Legendre公式 对于质数\(p\),函数\(v_p(n)\)为\(n\)标准分解后\(p\)的次数 显然有 \[v_p(n!) = \sum\limits_{i = 1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^i} \rfloor\] 令函数\(s_p(n)\)为\(n\)在\(p\)进制下的数位和 有: \[v_p(n!) = \frac{n - s_p(n)}{p - 1}\] 证明: 设\(n = \sum\limits_{i = 0}^{\infty} c_i p…

简单学习了一下\(Kummer\)定理,参考了几篇不错的资料,放下链接 1.Legendre公式和Kummer定理 2.Kummer定理-超级Lucas定理-数论-组合数学-学习笔记 3.百度百科 证明似乎比较简单,还是要去找几道题做做. 咕…

Codeforces 题目传送门 & 洛谷题目传送门 一道数论与数位 dp 结合的神题 %%% 首先在做这道题之前你需要知道一个定理:对于质数 \(p\) 及 \(n,k\),最大的满足 \(p^{\alpha}\mid\dbinom{n}{k}\) 的 \(\alpha\) 为 \(k\) 与 \(n-k\) 在 \(p\) 进制下相加的进位次数.证明就考虑扩展 Lucas 定理,记 \(f(x)\) 为最大的满足 \(p^{\alpha}\mid x\) 的 \(\alpha\),那么由 \…

Tutte theorem 图 \(G=(V,E)\) 有完美匹配当且仅当满足 \(\forall U\subseteq V,o(G-U)\le|U|,o(X)\) 表示 X 子图的奇连通块数. Tutte–Berge formula 图 \(G=(V,E)\) 的最大匹配数为 \(\frac12\min\limits_{U\subseteq V}\{|U|-o(V-U)+|V|\}\) Tutte 定理证明 必要性 如果 G 有完美匹配,那么每个奇连通块至少有一个点需要与 U 中的点匹配,故得…

转自:http://endlesscount.blog.163.com/blog/static/82119787201221324524202/ Polya定理 首先记Sn为有前n个正整数组成的集合,G为Sn的置换群,C为Sn的着色集.那么我们等于是要求C中有多少种着色方案是不等价的.定义两种着色等价的概念:如果对于在C中的两种着色c1.c2,存在置换f使得f*c1=c2,那么c1和c2就是等价的.要想求不等价着色的个数,我们要先证明一个定理,即:         Burnside定理:设G(c…

CRB and Candies Problem's Link Mean: 给定一个数n,求LCM(C(n,0),C(n,1),C(n,2)...C(n,n))的值,(n<=1e6). analyse: 很有趣的一道数论题! 看了下网上别人的做法,什么Kummer定理我还真没听说过,仔细研究一下那个鬼定理真是涨姿势了! 然而这题我并不是用Kummer那货搞的(what?). 其实这题真的很简单(不要打我),为什么这样说呢?看了下面的解释你就知道我没骗你. 首先我们看一下这个式子:LCM(C(n,0…

原文地址 https://www.jianshu.com/p/2925f4d7511b 迫于就业的压力,不得不先放下 iOS 开发的学习,开始走上漫漫刷题路. 今天我想聊聊 LeetCode 上的第279题-Perfect Squares,花了挺长时间的,试了很多方法,作为一个算法新手,个人感觉这题很好,对我的水平提升很有帮助.我在这里和大家分享一下我的想法.下面是题目: Given a positive integer n, find the least number of perfect s…

题意 给定一个圆\(x^2+y^2=z^2\),求圆周上有多少个点的坐标是整数. \(r\leq 2*10^9\) 分析 这道题目关键要知道一些勾股数的性质,剩下的就很好处理了. 勾股数的性质 参考:勾股数的基本组及其性质 定义1 如果正整数\(a\),\(b\),\(c\)能满足不定方程\(a^2+b^2=c^2\),则它们叫一组勾股数,用\([a,b,c]\)表示. 定义2 如果\([a,b,c]\)为一勾股数组,且\((a,b)=1\),则\([a,b,c]\)叫一个勾股数的基本组:全体勾…

目录 一.TeX家族 1. TeX - LaTeX 2. pdfTeX - pdfLaTeX 3. XeTeX - XeLaTeX 4. CTeX - MiKTeX - TeX Live 二.入门 1. Hello, World! 2. 语法和结构 I. 语法 II. 物理结构 III. 逻辑结构 3. 文字 I. 字符输入 II. 字体样式和大小 III. 换行.换页和断字 4. 长度 5. 对齐和间距 I. 段落对齐 II. 缩进和段间距 III. 行间距 6. 特殊段落 I. 摘录 II.…

编译开始产生的检查错误 试用LyX2.3,在2.15中能编译通过的文档,竟然提示错误 The user preamble of your document contains glyphs that are unknown in the current document encoding (namely 如果没有这一句命令,XeTeX会出错,原因参见)These glyphs are omitted from the output, which may result in incomplete o…

