CRT从各种方面上都吊打exCRT啊...... 短,好理解... 考虑构造bi使得bi % pi = ai,bi % pj = 0.然后全加起来就行了. 显然bi的构造就是ai * (P/pi) * inv(P/pi). LL a = , p = MO - ; ; i <= ; i++) { a = (a + ans[i] * (p / mod[i]) % p * qpow(p / mod[i], mod[i] - , mod[i]) % p) % p; } exCRT: 是这样的,重新手推了…

[笔记] CRT & exCRT 构造法 求多组\(x \equiv r_i (\bmod d_i)\)的解,\(d_i\)互质 余数\((r_i = remainder)\),除数\((d_i=divisor)\) 我们想啊,如果我们能找到一个数 \(k1\equiv1(mod\text{ }3)\)是 \(5\) 和 \(7\) 的倍数 一个数 $k2\equiv1(mod\text{ }5) $是\(3\)和\(7\)的倍数 一个数 $k3\equiv1(mod\text{ }7) $是\…

前言: 中国剩余定理又名孙子定理.因孙子二字歧义,常以段子形式广泛流传. 中国剩余定理并不是很好理解,我也理解了很多次. CRT 中国剩余定理 中国剩余定理,就是一个解同余方程组的算法. 求满足n个条件的最小的x. 看起来很麻烦. 先找一个特殊情况:$m_1,m_2,...m_n$两两互质. 这个时候,构造$M=m_1*m_2*...m_n$; 令$M_i=M/m_i$; 所以,构造$n$个数,其中第$i$个数是除$i$之外的其他所有数的倍数,并且第$i$个数$mod m_i =1$ 即:$M_…

中国剩余定理 别人的blog 假设现在有关于x的同余方程组(p1,p2均为质数) \(x=a_1\pmod {p_1}\) \(x=a_2\pmod {p_2}\) 可以转化成如下形式 \(x=a_1+k_1p_1\) \(x=a_2+k_2p_2\) 联立就有\(a_1+k_1p_1=a_2+k_2p_2\) 显然可以扩欧求一组特解,设为\(k_1',k_2'\) 那么全部的解可以表示成 \(k_1=k_1'+p_2t\) \(k_2=k_2'+p_1t\) 其中t为整数 回带就有\(x=a_…

\(crt,Chinese\ Remainder\ Theorem\) 概述 前置技能:同余基础性质,\(exgcd\). \(crt\),中国剩余定理.用于解决模数互质的线性同余方程组.大概长这样: \[ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} x\equiv a_1(mod\ m_1),\\ x\equiv a_2(mod\ m_2),\\ x\equiv a_3(mod\ m_3),\\ ......\\ x\equiv a_n(mod\ m_…

excrt板子题 #include <cmath> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #define ll long long #define N 100010 #define rint register int #define ll long long #define il inline using namespace std; //re int n; ll A[N],B[N…

这玩意解决的是把同余方程组合并的问题. CRT的核心思想和拉格朗日插值差不多,就是构造一组\(R_i\)使得$\forall i,j(i \neq j) $ \[R_im_i = 1, R_im_j = 0 \] 有了思路后这玩意随便构造一下就出来了,式子里面出现了一些奇怪的逆元,所以要求模数互质 现在考虑扩展CRT,模数不互质了 本质思路是合并两个同余方程组 发现同余条件等价于\(x=k_1m_1+a_1=k_2m_2+a_2\) 怎么求出其中的一个\(k\)呢?其实也就是\(k_1m_1-k…

非扩展 用于求解线性同余方程组 ,其中模数两两互质 . 先来看一看两个显然的定理: 1.若 x \(\equiv\) 0 (mod p) 且 y \(\equiv\) 0 (mod p) ,则有 x+y \(\equiv\) 0 (mod p) 2.若 x \(\equiv\) b (mod p) 且 y \(\equiv\) 0 (mod p), 则有 x+y \(\equiv\) b (mod p) (0$\leq $b<p) 则整个方程组可以写为 b1 \(\begin{bmatrix}1…

