P4723 [模板]常系数齐次线性递推 题目描述 求一个满足$k$阶齐次线性递推数列${a_i}$的第$n$项. 即:$a_n=\sum\limits_{i=1}^{k}f_i \times a_{n-i}$ 输入输出格式 输入格式: 第一行两个数$n$,$k$,如题面所述. 第二行$k$个数,表示$f_1 \ f_2 \ \cdots \ f_k$ 第三行$k$个数,表示$a_0 \ a_1 \ \cdots \ a_{k-1}$ 输出格式: 一个数,表示 $a_n \% 998244353$…

题目大意 有一个\(1001\times n\)的的网格,每个格子有\(q\)的概率是安全的,\(1-q\)的概率是危险的. 定义一个矩形是合法的当且仅当: 这个矩形中每个格子都是安全的 必须紧贴网格的下边界 问你最大的合法子矩形大小为\(k\)的概率是多少. \(n\leq {10}^9,k\leq 1000\) 吉老师:这题本来是\(k\leq 20000\) 题解 一道好题. 我们计算最大子矩形不超过\(i\)的答案\(s_i\),那么答案就是\(s_k-s_{k-1}\). 显然最后一行…

传送门 Sol 考虑要求的东西的组合意义,问题转化为: 有 \(n\) 种小球,每种的大小为 \(a_i\),求选出大小总和为 \(m\) 的小球排成一排的排列数 有递推 \(f_i=\sum_{j=1}^{n}f_{i-a_j}\) 常系数线性递推 求一个满足 \(k\) 阶齐次线性递推数列 \(f_i\) 的第 \(n\) 项 \[f_n=\sum\limits_{i=1}^{k}a_i \times f_{n-i}\] 给出 \(a_1...a_k\) 以及 \(f_0\) \(k\) 为…

原文链接www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Cayley-Hamilton.html Cayley-Hamilton定理与矩阵快速幂优化.常系数线性递推优化 引入 在开始本文之前,我们先用一个例题作为引入. 给定一个 \(n \times n\) 的矩阵 \(M\) , 求 \(M ^ k\) . \(n\leq 50, k\leq 10 ^ {50000}\) . 注意到 \(n\) 十分小,但是 $ \log k$ 非常大.如果使用传统的矩阵快速幂,时间复杂度为 \…

题目大意 一行有\(n\)个球,现在将这些球分成\(k\) 组,每组可以有一个球或相邻两个球.一个球只能在至多一个组中(可以不在任何组中).求对于\(1\leq k\leq m\)的所有\(k\)分别有多少种分组方法. 答案对\(998244353\)取模. \(n\leq {10}^9,m<2^{19}\) 题解 因为\(k>n\)的项都是\(0\),所以我们钦定\(m\leq n\) 考虑DP. 记\(f_{i,j}\)为前\(i\)个球分为\(j\)组的方案数. \[ f_{i,j}=f…

  (一)Fibonacci数列f[n]=f[n-1]+f[n-2],f[1]=f[2]=1的第n项的快速求法(不考虑高精度). 解法: 考虑1×2的矩阵[f[n-2],f[n-1]].根据fibonacci数列的递推关系,我们希望通过乘以一个2×2的矩阵,得到矩阵[f[n-1],f[n]]=[f[n-1],f[n-1]+f[n-2]] 很容易构造出这个2×2矩阵A,即: 0 1 1 1 所以,有[f[1],f[2]]×A＝[f[2],f[3]] 又因为矩阵乘法满足结合律,故有: [f[1],f…

模数是998244353的话好像NTT可以更快. #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int MAXN = 3e5 + 51, MOD = 998244353, G = 3, INVG = 332748118; int exponent, fd, cnt = 1, limit = -1, rres, ptr; int rev[MAXN], f[MAXN], g[MAXN], tmp[M…

暴力版本: #include<bits/stdc++.h> #define mod 998244353 using namespace std; typedef long long int ll; ; ; ll A[maxn],B[maxn],tmp[maxn]; vector<ll>wait[maxn]; inline ll qpow(ll x,ll y) { ll ans=,base=x; while(y) { ) ans=ans*base%mod; base=base*bas…

已知\(f_i = \prod \limits_{j = 1}^k f_{i - j}^{b_j}\;mod\;998244353\),并且\(f_1, f_2, ..., f_{k - 1} = 1\),\(f_k = a\),已知\(f_n = m\),试求\(a\) 易知\(f_n = f_k^p\) 对于\(p\)满足递推式\(g[i] = \sum \limits_{j = 1}^k b[j] * g[i - j]\) 这是常系数线性递推,由于\(k \leq 100\),因此矩阵快速…

哎呀大水题..我写了一个多小时..好没救啊.. 数论板子X合一? 注意: 本文中变量名称区分大小写. 题意: 给一个\(n\)阶递推序列\(f_k=\prod^{n}_{i=1} f_{k-i}b_i\mod P\)其中\(P=998244353\), 输入\(b_1,b_2,...,b_n\)以及已知\(f_1,f_2,...,f_{n-1}=1\), 再给定一个数\(m\)和第\(m\)项的值\(f_m\), 求出一个合法的\(f_n\)值使得按照这个值递推出来的序列满足第\(m\)项的值为…