题目链接:http://poj.org/problem?id=2992 题目要求:Your task in this problem is to determine the number of divisors of Cnk. Just for fun -- or do you need any special reason for such a useful computation? 题目解析:这题也是TLE了无数遍,首先说一下求因子数目的函数是积性函数,积性函数即f(n)=f(a)*f(b)…

本文参考自:http://blog.csdn.net/happyzhouxiaopei/article/details/7960876 这三个模型都可以用来做序列标注模型.但是其各自有自身的特点,HMM模型是对转移概率和表现概率直接建模,统计共现概率.而MEMM模型是对转移 概率和表现概率建立联合概率,统计时统计的是条件概率.MEMM容易陷入局部最优,是因为MEMM只在局部做归一化,而CRF模型中,统计了全局概率,在 做归一化时,考虑了数据在全局的分布,而不是仅仅在局部归一化,这样就解决了MEM…

题目来源: HackerRank 基准时间限制:2 秒 空间限制:131072 KB 分值: 640  C(M,N) = M! / N! / (M - N)! (组合数).给出M和质数p,求C(M,0), C(M,1)......C(M,M)这M + 1个数中,有多少数不是p的倍数,有多少是p的倍数但不是p^2的倍数,有多少是p^2的倍数但不是p^3的倍数....... 例如:M = 10, P = 2.C(10,0) -> C(10,10) 分别为:1, 10, 45, 120, 210, 2…

题目地址:pid=5407">HDU 5407 题意:CRB有n颗不同的糖果,如今他要吃掉k颗(0<=k<=n),问k取0~n的方案数的最小公倍数是多少. 思路:首先做这道题我们须要必备的几个技能点. 1. LCM(C(n,0), C(n,1),-, C(n,n))=LCM(1,2,3,-n+1)/(n+1).额,这个有一篇证明Kummer定理 2.(1) 乘法逆元定义: 满足a*k≡1 (mod p)的k值就是a关于p的乘法逆元(a,p互质). (2)为什么要用乘法逆元: 当…

下文中所有讨论都在数论函数范围内开展. 数论函数指的是定义域为正整数域, 且值域为复数域的函数. 数论意义下的和式处理技巧 因子 \[ \sum_{d | n} a_d = \sum_{d | n} a_{\frac n d} \] 双重因子 \[ \sum_{k | n} \sum_{j | k} a_{k, j} = \sum_{k | n} \sum_{j | \frac n k} a_{jk, k} \] \[ \sum_{n | k} \sum_{k | j} a_{k, j} = \…

题目来源:http://poj.org/problem?id=1045 题目大意: 如图所示的交流电路,假设电路处于稳定状态,Vs为电源电压,w是频率,单位为弧度每秒,t表示时间. 则:V1 = Vs * cos (wt); V2 = VR * cos(wt + q). 其中VR为电阻R两端电压下降的幅度,q是相位.写一个程序确定不同的w对于的VR值.相关的两个电学公式: 欧姆定理:V2 = i*R, i为电流大小 i = C d/dt(V1 - V2). 输入:包括一行或多行.第一行包括三个实…

A. A Giveaway 签到 B. Game of XOR 做法 dp[G][L][R]表示在倒数第G代,左边的数是L,右边的数是R,下面共有多少个0和1 区间和转换成两次前缀和和一次单点查询 利用dp值,沿着向下走就可以算出答案了 C. National Bomb Defusing Squad 做法 答案=(距离不大于R的点对个数)/n 预处理距离并排序,把询问离线并排序,依次查询 \(O(n^2logn)\)要卡一卡才能过 可以桶排序 D.Rational Grading 模拟 E. B…

题目大意 C(M,N) = M! / N! / (M - N)! (组合数).给出M和质数p,求C(M,0), C(M,1)......C(M,M)这M + 1个数中,有多少数不是p的倍数,有多少是p的倍数但不是p^2的倍数,有多少是p^2的倍数但不是p^3的倍数....... 例如:M = 10, P = 2.C(10,0) -> C(10,10) 分别为:1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1. P的幂 = 1 2 4 8 16......…

DTFT 连续时间傅里叶变换(CTFT) 连续时间傅里叶变换的定义为: \[ X(j\Omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x_a(t)e^{-j\Omega t}dt \] 其傅里叶反变换为 \[ x_a(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\Omega)e^{j\Omega t}d\Omega \] 一个能量有限的连续时间复信号的总能量\(\varepsilon_x\)为 \[ \begin{aligned} \vare…