P4777 [模板]扩展中国剩余定理(EXCRT) excrt模板 我们知道,crt无法处理模数不两两互质的情况 然鹅excrt可以 设当前解到第 i 个方程 设$M=\prod_{j=1}^{i-1}b[j]$ ,$ res$是前$ i-1 $个方程的最小解 则$ res+x*M$ 是前 $i-1 $个方程的通解 那么我们求的就是 $res+x*M ≡ a[i] (mod b[i])$ $<=> x*M - y*b[i] = a[i]-res$ 用exgcd求出的解为 t (当且仅当 gcd…

中国剩余定理CRT 中国剩余定理是要求我们解决这样的一类问题: \[\begin{cases}x\equiv a_1\pmod {b_1} \\x\equiv a_2 \pmod{b_2}\\...\\x\equiv a_n\pmod{b_n} \end{cases}\] 其中\(b_1,b_2,...,b_n\)互质. 我们先令\(m=\prod_{i=1}^{n}b_i,w_i=m/b_i\) 那么有\(gcd(m,w_i)==1\) 我们对于\(w_ix'+my'= 1\)解出来\(x',…

TOC 建议使用 Ctrl+F 搜索 . 目录 小工具 / C++ Tricks NOI Linux 1.0 快速读入 / 快速输出 简易小工具 无序映射器 简易调试器 文件 IO 位运算 Smart Double 数论 GCD 快速幂相关 分数模板类 EI 的取模还原分数 逆元 整除分块 线性筛 扩展欧几里得算法 (exgcd) 类欧几里得算法 中国剩余定理 (CRT) & exCRT BSGS & exBSGS 积性函数筛子 组合计数 组合数取模 伯努利数 斯特林数 Catalan 数…

题目链接: 洛谷 题目大意:求同余方程组 $x\equiv b_i(mod\ a_i)$ 的最小正整数解. $1\leq n\leq 10^5,1\leq a_i\leq 10^{12},0\leq b_i\leq 10^{12},b_i<a_i$,保证有解,答案不超过 $10^{18}$. (其实我没打成方程组形式是因为我 $latex$ 太差) 既然是模板就直接讲方法.假设不一定有解. 方法:每次将前 $i-1$ 个方程合并后的方程与第 $i$ 个方程合并,直到 $n$ 个方程全部合并完.…

其实呢,扩展中国剩余定理还有一种理解方式:就是你有一坨东西,形如:$A[i]\equiv B[i](mod$ $P[i])$. 对于这个东西,你可以这么思考:如果最后能求出一个解,那么这个解的增量一定是 $lcm(P[1],P[2].....).$ 所以,只要你能找到一坨 $P[i]$,使得它们的 $lcm$ 等于你想要的东西,你就可以用 $excrt$来解. p话扯完了,我们步入正题:假设没有障碍,有 $n$ 行 $m$ 列,那么答案即为 $C_{n+m}^{n}.$ 这个东西就代表你一共会走…

欧拉定理不要忘记!! #include <bits/stdc++.h> #define N 100000 #define ll long long #define ull unsigned long long #define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) using namespace std; int array[10]={2,3,4679,35617}; ll mult(ll x,ll y,ll mod) {…

Preface 老叶说了高中停课但是初中不停的消息后我就为争取民主献出一份力量 其实就是和老师申请了下让我们HW的三个人听课结果真停了 那么还是珍惜这次机会好好提升下自己吧不然就\(AFO\)了 List Luogu P4198 楼房重建 把高度化为斜率,然后就是个动态最长上升子序列的问题了,线段树上二分即可解决,而且可以做到\(O(n\log n)\) NOIP模拟赛10.24 实力翻车,T1主席树裸题切了,T2想了贪心+前缀和+二分正解,最后1min写完发现忘记判边界了炸到60,T3以为很难…

