[BZOJ3309]DZY Loves Math(莫比乌斯反演) 题面 求 \[\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^bf(gcd(a,b))\] 其中,\(f(x)\)表示\(x\)分解质因数之后,最高的幂次 题解 完全不会莫比乌斯反演了. 先来推式子 \[\sum_{d=1}^a\sum_{i=1}^{a/d}\sum_{j=1}^{b/d}[gcd(i,j)=1]f(d)\] \[\sum_{d=1}^af(d)\sum_{i=1}^{a/d}\sum_{j=1}^{b/d}[gc…

[BZOJ3309]DZY Loves Math Description 对于正整数\(n\),定义\(f(n)\)为\(n\)所含质因子的最大幂指数.例如\(f(1960)=f(2^3×5^1×7^2)=3\),\(f(10007)=1\),\(f(1)=0\). 给定正整数\(a,b\),求\(\sum\limits_{a_i=1}\sum\limits_{b_j=1}f(\gcd(i,j))\). Input 第一行一个数\(T\),表示询问数. 接下来\(T\)行,每行两个数\(a,b\…

[BZOJ3309]DZY Loves Math Description 对于正整数n,定义f(n)为n所含质因子的最大幂指数.例如f(1960)=f(2^3 * 5^1 * 7^2)=3, f(10007)=1, f(1)=0.给定正整数a,b,求sigma(sigma(f(gcd(i,j)))) (i=1..a, j=1..b). Input 第一行一个数T,表示询问数.接下来T行,每行两个数a,b,表示一个询问. Output 对于每一个询问,输出一行一个非负整数作为回答. Sample…

Time Limit: 5000 ms Memory Limit: 512 MB Description ​ 对于正整数n,定义f(n)为n所含质因子的最大幂指数.例如f(1960)=f(2^3 * 5^1 * 7^2)=3, f(10007)=1, f(1)=0. ​ 给定正整数a,b,求\(\sum\limits _{i=1}^a \sum\limits_{j=1}^b f(gcd(i,j))\). Input ​ 第一行一个数T,表示询问数. 接下来T行,每行两个数a,b,表示一个询问.…

Description 对于正整数n,定义f(n)为n所含质因子的最大幂指数.例如f(1960)=f(2^3 * 5^1 * 7^2)=3, f(10007)=1, f(1)=0. 给定正整数a,b,求sigma(sigma(f(gcd(i,j)))) (i=1..a, j=1..b). Input 第一行一个数T,表示询问数. 接下来T行,每行两个数a,b,表示一个询问. Output 对于每一个询问,输出一行一个非负整数作为回答. Sample Input 4 7558588 9653114…

题目: BZOJ 3309 分析: 首先,经过一番非常套路的莫比乌斯反演(实在懒得写了),我们得到: \[\sum_{T=1}^n \sum_{d|T}f(d)\mu(\frac{T}{d})\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{m}{T}\rfloor\] 那么,我们现在如果预处理出 \(g(n)=\sum_{d|n}f(d)\mu(\frac{n}{d})\) 的前缀和,就可以数论分块 \(O(\sqrt{n})\) 处理每次询问了. \(\mu\) 函…

题意: 对于正整数n,定义$f(n)$为$n$所含质因子的最大幂指数.例如$f(1960)=f(2^3 * 5^1 * 7^2)=3$,$f(10007)=1$,$f(1)=0$. 给定正整数$a,b$,求 $$\sum\limits_{i=1}^{a}\sum\limits_{j=1}^{b}f(gcd(i,j))$$ 多组数据,$T\leq 10000$ $1\leq a,b\leq 10^7$ 题解: 还是莫比乌斯反演,设$a<b$: $$\sum\limits_{i=1}^{a}\sum…

[BZOJ3561]DZY Loves Math VI (数论) 题面 BZOJ 题解 \[\begin{aligned} ans&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{d=1}^n[gcd(i,j)=d](\frac{ij}{d})^d\\ &=\sum_{d=1}^nd^d\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}[gcd(i,j)=1]i^dj^d\\ &=\sum_{d=1}^nd^d\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{…

[BZOJ3512]DZY Loves Math IV(杜教筛) 题面 BZOJ 求 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\varphi(ij)\] 其中\(n\le 10^5,m\le 10^9\). 题解 这个数据范围很有意思. \(n\)的值足够小,所以我们可以直接暴力枚举\(n\). 那么所求: \[S(n,m)=\sum_{i=1}^m\varphi(ni)\] 考虑如何将\(\varphi\)给拆开,因为\(\varphi\)只有每个质因子第一次出现的时候才会特殊计算…

题目描述 给定n个正整数a1,a2,…,an,求 的值(答案模10^9+7). 输入 第一行一个正整数n. 接下来n行,每行一个正整数,分别为a1,a2,…,an. 输出 仅一行答案. 样例输入 3 6 10 15 样例输出 1595 题解 欧拉函数 由于 $\varphi$ 是积性函数,所以可以单独考虑每个质因子的贡献. 那么对于最终的 $a=i_1i_2\dots i_n$ ,若其包含 $p^c\ ,\ c>0$ ,则贡献为 $\frac{p-1}{p}·p^c$ .因此求出 $p^c$ 的…

