1.  位移向量 $$\bex {\bf u}={\bf y}-{\bf x}. \eex$$ 2.  位移梯度张量 $$\bex \n_x{\bf u}={\bf F}-{\bf I}. \eex$$ 3.  ${\bf C}$ 的表示: $$\beex \bea {\bf C}&={\bf F}^T{\bf C}=[{\bf I}+(\n{\bf u})^T]\cdot [{\bf I}+\n {\bf u}]\\ &={\bf I}+\n{\bf u}+(\n{\bf u})^T+(…

1.  引理 (极分解): 设 $|{\bf F}|\neq 0$, 则存在正交阵 ${\bf R}$ 及对称正定阵 ${\bf U},{\bf V}$ 使得 $$\bex {\bf F}={\bf R}{\bf U}={\bf V}{\bf R}. \eex$$ 此称为 ${\bf F}$ 的极分解. 证明: (1)  先证明存在正交阵 ${\bf P},{\bf Q}$ 及对角阵 ${\bf D}$ 使得 $$\bex {\bf F}={\bf P}{\bf D}{\bf Q}. \eex$…

$$\bex \rd{\bf y}={\bf F}\rd {\bf x}, \eex$$ 其中 ${\bf F}=\n_x{\bf y}=\sex{\cfrac{\p y_i}{\p x_j}}$ 为变形梯度张量.…

1.  弹性力学是研究弹性体在荷载的作用下, 其内力 (应力) 和变形所满足的规律的学科. 2.  荷载主要有两种, 一是作用在弹性体上的机械力 (本章讨论); 二是由温度等各种能导致弹性体变形的物理量 (下一章讨论). 3.  弹性体: 在荷载作用下产生弹性形变, 而撤去荷载后变形立即消失, 无题恢复原来的状态. 4.  本构关系: 物体的变形与应力之间的某种关系. 5.  弹性理论 $$\beex \bea\mbox{弹性理论}\sedd{\ba{ll} \mbox{线性弹性理论}\\ \m…

1.  本章讨论可燃流体在流动过程中同时伴随着燃烧现象的情况. 2.  燃烧有两种, 一种是爆燃 (deflagration): 火焰低速向前传播, 此时流体微元通常是未燃气体.已燃气体的混合物; 一种是爆炸 (detonation): 火焰以 $\geq 2000\ m/s$ 的速度向前传播, 此时, Chapman (1899) 与 Jouquet (1905) 认为化学反应过程是瞬时发生并完成的, 即有一波前 (wavefront) 进入未燃气体, 并瞬时地将它变成已燃气体. 3.  本章…

5. 6 弹性静力学方程组的定解问题 5. 6. 1 线性弹性静力学方程组 1.  线性弹性静力学方程组 $$\bee\label{5_6_1_le} -\sum_{j,k,l}a_{ijkl}\cfrac{\p ^2u_k}{\p x_j\p x_l}=\rho_0b_i,\quad i=1,2,3.  \eee$$ 2.  (Korn 不等式) 设 $\Omega\subset{\bf R}^3$ 为有界区域, 则 $$\bex \exists\ C_0>0,\st \int_\Omega…

5.5.1 线性弹性动力学方程组   1.  线性弹性动力学方程组 $$\beex \bea 0&=\rho_0\cfrac{\p{\bf v}}{\p t}-\Div_x{\bf P}-\rho_0{\bf b}\\ &=\rho_0\cfrac{\p}{\p t}\sex{\cfrac{\p{\bf u}}{\p t}} -\Div_x({\bf A}{\bf E})-\rho_0{\bf b}\quad\sex{{\bf u}={\bf y}-{\bf x}}\\ &=\rh…

5. 4 本构方程 - 应力与变形之间的关系 5.4.1. 本构关系的一般形式 1. 若 Cauchy 应力张量 ${\bf T}$ 满足 $$\bex {\bf T}({\bf y})=\hat{\bf T}({\bf x},{\bf F}({\bf x})), \eex$$ 则称材料是 (Cauchy) 弹性的; 这里 $\hat {\bf T}$ 称为响应函数. 若再 ${\bf T}({\bf y})=\hat{\bf T}({\bf F}({\bf x}))$, 则称弹性体是齐次的,…

5. 3 守恒定律, 应力张量 5. 3. 1 质量守恒定律 $$\bex \cfrac{\p \rho}{\p t}+\Div_y(\rho{\bf v})=0.  \eex$$ 5. 3. 2 应力 1.  弹性体所受荷载中的外力部分有体积力 ${\bf b}$, 表面力 ${\bf \tau}$. 2.  在荷载的作用下, 弹性体发生变形. $M$ 处 ${\bf\nu}$ 方向的应力向量 $$\bex {\bf \sigma} =\lim_{{\bf\nu}\perp\lap S\to…

一维理想反应流体力学方程组是一阶拟线性双曲组.…