再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其一) 目录 再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其一) 写在前面 为什么写这篇博客 一些约定 前置知识 多项式卷积 多项式的系数表达式和点值表达式 单位根及其性质 DFT和IDFT DFT的过程 IDFT的过程 FFT FFT的数学证明及时间复杂度分析 FFT的递归实现 FFT的非递归实现 FFT的局限性 例题 写在前面 为什么写这篇博客 笔者去年暑假刚刚学习过FFT,NTT的一些基础应用.但当时对FFT和NTT的理解还不够深入.本博客参考2016年国家…

目录 The Order Statistic 引理1 的一些基本性质 顺序统计量的分布 顺序统计量的条件分布 特殊分布的特殊性质 Order Statistic The Order Statistic 所谓顺序统计量, 即一族独立的观测\(X_1, X_2, \ldots, X_n\)的排序后的产物 \[X_{(1)} \le X_{(2)} \le \cdots \le X_{(n)}. \] 用大写的原因, 自然是我们可以将每一个元\(X_{(i)}\)看成一个随机变量, 实际上它是\(X_…

DP? Problem Description Figure 1 shows the Yang Hui Triangle. We number the row from top to bottom 0,1,2,…and the column from left to right 0,1,2,….If using C(n,k) represents the number of row n, column k. The Yang Hui Triangle has a regular pattern…

题目传送:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4704 Problem Description   Sample Input 2 Sample Output 2 Hint 1. For N = 2, S(1) = S(2) = 1. 2. The input file consists of multiple test cases.   题意是输入一个N,求N被分成1个数的结果+被分成2个数的结果+...+被分成N个数的结果,N很大   1.隔板原…

链接:https://www.nowcoder.com/acm/contest/135/E来源:牛客网 题目描述 定义“最大生成图”:在M*N的点阵中,连接一些点形成一条经过所有点恰好一次的回路,且连成的多边形各边互不交叉.这样形成的封闭图形叫做这个点阵的“最大生成图”,用表示.(PS:这个名字是出题人胡诌的,如有雷同纯属巧合,出题人不负法律责任)     显然,任意一个点阵都有“最大生成图”,并且有的点阵的“最大生成图”不止一个.     如图为3*3的矩阵的一个最大生成图: 给你一个M*N的…

题意:有3个杯子,排放一行,刚开始钥匙在中间的杯子,每次操作,将左右两边任意一个杯子进行交换,问n次操作后钥匙在中间杯子的概率 分析:考虑动态规划做法,dp[i]代表i次操作后的,钥匙在中间的概率,由于每次操作独立,dp[i]=(1-dp[i-1)/2; 显然,dp[1]=0; 由刚才那个式子可以得出:dp[i]-1/3=(-1/2)*(dp[i-1]-1/3),这是高中数列知识 然后 设dp[i]=p/q; dp[i]=(2^(n-1)+(-1)^n)/(3*2^(n-1)) 它要求p/q是最…

Pick定理:如果一个简单多边形(以下称为“多边形”)的每个顶点都是直角坐标平面上的格点,则称该多边形为格点多边形．若一个面积为S的格点多边形,其边界上有a个格点,内部有b个格点,则S＝a/2+b-1． 强迫孩子们接受无法说出道理的东西,很容易打击孩子们的求知欲望和学习兴趣．我经过反复琢磨,找到一个非常浅显的办法,既能够形象的解释Pick定理的道理,又能让看清Pick定理的本质．整个解释只需用到一个很浅显的预备知识:“多边形外角和等于一个周角”． 以下图的格点多边形ABCDE为例,其边界上有a个…

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6129 [题意] 对于一个长度为n的序列a,我们可以计算b[i]=a1^a2^......^ai,这样得到序列b 重复这样的操作m次,每次都是从上次求出的序列a得到一个新序列b 给定初始的序列,求重复m次操作后得到的序列 [方法一] 假定n=5,我们模拟一次可以发现,经过m次操作后a1在b1......bn中出现的次数为: m=0: 1 0 0 0 0 m=2: 1 2 3 4 5 m=3: 1 3 6 10…

C. Beautiful Numbers time limit per test 2 seconds memory limit per test 256 megabytes input standard input output standard output Vitaly is a very weird man. He's got two favorite digits a and b. Vitaly calls a positive integer good, if the decimal…

D. Iterated Linear Function time limit per test 1 second memory limit per test 256 megabytes input standard input output standard output Consider a linear function f(x) = Ax + B. Let's define g(0)(x) = x and g(n)(x) = f(g(n - 1)(x))for n > 0. For the…

CAP定理简介 在理论计算机科学中,CAP定理(CAP theorem),又被称作布鲁尔定理(Brewer's theorem),它指出对于一个分布式计算系统来说,不可能同时满足以下三点: 一致性(Consistency):同一个数据在集群中的所有节点,同一时刻是否都是同样的值. 可用性(Availability):集群中一部分节点故障后,集群整体是否还能处理客户端的更新请求. 分区容忍性(Partition tolerance):是否允许数据的分区,分区的意思是指是否允许集群中的节点之间无法通…