 讲的很好 今天学到了prufer编码,这是解决树上计数问题的一大利器,博客:https://www.cnblogs.com/jianglangcaijin/p/5989930.html #include <bits/stdc++.h> #define LL long long using namespace std; const int mod = 100000000…

Codeforces Round #539 div2 abstract I 离散化三连 sort(pos.begin(), pos.end()); pos.erase(unique(pos.begin(), pos.end()), pos.end());if (pos.size() == 0) pos.push_back(0);int id = lower_bound (pos.begin(), pos.end(), q[i].time) - pos.begin(); II java输入输出带模…

定理 过$n$个有标志顶点的树的数目等于$n^{n-2}$. 此定理说明用$n-1$条边将$n$个已知的顶点连接起来的连通图的个数是$n^{n-1}$.也可以这样理解,将n个城市连接起来的树状网络有$n^{n-1}$种可能方案.所谓树状,指的是用$n-1$条边将$n$个城市连接起来,即无环.当然,建造一个树状网络一般是求其长度最短或造价最少等.Cayley定理只能说明可能方案的数目. 证明 Cayley定理的证明方法很多,下面采用最聪明也是最容易理解的一一对应法.不失一般性,假定已知的n个顶点标…

题面 传送门 前置芝士 Prufer codes与Generalized Cayley's Formula 题解 不行了脑子已经咕咕了连这么简单的数数题都不会了-- 首先这两个特殊点到底是啥并没有影响,我们假设它们为\(1,2\)好了 首先,我们需要枚举\(1,2\)之间的边数\(i\) 我们需要考虑这中间的\(i-1\)个点是哪些点,而且它们的顺序对答案有影响,方案数乘上\(A_{n-2}^{i-1}\) 这\(i\)条边的的和要为\(m\),根据隔板法,方案数要乘上\({m-1\choose…

F. Ehab and a weird weight formula 题目链接:https://codeforces.com/contest/1088/problem/F 题意: 给出一颗点有权值的树,满足只有一个点的权值最小,然后除开这个点,每个点都有一个权值比它更小的点与之相邻. 然后要求你重构这颗树,满足点权及边权和最小. 点权计算方法: au = au*num(num为与之相邻边的个数); 边权计算方法: e{u,v},we = dis(u,v)*min(au,av)  (dis(u,v…

Description 题库链接 求 \[C_n^m \mod p\] \(1\leq m\leq n\leq 10^{18},2\leq p\leq 1000000\) Solution 一般的 \(Lucas\) 是在模数 \(p\) 是质数的条件下适用的.我们来考虑 \(p\) 不是质数的条件. 我们对 \(p\) 进行唯一分解,记 \(p=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_q^{k_q}\) ,由于形同 \(p_i^{k_i}\) 的部分是互质的,显然我们可以用 \(…

题意:给你两个数列a,b,你要输出k个下标,使得这些下标对应的a的和大于整个a数列的和的1/2.同时这些下标对应的b //题解:首先将条件换一种说法,就是要取floor(n/2)+1个数使得这些数大于剩下的数.然后想到两种取法,一种是排好序选前半段.令一种取法是两个两个分组,每组取大的那个.//然后就可以(很困难地)想到一种巧妙的取法,先用一个结构体保存a,b,idx,按照a从大到小排序,先取第一个,再对剩下的每两个一组取其中b更大的.这样保证了被选出//的b一定大于剩下的b,也就满足了条件.然…

[题目链接]:http://codeforces.com/contest/779/problem/E [题意] 给你n个长度为m的二进制数 (有一些是通过位运算操作两个数的形式给出); 然后有一个未知数字,用符号'?'表示; (所有的数字都是长度为m的二进制数); 然后让你确定这个'?'使得n个数字的和最大.最小; [题解] 模拟题; 会有嵌套的情况: 即 a=x & y b=a&? 类似这样. 所以在算b之前,先把a的值确定下来; 明白了怎么算之后; 枚举那个未知数字的m位的每一位; 每…

题目链接:http://codeforces.com/contest/779/problem/E 题意:有n个变量都可以用m位二进制数表示,这n个数的value将以两种格式中的一种给出 1.变量名, 空格, ":=", 空格, 一个正好m位的二进制数 eg(m = 3):   a := 101 2.变量名, 空格, ":=", 空格, 第一个变量, 空格, 位运算符(AND,OR,XOR), 空格, 第二个变量 每一个变量都是前面被定义过的变量或者用 '?'表示 e…