Description 给定n,m,求\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\varphi(ij)\)模10^9+7的值. Input 仅一行,两个整数n,m. Output 仅一行答案. Sample Input 100000 1000000000 Sample Output 857275582 数据规模 1<=n<=10^5,1<=m<=10^9. sol %%%ranwen!!! 前置技能: \(n=\sum_{d|n}\varphi(d)\) \(\v…

题目描述 给定正整数n,m.求   输入 一行两个整数n,m. 输出 一个整数,为答案模1000000007后的值. 样例输入 5 4 样例输出 424 题解 莫比乌斯反演 (为了方便,以下公式默认$n\le m$) $\ \ \ \ \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^mlcm(i,j)^{gcd(i,j)}\\=\sum\limits_{d=1}^n\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[gcd(i,j)=d](\f…

题目: BZOJ3560 分析: orz跳瓜. 欧拉函数的公式: \[\phi(n)=n(\prod \frac{p_i-1}{p_i})\] 其中 \(p_i\) 取遍 \(n\) 的所有质因子. 考虑原式,把欧拉函数展开,得到: \[\sum_{b_1|a_1}\sum_{b_2|a_2}\cdots\sum_{b_n|a_n}\prod b_i \prod \frac{(p_j-1)}{p_j}= \sum_{b_1|a_1}\sum_{b_2|a_2}\cdots\sum_{b_n|a_…

[CF446D]DZY Loves Games 题意:一张n个点m条边的无向图,其中某些点是黑点,1号点一定不是黑点,n号点一定是黑点.问从1开始走,每次随机选择一个相邻的点走过去,经过恰好k个黑点到达n的概率. $n\le 500,m\le 500000,k\le 10^9$,黑点个数不超过100. 题解:一眼就知道是高斯消元和矩乘什么的.我们先预处理出f[i][j]表示从第i个黑点开始走到的下一个黑点是j的概率.这个用高斯消元容易搞定.然后上矩乘即可.但是问题在于如果这样做的话我们要做n遍高…

[题解]DZY Loves Chinese II 不吐槽这题面了... 考虑如何维护图的连通性,如果把图的变成一颗的\(dfs\)生成树,那么如果把一个节点的父边和他接下来所有的返祖边删除,那么我们就可以确定图的连通性改变了. 考虑如何快速维护这个东西. 可以考虑这样 对于每条非树边,给他一个随机数的权值. 对于每条树边,他的权值是横跨他的所有非树边的\(xor\)和. 那么也就是说,将非树边的状态通过\(xor\)压缩2到其他树边上了.树边的权值是由与他有关的非树边决定的. 查询的时候建基底,…

[BZOJ3569]DZY Loves Chinese II 题面 bzoj 题目大意: 给你一张\(N(1\leq N\leq 10^5)\)个点\(M(1\leq M\leq 5\times 10^5)\)条边的无向图,有\(Q(1\leq Q\leq 5\times 10^4)\)次询问,每次询问问你删去\(K(1\leq K\leq 15)\)条给定边后图的连通性是否改变. 题解 首先有一个很自然的想法就是把这个图的dfs树搞出来(其实随便一棵生成树都行). 考虑一下怎样删去边会造成连通…

Description 对于正整数n,定义f(n)为n所含质因子的最大幂指数.例如f(1960)=f(2^3 * 5^1 * 7^2)=3, f(10007)=1, f(1)=0.给定正整数a,b,求sigma(sigma(f(gcd(i,j)))) (i=1..a, j=1..b). Input 第一行一个数T,表示询问数.接下来T行,每行两个数a,b,表示一个询问. Output 对于每一个询问,输出一行一个非负整数作为回答. Sample Input 4 7558588 9653114 6…

题目: 给定正整数n,m.求   题解: 水题有益身心健康.(博客园的辣鸡数学公式) 其实到这我想强上伯努利数,然后发现$n^2$的伯努利数,emmmmmm 发现这个式子可以算时间复杂度,emmmmm.积了个分发现时间复杂度很优秀啊(大概也就是$nlog$级别的). 所以直接算就好了. P.S.想卡卡常刷一个题榜rank1,emmmm发现自己没这个天赋. 代码: #define Troy #include "bits/stdc++.h" using namespace std; ,N=…

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3309 \[\sum_{T=1}^{min(a,b)}\sum_{d|T}f(d)\mu(\frac Td)\lfloor\frac aT\rfloor\lfloor\frac bT\rfloor\] 设\(g(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)\mu(\frac nd)\). 假设n的质因子分解为\(p_1^{c_1},p_2^{c_2}\dots p_m^{c_m}\),设最大的质…

Description ​ 看题戳我 给你一个序列,要求支持区间加斐波那契数列和区间求和.\(~n \leq 3 \times 10 ^ 5, ~fib_1 = fib_2 = 1~\). Solution ​ 先来考虑一段斐波那契数列如何快速求和,根据性质有 \[ \begin {align} fib_n &= fib_{n - 1} + fib_{n - 2} \\ &= fib_ {n - 2} + fib_{n - 3} + fib_{n - 2} \\ &= fib_{n…

