sg函数和nim游戏的关系

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sg函数和nim游戏的关系

sg函数和nim游戏的关系本人萌新,文章如有错漏请多多指教-- 我在前面发了关于nim游戏的内容,也就是说给n堆个数不同的石子,每次在某个堆中取任意个数石子,不能取了就输了.问你先手是否必胜.然后只要这n堆石子的石子数异或和等于0就必败,不等于0就必胜.这个是通过利他,利己两个态的定义和转换归纳证明的.可是nim游戏只是博弈论中的一个模型,还有其他模型怎么快速判断胜负呢?例如说这道题,它不是一个nim游戏.我们现在要把它转换成一个nim游戏. 首先定义ICG,只有满足这种定义的博弈论模型才能转…

【UVA11859】Division Game（SG函数，Nim游戏）

题意:给定一个n*m的矩阵,两个游戏者轮流操作. 每次可以选一行中的1个或多个大于1的整数,把它们中的每个数都变成它的某个真因子,不能操作的输. 问先手能否获胜 n,m<=50,2<=a[i][j]<=10000 思路:考虑每个数包含的质因子个数,则让一个数“变成它的真因子”等价于拿掉它的一个或多个质因子. 这样,每行对应一个火柴堆,每个数的每个质因子看成一根火柴,则本题就和Nim游戏就完全等价了. #include<cstdio> #include<cstring&g…

博弈论基础之sg函数与nim

在算法竞赛中,博弈论题目往往是以icg.通俗的说就是两人交替操作,每步都各自合法,合法性与选手无关,只与游戏有关.往往我们需要求解在某一个游戏或几个游戏中的某个状态下,先手或后手谁会胜利的问题.就比如经典的:几堆石子,两人可以分别拿若干个,一次只能选择一个石子堆操作,问给定状态下,先手胜利还是后手胜利? 而nim与sg函数就是对于这类问题的解法,在我的理解看来,sg函数和nim分别对应不同阶段的决策:前者对于单个游戏决策,后着是将这些单个游戏综合起来的整体决策. 一.状态与转移 icg游戏往往可…

Nowcoder 挑战赛23 B 游戏 ( NIM博弈、SG函数打表 )

题目链接题意 : 中文题.点链接分析 : 前置技能是 SG 函数.NIM博弈变形每次可取石子是约数的情况下.那么就要打出 SG 函数才可以去通过异或操作判断一个局面的胜负打 SG 函数的时候.由于 N 很大所以不能使用递归的方式打表.会爆栈还有要预处理每个数的约数打出 SG 函数之后暴力判断初始局面的每堆石子取走约数后是否对答案产生贡献 #include<bits/stdc++.h> #define LL long long #define ULL unsigned long…

组合游戏 - SG函数和SG定理

在介绍SG函数和SG定理之前我们先介绍介绍必胜点与必败点吧. 必胜点和必败点的概念: P点:必败点,换而言之,就是谁处于此位置,则在双方操作正确的情况下必败. N点:必胜点,处于此情况下,双方操作均正确的情况下必胜. 必胜点和必败点的性质: 1.所有终结点是必败点 P .(我们以此为基本前提进行推理,换句话说,我们以此为假设) 2.从任何必胜点N 操作,至少有一种方式可以进入必败点 P. 3.无论如何操作,必败点P 都…

【博弈论】浅谈泛Nim游戏

Nim游戏在ACM中碰到了,就拎出来写写. 一般Nim游戏:有n堆石子,每堆石子有$a_i$个,每次可以取每堆石子中$[0,a_i-1]$,问先手是否有必胜策略. 泛Nim游戏:每堆石子有$a_i$个,每次可以取每堆石子中若干个且有一定限制,问先手是否有必胜策略. 我们定义 : P 表示先手必败局N 表示后手必败局性质1:对于Nim游戏任何局面要么是P要么是N. 给出 N P 状态的严谨定义(性质) : 1. 无法更改局面的局面是 P 2. 可移动到 P 的是 N3. 所有移动都导致 N…

【基础操作】博弈论 / SG 函数详解

博弈死我了……(话说哪个小学生会玩博弈论提到的这类弱智游戏,还取石子) 先推荐两个文章链接:浅谈算法——博弈论(从零开始的博弈论) 博弈论相关知识及其应用 This article was updated at 2019.8.14. SG函数在学习博弈论之前,你需要彻底了解 SG 函数. 对于一个两人轮流操作的游戏,我们把游戏的每一种可能的局面设为一种局面. 那么局面只分两种:(对于这一轮操作者的)必胜态和必败态.至于为什么没有不确定态,看完下文你就明白了. 若这一轮操作者从这个局面出发,按最…

