题意 给出一个整数 $N$,每次可以在不超过 $N$ 的素数中等概率随机选择一个 $P$,如果 $P$ 是 $N$ 的约数,则把 $N$ 变成 $N/P$,否则 $N$ 不变.问平均情况下需要多少次随机选择,才能把 $N$ 变成1呢? 分析 本题可以画出一个状态转移图, 例如 $n=6$ 时, $n$ 的每个约数都对应一个状态,每个状态转移都有一定概率,从每个状态出发转移的概率和为1. 设 $f(i)$ 表示当前的数为 $i$ 时接下来需要选择的期望次数,可列出方程: $$f(6) = 1 +…