目录 数论 知识点 Exgcd 逆元 gcd 欧拉函数\(\varphi(x)\) CRT&EXCRT BSGS&EXBSGS FFT/NTT/MTT/FWT 组合公式 斯特林数 卡塔兰数 常用数学公式 技巧经验 容斥 组合计数 区间筛 博弈 有趣的式子 gcd有关 数论模板库 黑科技 \(long\ long\)相乘取模 子集枚举 高维前缀和 各种线性筛 高级算法 Exgcd Lucas EXCRT BSGS 高斯消元 线性基 裴蜀定理 FFT 拉格朗日插值 NTT FWT 数论 Tag…

$补+写题ing$ 第 1 章 快速幂 序列的第 k 个数 link $solution:$ 板子 A 的 B 次方 link $solution:$ 板子 [NOIP2013] 转圈游戏 link $solution:$ 板子 越狱 link $solution:$ 简单的容斥原理,$m^n-m\times \prod_{i=1}^{n-1} m-1$ 第 2 章 质数 Prime Distance link $solution:$ 先筛掉$[1,\sqrt{R}]$,然后在暴力即可. 质因数…

noip一轮复习真的要开始啦!!! 大概顺序是这样的 1.数学 2.搜索贪心 3.数据结构 4.图论 5.dp 6.其他 数学 1.数论 数论被称为数学皇冠上的明珠,他的重要性主要在于它是其他学习的祖师,基本上什么代数问题都可以通过数论推导,其实有的图论也是(数学上). 我们信息中的数论主要是说对整除同余的研究~~~~~~~ ①:唯一分解定理与素数 这个之前我们先要讲素数(定义全部掠过) 素数筛法: #include<iostream> #include<cstdio> #incl…

upd:19.4.5 放出来了.如果明天考了我没复习到的认了.考到了复习了的还没拿到理想分的就回来谢罪(bushi www SDOI一轮倒计时4天啦w 所以得有个小计划吧QwQ 4.2 目标:BZOJ5407 模板: ✔最小树形图 //Love and Freedom. #include<cstdio> #include<cmath> #include<algorithm> #include<cstring> #define ll long long #de…

ICPC 2019 徐州网络赛 比赛时间:2019.9.7 比赛链接:The Preliminary Contest for ICPC Asia Xuzhou 2019 赛后的经验总结 // 比赛完才反应过来没看完全部题, J题树形dp没写太亏了... // 几何旋律AK了,太强了Orz // 虽然我们队A了8题,但如果时间分配好,认真读题避免看错题的话,应该至少多A一题 A. Who is better? 题意 两个人玩游戏,谁先消灭完敌人就赢.两条规则:1. 第一个人不能全部消灭完: 2.…

这是拓展crt的典型应用 在你开始做之前,我一定要告诉你一件事情:虽然这道题看着和拓展crt模板很像,但他俩是有巨大的区别的!不要直接把板子改吧改吧扔上去! 题目模型:求解模线性方程组 其中p1,p2...pn不一定互质 第一眼:拓展crt板子题! 第二眼:等等...好像不太对 第三眼:WTF!系数哪来的! 我们知道,拓展crt的模板只能解决x系数为1的情况,而系数不为1的是很难做的! 什么?直接乘逆元变成1? 逆元不存在呢? 我们稍微做一点推导: 首先,我们解一下方程 设这个方程的一个解是x0…

ZROI 游记 在自闭中度过了17天 挖了无数坑,填了一点坑 所以还是有好多坑啊zblzbl 挖坑总集: 时间分治 差分约束 Prufer序列 容斥 树上数据结构 例题C (和后面的例题) 点分 最大流.费用流.上下界 Hero meet devil(dp套dp) Pollards' Rho CRT & exCRT BSGS & exBSGS NTT & FFT 以及 分治NTT & FFT (& 原根) Cipolla 算法(二次剩余) Min25 ZROI D1…