SG函数和SG定理【详解】

在介绍SG函数和SG定理之前我们先介绍介绍必胜点与必败点吧. 必胜点和必败点的概念: P点:必败点,换而言之,就是谁处于此位置,则在双方操作正确的情况下必败. N点:必胜点,处于此情况下,双方操作均正确的情况下必胜. 必胜点和必败点的性质: 1.所有终结点是必败点 P .(我们以此为基本前提进行推理,换句话说,我们以此为假设) 2.从任何必胜点N 操作,至少有一种方式可以进入必败点 P. 3.无论如何操作,必败点P 都…

SG函数&&SG定理

必胜点和必败点的概念: P点:必败点,换而言之,就是谁处于此位置,则在双方操作正确的情况下必败. N点:必胜点,处于此情况下,双方操作均正确的情况下必胜. 必胜点和必败点的性质: 1.所有终结点是必败点 P .(我们以此为基本前提进行推理,换句话说,我们以此为假设) 2.从任何必胜点N 操作,至少有一种方式可以进入必败点 P. 3.无论如何操作,必败点P 都只能进入必胜点 N. 下面通过例子介绍SG函数定义mex(…

sg函数总结

http://blog.csdn.net/luomingjun12315/article/details/45555495 这一段时间写的题和我接下来要展示的一些概念都来自这里↑. 必胜点和必败点的概念: P点:必败点,换而言之,就是谁处于此位置,则在双方操作正确的情况下必败. N点:必胜点,处于此情况下,双方操作均正确的情况下必胜. 必胜点和必败点的性质: 1.所有终结点是必败点 P .(我们以此为基本前提进行推理,换句话说,我们以此为假设)…

（转载）--SG函数和SG定理【详解】

在介绍SG函数和SG定理之前我们先介绍介绍必胜点与必败点吧. 必胜点和必败点的概念: P点:必败点,换而言之,就是谁处于此位置,则在双方操作正确的情况下必败. N点:必胜点,处于此情况下,双方操作均正确的情况下必胜. 必胜点和必败点的性质: 1.所有终结点是必败点 P .(我们以此为基本前提进行推理,换句话说,我们以此为假设) 2.从任何必胜点N 操作,至少有一种方式可以进入必败点 P. 3.无论如何操作,必败点P 都…

SG函数略解

由于笔者太懒,懒得把原来的markdown改成MCE,所以有很多奇怪的地方请谅解. 先说nim游戏. 大意:有n堆石子,两个人轮流取,每个人每次从任意一堆取任意个,直到一个人无法取了为止.问对于石子的情况先手的输赢. 这看上去无从入手,但是仔细想想还是有法的. 我们从最终态逆推,首先考虑(0,0,0)的情况,一看就gg了,无论谁面对这种情况都只能愿赌服输.那么我们考虑如果我们是后手,应该怎么样才可以赢.于是我们考虑,如果出现这么一种情况(0,n,n),我们是不是处于必胜的状态.考虑当下情况,无论…

SG函数与 ICG问题

ICG ICG(Impartial Combinatorial Games)游戏是组合游戏(Combinatorial Games)的一类满足如下性质: ①有两名玩家 ②两名玩家轮流操作,在一个有限集合内任选一个进行操作,改变游戏当前局面 ③一个局面的合法操作,只取决于游戏局面本身且固定存在,与玩家次序或者任何其它因素无关 ④无法操作者,即操作集合为空,输掉游戏,另一方获胜 Nim游戏 Nim游戏是经典的ICG游戏,也是组合游戏的一个重要模型,非常的经典对于n堆石子,两名玩家轮流取走其中一堆…

SG函数和SG定理(Sprague_Grundy)

一.必胜点和必败点的概念 P点:必败点,换而言之,就是谁处于此位置,则在双方操作正确的情况下必败. N点:必胜点,处于此情况下,双方操作均正确的情况下必胜. 必胜点和必败点的性质: 1.所有终结点是必败点 P .(我们以此为基本前提进行推理,换句话说,我们以此为假设) 2.从任何必胜点N 操作,至少有一种方式可以进入必败点 P. 3.无论如何操作,必败点P 都只能进入必胜点 N.我们研究必胜点和必败点的目的时间为题进行简化,有助于我们的分…