Cayley 公式的一些广为人知的证法: Prufer 序列 Matrix-Tree 定理 然而我都不会 233,所以下面说一个生成函数角度的证法 . 我们知道 \(n\) 个节点的有标号无根树有 \(n^{n-2}\) 种,即 Cayley 公式 . 具体数学的做法是考虑递推完全图生成树个数,然后推出 EGF 的关系 . 那个递推太牛逼了,我就不这么干了,先令 \(g_n\) 表示 \(n\) 个节点的有标号有根树个数(\(g_0=0\)),且其 EGF 为 \(G(z)\) . 钦定一个根,…

拓展Lucas #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<algorithm> #include<cstring> #include<vector> #define MAXN 100000+10 #define ll long long #define pb push_back #define ft first #define sc second #define mp make_pair using…

题目链接 ->扩展Lucas //求C_n^k%m #include <cstdio> typedef long long LL; LL FP(LL x,LL k,LL p) { LL t=1ll; for(; k; k>>=1,x=x*x%p) if(k&1) t=t*x%p; return t; } void Exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y) { if(!b) x=1ll, y=0ll; else Exgcd(b,a%b,y…

位运算,枚举. 按按分开计算,枚举$?$是$0$还是$1$,分别计算出$sum$,然后就可以知道该位需要填$1$还是$0$了. #include<map> #include<set> #include<ctime> #include<cmath> #include<queue> #include<string> #include<vector> #include<cstdio> #include<cstr…

按位考虑,每个变量最终的赋值要么是必为0,要么必为1,要么和所选定的数相同,记为2,要么和所选定的数相反,记为3,一共就这四种情况. 可以预处理出来一个真值表,然后从前往后推导出每个变量的赋值. 然后从高位到低位考虑,如果某一位,对于所有变量而言,2的数量大于等于3的数量,就把所选定的数的该位记为0,否则记为1,就能满足和最小.反之就能满足和最大. #include<cstdio> #include<string> #include<iostream> #include…

题意:在序列中删除最少元素使得得到的图是二分图. 其中点是整数域的点. 比如b1=2   那么a可以连b当且仅当|a-b|=2 同时这里的a,b是任意整数. 怎样判定一个序列是否合法呢?于是想到了二分图没有奇环的性质. 首先发现b序列中有一个奇数和一个偶数那么就会存在奇环. 因为假如从0点出发,0点到奇数和偶数的最小公倍数lcm 假如奇数是3 偶数是2  lcm=6 奇数 0-3-6 偶数0-2-4-6  这里涉及了0 2 3 4 6五个点所以是一个奇环. 这是因为 0到他们的lcm的步数肯定奇…

题意: 选择一个 m 位的二进制数字,总分为 n 个算式的答案之和.问得到最低分和最高分分别应该取哪个二进制数字 分析: 因为所有数字都是m位的,高位的权重大于低位 ,我们就从高到低考虑 ans 的每一位是取 0 还是取 1,统计该位的权重(即n个式子该位结果之和)即可. #include <bits/stdc++.h> using namespace std; int n, m; map<string, int> mp; struct query{ string f; int n…

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;long long a[200007];vector<int>v[77];int main(){ ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(NULL); cout.tie(NULL); int n; cin>>n; for(int i=1;i<=n;++i){ cin>>a[i]; long long tmp=a[i]; int cnt…

题意:给若干个阻值为1的电阻,要得到阻值为a/b的电阻最少需要多少个. 思路:令a=mb+n,则a/b=m+n/b=m+1/(b/n),令f(a,b)表示得到a/b的电阻的答案,由f(a,b)=f(b,a),有: f(a,b)=a/b + f(a%b,b)=a/b+f(b,a%b) (1)由于将所有的电阻之间的关系改变一下,串联变成并联,并联变成串联,阻值变成之前的倒数,所以f(a,b)=f(b,a)成立. (2)现在再证一下:串联变成并联,并联变成串联,阻值变成之前的倒数.考虑任一个电路,一定…

Something happened in Uzhlyandia again... There are riots on the streets... Famous Uzhlyandian superheroes Shean the Sheep and Stas the Giraffe were called in order to save the situation. Upon the arriving, they found that citizens are worried about…

 cf之路,1,Codeforces Round #345 (Div. 2) ps:昨天第一次参加cf比赛,比赛之前为了熟悉下cf比赛题目的难度.所以做了round#345连试试水的深浅.....       其实这个应该是昨天就写完的,不过没时间了,就留到了今天.. 地址:http://codeforces.com/contest/651/problem/A A. Joysticks time limit per test 1 second memory limit per test 256…