MT【53】对数平均做数列放缩

[从最简单的做起]--波利亚请看下面三道循序渐进不断加细的题. 评:随着右边的不断加细,解决问题的方法也越来越"高端".当然最佳值$ln2$我们可以用相对容易的方法来证明: $\because ln(2k+1)-ln(2k-1)>\frac{1}{k}$两边$k$从$n+1$取到$2n$得$$ln2>\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{n+k}}$$…

MT【26】ln(1+x)的对数平均放缩

评:1.某种程度上$ln(1+x)\ge \frac{2x}{2+x}$是最佳放缩. 2.这里涉及到分母为幂函数型的放缩技巧,但是不够强,做不了这题.…

(2018浙江省赛13题) 设实数$x_1,x_2,\cdots,x_{2018}$满足$x_{n+1}^2\le x_nx_{n+2},(n=1,2,\cdots,2016)$和$\prod\limits_{k=1}^{2018}x_k=1$证明:$x_{1009}x_{1010}\le1.$ 证明:事实上,由$x_{n+1}^2\le x_nx_{n+2}$易知道,下标为奇数的项同号,下标为偶数的项同号.我们不妨考虑$x_k>0,(k=1,2,\cdots,2018)$(若都为负数只需每一项…

MT【307】周期数列

(2017浙江省数学竞赛) 设数列$\{a_n\}$满足:$|a_{n+1}-2a_n|=2,|a_n|\le2,n\in N^+$证明:如果$a_1$为有理数,则从某项后$\{a_n\}$为周期数列. 分析:若$a_1\in Q$由$|a_{n+1}-2a_n|=2$知道$a_n\in Q$. 设$a_n=\dfrac{q}{p},(p,q)=1$则$a_{n+1}=2a_n\pm2=\dfrac{2q\pm2p}{p}$故$a_n,a_{n+1}$ 在不约分的情况下分母相同.设$a_1=\d…

hdu5988（费用流，对数相乘做加法）

题意:一个网络流的图,有n个点,从1~n,然后m条边,每个点有两个值,一个是人的数量si一个是饭的数量bi.每条m边有容量ci,还有走上去可能踩断电线的概率pi(第一次踩上去没有事,之后都要p概率).问让所有人吃到饭的前提下断电线的最小概率是多少. 解法:每条边有走的次数(流量),每条边走一次发生破坏概率为p(流量1,费用p),容易想到费用流.可是费用流往往是费用相加的,这个是概率,只能相乘.有什么办法,log函数可以把乘除法转换为加减法.所以对每个概率取个log当成费用就行了. 注意,这个概率…

MT【256】2016四川高考解答压轴题

(2016四川高考数学解答压轴题)设函数$f(x)=ax^2-a-\ln x,a\in R$. 1)讨论$f(x)$的单调性;2)确定$a$的所有可能值,使得$f(x)>\dfrac{1}{x}-e^{1-x}$在区间$(1,+\infty)$内恒成立. 分析:1)略2)设$g(x)=a(x^2-1)-\ln x-\dfrac{1}{x}+e^{1-x}$当$a\ge \dfrac{1}{2}$时,$g(x)\ge \dfrac{1}{2}(x^2-1)-\ln x-\dfrac{1}{x}+e…