关于SG函数

Sprague-Grundy定理(SG定理): 游戏和的SG函数等于各个游戏SG函数的Nim和.这样就可以将每一个子游戏分而治之,从而简化了问题.而Bouton定理就是Sprague-Grundy定理在Nim游戏中的直接应用,因为单堆的Nim游戏 SG函数满足 SG(x) = x.对博弈不是很清楚的请参照http://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6398385.html进行进一步理解. SG函数: 首先定义mex(minimal excludant)…

SG 函数学习

$Mex$ 运算 $mex(S)$ 为不属于集合 $S$ 的最小非负整数,即: \[mex(S)=\min \limits_{x \in \mathbb{N},x \not\in S} \{x\} \] eg:$mex(\{2,4,5\})=3,mex(\{\})=0$ 有向图游戏有向无环图中,一颗棋子放在起点,双方轮流将这枚棋子沿有向边移动,不能移动则输博弈论问题可转化为有向图游戏 $SG$ 函数在有向图游戏中,定义 $SG(x)$ 为 $x$ 节点的后继节点…

博弈论（nim游戏，SG函数）

说到自己,就是个笑话.思考问题从不清晰,sg函数的问题证明方法就在眼前可却要弃掉.不过自己理解的也并不透彻,做题也不太行.耳边时不时会想起alf的:"行不行!" 基本的小概念这里我们讨论的是公平游戏(ICG游戏:Impartial Combinatorial Games),满足: 1.双方每步的限制相同(轮流) 2.游戏有尽头对于当前局面的玩家如果能有必胜策略,那就是N局面(反之,P局面) SG函数每一种决策以及后面的所有可能可以抽象成有向无环图,而sg函数的计算就类似图上dp的…

[您有新的未分配科技点]博弈论入门：被博弈论支配的恐惧（Nim游戏，SG函数）

今天初步学习了一下博弈论……感觉真的是好精妙啊……希望这篇博客可以帮助到和我一样刚学习博弈论的同学们. 博弈论,又被称为对策论,被用于考虑游戏中个体的预测行为和实际行为,并研究他们的应用策略.(其实这句话没有什么卯月) 在OI中,博弈论的主要应用是一些经典的模型,以及sg函数,sj定理的应用. 首先我们来看博弈论最为经典的模型之一:Nim游戏有n堆石子,每次可以从其中任意一堆石子中取出若干块石子(可以取完),不能不取. 最后无石子可取者为输家.假设两人都按最优情况走,问是否先手必胜. 为了计算…

数学：Nim游戏和SG函数

有若干堆石子,两人轮流从中取石子,取走最后一个石子的人为胜利者以下的性质是显然的 .无法移动的状态是必败态 .可以移动到必败态的局面一定是非必败态 .在必败态做所有操作的结果都是非必败态在普通Nim游戏中,a1^a2^a3^……^an=0是必败态如果没有限制每次可以取走的石子的数量的话,就不用引入SG函数了否则 .可选步数为1~m的连续整数,直接取模即可,SG(x) = x % (m+); .可选步数为任意步,SG(x) = x; .可选步数为一系列不连续的数,用GetSG()计算可以…

Nim 游戏、SG 函数、游戏的和

Nim游戏 Nim游戏定义 Nim游戏是组合游戏(Combinatorial Games)的一种,准确来说,属于“Impartial Combinatorial Games”(以下简称ICG).满足以下条件的游戏是ICG(可能不太严谨):1.有两名选手:2.两名选手交替对游戏进行移动(move),每次一步,选手可以在(一般而言)有限的合法移动集合中任选一种进行移动:3.对于游戏的任何一种可能的局面,合法的移动集合只取决于这个局面本身,不取决于轮到哪名选手操作.以前的任何操作.骰子的点数或者其它什…

Nim游戏与SG函数 ——博弈论小结

写这篇博客之前,花了许久时间来搞这个SG函数,倒是各路大神的论文看的多,却到底没几个看懂的.还好网上一些大牛博客还是性价比相当高的,多少理解了些,也自己通过做一些题加深了下了解. 既然是博弈,经典的NIM游戏不得不提一下,这也是要不断提醒自己别忘了NIM游戏才是SG函数由来的核心关键! 1. 若干堆石头. 2. 甲和乙轮流从任意堆中取任意个石头. 3. 谁不能取就输. 分析: 对于一个博弈来说,P-position表示previous,代表先手必败,即后手必胜,N-position表示next,…