题解: 不错的题目 首先要求的黑点个数非常多 比较容易想到矩阵乘法 于是我们可以求出从某个黑点出发到任意一个黑点之间的概率 发现不同出发点带来的变化只有常数项 于是我们可以预处理出从每个方程转移的系数 处理的方法就是 当行a减去k倍的行b时 我们同时更新行b被多少行更新了 求完之后我们只需要求它的k-2次幂 当然我们还需要求出起点1到每个黑点的概率(一起求) 矩阵乘法的比较优的写法是这样的 rep(i,,n) rep(j,,n) if (x.a[j][i]) rep(k,,n) z.a[j][k…

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3569 (题目链接) 题意 给出一个无向图,$Q$组询问,每次询问将原图断掉$C$条边后是否还连通.在线版. Solution 神思路. 我们找到这个图的任意一棵生成树,然后对于每条非树边将其的权值赋为一个随机数. 对于每条树边,我们将这条树边的权值设为所有覆盖这条树边的边权的异或和. 那么图不连通当且仅当删除一条树边和覆盖这条树边的所有边集,而由于刚才的处理一条树边和覆盖这条边的所有边集的异或和为…

这题大概就是提取一下d,然后就跟前面的题目差不多了. #include<bits/stdc++.h> #define N 10000005 using namespace std; typedef long long ll; ],qy[],f[N],prime[N],cnt,mu[N],vis[N]; ll sum[N]; void calcmu(){ cnt=;memset(vis,,]=; ;i<=maxn;i++){ ;} ;j<=cnt;j++){ int t=prime[…

3309: DZY Loves Math Description 对于正整数n,定义f(n)为n所含质因子的最大幂指数.例如f(1960)=f(2^3 * 5^1 * 7^2)=3, f(10007)=1, f(1)=0. 给定正整数a,b,求sigma(sigma(f(gcd(i,j)))) (i=1..a, j=1..b). Input 第一行一个数T,表示询问数. 接下来T行,每行两个数a,b,表示一个询问. Output 对于每一个询问,输出一行一个非负整数作为回答. Sample In…

3561: DZY Loves Math VI Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 205  Solved: 141 Description 给定正整数n,m.求 Input 一行两个整数n,m. Output 一个整数,为答案模1000000007后的值. Sample Input 5 4 Sample Output 424 HINT 数据规模: 1<=n,m<=500000,共有3组数据. Source By Jcvb [分析]…

3560: DZY Loves Math V Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 241  Solved: 133 Description 给定n个正整数a1,a2,…,an,求 的值(答案模10^9+7). Input 第一行一个正整数n. 接下来n行,每行一个正整数,分别为a1,a2,…,an. Output 仅一行答案. Sample Input 3 6 10 15 Sample Output 1595 HINT 1<=n<=1…

pid=5647">[HDU 5647]DZY Loves Connecting(树DP) DZY Loves Connecting Time Limit: 4000/2000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 262144/262144 K (Java/Others) Total Submission(s): 332    Accepted Submission(s): 112 Problem Description DZY has an unroote…

[BZOJ3563/BZOJ3569]DZY Loves Chinese I/II(随机化,线性基) 题面 搞笑版本 正经版本 题面请自行观赏 注意细节. 题解 搞笑版本真的是用来搞笑的 所以我们来讲正经代码 首先随便找一棵生成树出来 于是,我们就得到了一棵树+若干边的东西 如果删掉了若干边使得图不再联通, 证明这条边,以及覆盖了这条边的那些边都被断开了. 于是,我们给所有不再生成树上的边全部随机一个权值 然后树上的边的权值为覆盖了它的所有边的权值异或和 考虑如何查询,如果这一系列边都被断开,导…

[BZOJ3563/3569]DZY Loves Chinese II Description 神校XJ之学霸兮,Dzy皇考曰JC. 摄提贞于孟陬兮,惟庚寅Dzy以降. 纷Dzy既有此内美兮,又重之以修能. 遂降临于OI界,欲以神力而凌♂辱众生. 今Dzy有一魞歄图,其上有N座祭坛,又有M条膴蠁边. 时而Dzy狂WA而怒发冲冠,神力外溢,遂有K条膴蠁边灰飞烟灭. 而后俟其日A50题则又令其复原.(可视为立即复原) 然若有祭坛无法相互到达,Dzy之神力便会大减,于是欲知其是否连通. Input 第…

UOJ_14_[UER #1]DZY Loves Graph_并查集 题面:http://uoj.ac/problem/14 考虑只有前两个操作怎么做. 每次删除一定是从后往前删,并且被删的边如果不是树边则没有影响,如果是树边也不存在边能替代. 直接删除这条边就可以. 于是用一个栈来保存现场,然后按秩合并的并查集维护就OK了. 现在有撤回操作,但根据上面对删边分析出的性质. 可以这样: 如果是插入一条边,然后撤回,相当于删边. 如果删边然后撤回,相当于什么也不做. 代码还是很好理解的. 代码:…