积性函数: 积性函数定义ok 积性函数指对于所有互质的整数\(a\)和\(b\)有性质\(f(ab)=f(a)f(b)\)的数论函数 除数函数? 莫比乌斯函数\(\mu\)ok \[ \phi(i) = \begin{cases} 1, & i==1 \\ (-1)^k, & i == \prod_{i=1}^{k}{p_i^1 {p}, p_i为所有质因子 \\ 0, & otherwise \end{cases} \] 为什么是积性函数? 对任意\(a,b,gcd(a,b)=1…

Description 去年的Lucas非常喜欢数论题,但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了. 在整理以前的试题时,发现了这样一道题目"求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N",其中 表示i的约数个数.他现在长大了,题目也变难了. 求如下表达式的值: 其中 表示ij的约数个数. 他发现答案有点大,只需要输出模1000000007的值. Input 第一行一个整数n. Output 一行一个整数ans,表示答案模1000000007的值. Sample Input 2…

题意概述:求,n<=10^9,其中d(n)表示n的约数个数. 分析: 首先想要快速计算上面的柿子就要先把d(ij)表示出来,有个神奇的结论: 证明:当且仅当a,b没有相同的质因数的时候我们统计其贡献,可以发现所有被统计的(a,b)乘积的质因数分解形式正好和i,j的所有因数的质因数分解形式一一对应,不重不漏(对于b中质因数指数不为0对应的就是i中指数+b中指数的情况,对于b中质因数指数为0的情况对应i中指数的情况). 然后就有如下的推导: 对于这个式子,整个数字分段来算,n/d一共sqrt(n)种…

题目链接 BZOJ 题解 orz 此题太优美了 我们令\(\frac{x}{y}\)为最简分数,则\(x \perp y\)即,\(gcd(x,y) = 1\) 先不管\(k\)进制,我们知道\(10\)进制下如果\(\frac{x}{y}\)是纯循环的,只要\(2 \perp y\)且\(5 \perp y\) 可以猜想在\(k\)进制下同样成立 证明: 若\(\frac{x}{y}\)为纯循环小数,设其循环节长度为\(l\),那么一定满足 \[\{ \frac{xk^{l}}{y} \} =…

狗: 代码小盒子 爆零秘籍 备忘录 任务计划 核心算法: 搜索/枚举/贪心 dp 分治 数据结构: 并查集 ST表 堆 线段树 树状数组 分块 树套树 平衡树 LCT 莫队 字符串: 哈希 Trie AC自动机 后缀数组 后缀自动机 线性字符串 特殊自动机(dp 套 dp) 数论: 莫反 公式 杜教筛 CRT 推式题 二项式反演 BSGS 容斥/计数/组合数学 概率期望 多项式: 拉格朗日插值 FFT FWT 生成函数 多项式全家桶 线性代数: 矩阵 线性基 图论: 树 Tarjan 树链剖分…

4176: Lucas的数论 题意:求\(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sigma_0(ij)\) \(n \le 10^9\) 代入\(\sigma_0(nm)=\sum_{i\mid n}\sum_{j\mid m}[(i,j)=1]\) 反演得到 \[ \sum_{d=1}^n \mu(d) (g(\frac{n}{d}))^2 \\ g(n) = \sum_{i=1}^n \sigma_0(i) \] 杜教筛\(\mu \ \sigma_0\)的前缀和 当然和前面…

BZOJ_4176_Lucas的数论_杜教筛+莫比乌斯反演 Description 去年的Lucas非常喜欢数论题,但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了. 在整理以前的试题时,发现了这样一道题目“求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N”,其中 表示i的约数个数.他现在长大了,题目也变难了. 求如下表达式的值:   其中 表示ij的约数个数. 他发现答案有点大,只需要输出模1000000007的值. Input 第一行一个整数n. Output 一行一个整数ans,表示答案模100000…

4176: Lucas的数论 Time Limit: 30 Sec  Memory Limit: 256 MB Description 去年的Lucas非常喜欢数论题,但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了. 在整理以前的试题时,发现了这样一道题目“求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N”,其中 表示i的约数个数.他现在长大了,题目也变难了. 求如下表达式的值:   其中 表示ij的约数个数. 他发现答案有点大,只需要输出模1000000007的值. Input 第一行一个整数n. Ou…

题目传送门(内部题92) 输入格式 一个整数$n$. 输出格式 一个答案$ans$. 样例 样例输入: 样例输出: 数据范围与提示 对于$20\%$的数据,$n\leqslant 10^6$. 对于$40\%$的数据,$n\leqslant 10^{12}$. 对于$100\%$的数据,$0\leqslant n\leqslant 10^{18}$. 题解 这道题里的小$\mu$其实就提示我们了$\mu$,也就是莫比乌斯函数. 那么,我们可以列出式子: $$ans=\sum \limits_{i…

题目链接 给n个数, m个询问, 每个询问给出[l, r], 问你对于任意i, j.gcd(a[i], a[j]) L <= i < j <= R的和. 假设两个数的公约数有b1, b2, b2...bn, 那么这两个数的最大公约数就是phi[b1] + phi[b2] + phi[b3]...+phi[bn]. 知道这个就可以用莫队了, 具体看代码. #include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define pb(x) pu…