EXCRT 不保证模数互质 \[\begin{cases} x \equiv b_1\ ({\rm mod}\ a_1) \\ x\equiv b_2\ ({\rm mod}\ a_2) \\ ... \\ x \equiv b_n\ ({\rm mod}\ a_n)\end{cases}\] CRT戳这里 来一手数学归纳法 设已经求出前 \(k - 1\) 组的一个解 \(q\) 设 \(M = \prod_{i = 1}^{k - 1}a_{i}\) 我们知道前 \(k - 1\) 组的通解…

前置知识 1. a%b=d,c%b=e, 则(a+c)%b=(d+e)%b(正确性在此不加证明) 2. a%b=1,则(d\(\times\)a)%b=d%b(正确性在此不加证明) 下面先看一道题(改编自曹冲养猪): 烤绿鸟的故事 题目描述: mian包是一个贪吃的孩子,这天,他买了一堆绿鸟吃.当然他的妈妈并不想让他吃太多食物(因为那样会发胖),为了避免老妈的唠叨,他决定不告诉他的妈妈绿鸟数量,而是将绿鸟的数量x用以下式子来描述 \[\begin{cases}x≡b_1 (mod a_1)\\x…

中国剩余定理(CRT) & 扩展中国剩余定理(ExCRT)总结 标签:数学方法--数论 阅读体验:https://zybuluo.com/Junlier/note/1300035 前置浅讲 前置知识点:\(Exgcd\) 这两个东西都是用来解同余方程组的 形如 \[ \left\{ \begin{aligned} x\equiv B_1(mod\ W_1)\\ x\equiv B_2(mod\ W_2)\\ \cdots\\ x\equiv B_n(mod\ W_n)\\ \end{aligne…

updata on 2020.4.11 修正了 excrt 的一处笔误 CRT 求解方程: \[\begin{cases} x \equiv a_1 \pmod {m_1}\\ x \equiv a_2 \pmod {m_2}\\ \vdots \\ x \equiv a_n \pmod {m_n}\\ \end{cases} \] 其中,保证\(m_i\)是两两互质的正整数,crt就是基于这个特征 我们记\(M=\prod_{i=1}^{n} m_i\),和\(M_i=\dfrac{M}{m_…

问题背景   孙子定理是中国古代求解一次同余式方程组的方法.是数论中一个重要定理.又称中国余数定理.一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作<孙子算经>卷下第二十六题,叫做"物不知数"问题,原文如下:   有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何?即,一个整数除以三余二,除以五余三,除以七余二,求这个整数.<孙子算经>中首次提到了同余方程组问题,以及以上具体问题的解法,因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称…

方便复制 快速乘/幂 时间复杂度 \(O(\log n)\). ll nmod; //快速乘 ll qmul(ll a,ll b){ ll l=a*(b>>hb)%nmod*(1ll<<hb)%nmod; ll r=a*(b&((1<<hb)-1))%nmod; return (l+r)%nmod; } //快速幂 ll qpow(ll a,ll b){ ll res=1; while(b){ if(b&1)res=res*a%nmod; a=a*a%n…

蒟蒻maomao终于学会\(CRT\)啦!发一篇博客纪念一下(还有防止忘掉) \(CRT\)要解决的是这样一个问题: \[x≡a_1​(mod m_1​)\] \[x≡a_2​(mod m_2​)\] \[x≡a_3​(mod m_3​)\] \[...\] \[x≡a_k​(mod m_k​)​\] 其中,\(m\)之间两两互质.这个问题有一个通解是\(\sum a_i * M * t_i / m_i\),其中\(t_i\)代表方程\(M * t_i / m_i ≡ 1\)的最小正整数解. 为…

题目大意:给你一些关于$x$的方程组:$$\begin{cases}x\equiv a_1\pmod{mod_1}\\x\equiv a_2\pmod{mod_2}\\\vdots\\x\equiv a_n\pmod{mod_n}\end{cases}$$求解$x$的最小非负整数解($\gcd(mod_1,mod_2,\cdots,mod_n)\not=1$) 题解:$EXCRT$,假设有两个方程$$\begin{cases}x\equiv x_1\pmod{A}\\x\equiv x_2\pm…