题目链接:http://poj.org/problem?id=2409 题意:给出一个长度为m的项链,每个珠子可以用n种颜色涂色.翻转和旋转后相同的算作一种.有多少种不同的项链? 思路: (1) 对于Burnside引理,G为所有置换集合,|G|为所有置换个数,gi为第i种置换,D(gi)为在第i种置换下保持不动的元素个数. 对于Polay定理,G为所有置换集合,|G|为所有置换个数,gi为第i种置换,n为颜色的种类,c(gi)为第i种置换的循环节个数. (2)对于Polay,一般解题步骤:确定…
题目链接:http://poj.org/problem?id=2409 题意: 有一串n个珠子穿起来的项链,你有k种颜色来给每一个珠子染色. 问你染色后有多少种不同的项链. 注:“不同”的概念是指无论怎样旋转或翻转项链,都与之前的不同. 题解: 本题用到了置换的相关知识: (1)Burnside引理: 等价类数目 = 所有C(f)的平均值 (C(f)为置换f的不动点数目) (2)置换f可以分解成m(f)个循环的乘积,假设涂k种颜色: C(f) = k^m(f) (3)Polya定理:(综上) 等…
题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1004 关于置换群:https://www.cnblogs.com/nietzsche-oier/p/6883880.html https://files-cdn.cnblogs.com/files/HocRiser/Burnside.pdf 原来 burnside 引理中的“不动点”是指一种不变化的方案啊: 这道题就用 burnside 引理,但给出的 m 个置换还不是置换群,需要再加一个…
题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1004 http://poj.org/problem?id=2409 学习材料:https://www.cnblogs.com/nietzsche-oier/p/6883880.html https://files-cdn.cnblogs.com/files/HocRiser/Burnside.pdf bzoj 1004:这道题注意考虑单位元的那个置换. 然后用 polya 定理即可.不动点…
描述 http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1004 共n个卡片,染成r,b,g三种颜色,每种颜色的个数有规定.给出一些置换,可以由置换得到的染色方案视为等价的,求等价类计数. 分析 给出置换求等价类计数,用Burnside引理:等价类计数=(每一个置换不动点的和)/置换数.(不知道的建议去看白书) 其中不动点是指一个染色方案经过置换以后染色与之前完全相同. 1.求不动点个数. 不动点的话同一个循环内的每一个点的颜色必须相同(否则不同颜色…
题目描述 有\(n\)张卡牌,要求你给这些卡牌染上RGB三种颜色,\(r\)张红色,\(g\)张绿色,\(b\)张蓝色. 还有\(m\)种洗牌方法,每种洗牌方法是一种置换.保证任意多次洗牌都可用这\(m\)种洗牌法中的一种代 替,且对每种洗牌法,都存在一种洗牌法使得能回到原状态. 问你本质不同的染色方法有多少种. \(r,g,b\leq 20,m\leq 60\) 题解 对照置换群的定义,可以发现这\(m\)种置换加上恒等置换一共\(m+1\)中置换构成了一个置换群. 由burnside引理得到…
http://poj.org/problem?id=1286 题意:有红.绿.蓝三种颜色的n个珠子.要把它们构成一个项链,问有多少种不同的方法.旋转和翻转后同样的属于同一种方法. polya计数. 搜了一篇论文Pólya原理及其应用看了看polya究竟是什么东东.它主要计算所有互异的组合的个数.对置换群还是似懂略懂.用polya定理解决这个问题的关键是找出置换群的个数及哪些置换群,每种置换的循环节数.像这样的不同颜色的珠子构成项链的问题能够把N个珠子看成正N边形. Polya定理:(1)设G是p…
链接:http://poj.org/problem?id=1286 http://poj.org/problem?id=2409 #include <cstdio> #include <iostream> #include <cstring> #include <cmath> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long LL; LL P_M( LL a, LL b ) {…
两种置换 旋转:有n种,分别是旋转1个2个--n个,旋转i的循环节数位gcd(i,n) 翻转:分奇偶,对于奇数个,只有一个珠子对一条边的中点,循环节数为n/2+1:对于偶数个,有珠子对珠子和边对边,循环节个数为n/2+1个和n/2个 然后用polya定理即可 #include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; long long n,k,ans; long long ksm(long long a,long long b…
[题目分析] 裸题直接做. 一个长度为n,颜色为m的环,本质不同的染色方案是多少. 数据范围比较小,直接做就好了. [代码] #include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define ll long long #define F(i,j,k) for (int i=j;i<=k;++i) int g…