题目链接 BZOJ3601 题解 挺神的 首先有 \[ \begin{aligned} f(n) &= \sum\limits_{x = 1}^{n} x^{d} [(x,n) = 1] \\ &= \sum\limits_{x = 1}^{n} x^{d} \sum\limits_{c|(x,n)}\mu(c) \\ &= \sum\limits_{c|n}\sum\limits_{x = 1}^{\frac{n}{c}} (cx)^{d} \mu(c) \\ &= \s…

传送门 题面图片真是大到离谱-- 题目要求的是 \(\begin{align*}\sum\limits_{i=1}^N i^d[gcd(i,n) == 1] &= \sum\limits_{i=1}^N i^d \sum\limits_{p \mid gcd(i,n)} \mu(p) \\ &= \sum\limits_{p|n} \mu(p) p^d \sum\limits_{i=1}^{\frac{n}{p}} i^d\end{align*}\) 然后就不会做了qwq,后面的自然数次幂…

Description 定义 \[ f_k(n)=\sum_{\substack{1\leq i\leq n\\gcd(i,n)=1}}i^k \] 给出\(n=\prod_{i=1}^w p_i^{a_i}\),求\(f_k(n)\).\(1\leq w\leq 1000, 1\leq q_i,a_i\leq 10^9\).保证\(p_i\)都为质数且互不相同. Solution 令\(g_k(n)=\sum_{i=1}^ni^k\),则 \[ \begin{aligned} g_k(n)&=…

题目链接 https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3601 题解 首先还是基本的推式子: \[\begin{aligned}f_d(n) &= \sum_{i = 1}^n [{\rm gcd}(i, n) = 1]i^d \\ &= \sum_{i = 1}^n i^d \sum_{k | i, k | n}\mu(k) \\ &= \sum_{k | n} \mu(k) \sum_{k | i} i^d \\ &…

题面 传送门 思路 这题妙啊 先把式子摆出来 $f_n(d)=\sum_{i=1}^n[gcd(i,n)==1]i^d$ 这个$gcd$看着碍眼,我们把它反演掉 $f_n(d)=\sum_{i=1}^n\sum_{j|i,j|n}\mu(j)i^d=\sum_{j|n}\mu(j)\sum_{i=1}^{\frac{n}{j}}(ij)^d=\sum_{j|n}\mu(j)j^d\sum_{i=1}^{\frac{n}{j}}i^d$ 那么最后面这个东西就是个自然数幂求和了 在这篇关于斯特林数的…

[BZOJ3601]一个人的数论(数论) 题面 BZOJ 怎么这图片这么大啊... 题解 要求的是\(\displaystyle \sum_{i=1}^n [gcd(i,n)=1]i^d\) 然后把\(gcd=1\)给拆了,\(\displaystyle \sum_{i=1}^n i^d\sum_{x|i,x|n}\mu(x)\). 然后再把\(\mu\)丢掉前面去,\(\displaystyle \sum_{x|n}\mu(x)x^d\sum_{i=1}^{n/x}i^d\) 后面一半是自然数…

[BZOJ3601]一个人的数论 题解:本题的做法还是很神的~ 那么g(n)如何求呢?显然它的常数项=0,我们可以用待定系数法,将n=1...d+1的情况代入式子中解方程,有d+1个方程和d+1个未知数,直接高斯消元解出ai即可. #include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> using namespace std; typedef long long ll; const ll P=1000000007…

Description Sol 这题好难啊QAQ 反正不看题解我对自然数幂求和那里是一点思路都没有qwq 先推出一个可做一点的式子: \(f(n)=\sum_{k=1}^{n}[(n,k)=1]k^d\) \(=\sum_{k=1}^{n}k^d\sum_{e|n,e|k}\mu(e)\) \(=\sum_{e|n}\sum_{k=1}^{n/e}(ek)^d\mu(e)\) \(=\sum_{e|n}e^d\mu(e)\sum_{k=1}^{n/e}k^d\) 我们假装(反正就是可以但是我太弱…

题目描述 题解 莫比乌斯反演+高斯消元 (前方高能:所有题目中给出的幂次d,公式里为了防止混淆,均使用了k代替) #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long ll; const ll mod = 1000000007; ll a[110][110] , p[1010] , v[1010]; ll pow(ll x , ll…

传送门 题意: 求\[ \sum_{i=1}^{n}i^d[gcd(i,n)=1] \] 思路: 我们对上面的式子进行变换,有: \[ \begin{aligned} &\sum_{i=1}^{n}i[gcd(i,n)=1]\\ =&\sum_{i=1}^{n}i\sum_{x|gcd(i,n)}\mu (x)\\ =&\sum_{i=1}^n i\sum_{x|i,x|n}\mu(x)\\ =&\sum_{x|n}\mu(x)x^d\sum_{i=1}^{\frac{n}…