作为神秘奖励--?也是为了方便背. 所有的除法都是向下取整. 数论函数: \((f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})\) \((Id*\mu)(n)=\sum_{d|n}\mu(d)\frac{n}{d}=\phi(n)\) 筛法求积性函数: int su[N],he[N],miu[N],phi[N],c[N],d[N],tot; void Euler(int n){ miu[1]=d[1]=c[1]=phi[1]=1; for(int i=2;i<=n;i+…

点此看题面 大致题意: 让你求出\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\mu(gcd(i,j))\). 莫比乌斯反演 这种题目,一看就是莫比乌斯反演啊!(连莫比乌斯函数都有) 关于莫比乌斯反演,详见这篇博客:初学莫比乌斯反演. 推式子 下面让我们来推式子. 首先,我们采用解决这种问题的常用套路,来枚举\(gcd\),就能得到这样一个式子: \[\sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\fra…

Lcm bzoj-4659 bzoj-2694 题目大意:给出A,B,考虑所有满足l<=a<=A,l<=b<=B,且不存在n>1使得n^2同时整除a和b的有序数对(a,b),求其lcm(a,b)之和.答案模2^30. 注释:$1\le A,B\le 4\cdot 10^6$,$1\le cases \le 2000$. 想法:这题是一道挺好的题,它的好在于对于题目的转化. 这题目描述,没个做,我们将它转化一下 $\ \ \sum\limits_{i=1}^A\sum\limi…

题解: (吐槽:网上题解那个不严谨猜测真是没谁了……关键是还猜得辣么准……) 直接化简到求和那一段: $f_{d}(n)=\sum_{t|n}\mu(t)t^{d}\sum_{i=1}^{\frac{n}{t}}i^{d}$ $设S_{d}(T)=\sum_{i=1}^{T}i^{d}$ 那这个是什么呢?伯努利数(我会说我百度找到的吗……) 百度 递推公式 $s_{p}(T)=\sum_{i=1}^{p+1}\frac{(-1)^{p+1-i}C_{p+1}^{i}B_{p+1-i}}{p+1}…

2671: Calc Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 303  Solved: 157 Description 给出N,统计满足下面条件的数对(a,b)的个数: 1.1<=a<b<=N 2.a+b整除a*b Input 一行一个数N Output 一行一个数表示答案 Sample Input 15 Sample Output 4 HINT 数据规模和约定 Test N Test N 1 <=10 11 <=5*1…

题目 去年的Lucas非常喜欢数论题,但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了. 在整理以前的试题时,发现了这样一道题目"求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N",其中 表示i的约数个数.他现在长大了,题目也变难了. 求如下表达式的值: 其中 表示ij的约数个数. 他发现答案有点大,只需要输出模1000000007的值. 输入格式 第一行一个整数n. 输出格式 一行一个整数ans,表示答案模1000000007的值. 输入样例 2 输出样例 8 提示 对于100%的数据…

首先由这样一个结论: \[ d(ij)=\sum_{p|i}\sum_{q|j}[gcd(p,q)==1] \] 然后推反演公式: \[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sum_{p|i}\sum_{q|j}[gcd(p,q)==1] \] \[ \sum_{p=1}^{n}\sum_{q=1}^{n}[gcd(p,q)==1]\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor\left \lfloor \frac{n}{q} \right…

传送门 题意: 求\[ \sum_{i=1}^{n}i^d[gcd(i,n)=1] \] 思路: 我们对上面的式子进行变换,有: \[ \begin{aligned} &\sum_{i=1}^{n}i[gcd(i,n)=1]\\ =&\sum_{i=1}^{n}i\sum_{x|gcd(i,n)}\mu (x)\\ =&\sum_{i=1}^n i\sum_{x|i,x|n}\mu(x)\\ =&\sum_{x|n}\mu(x)x^d\sum_{i=1}^{\frac{n}…

本文同步发布于作业部落,若想体验更佳,请点此查看原文.//博客园就是渣,连最基本的符号都打不出来.…

[BZOJ4407]于神之怒加强版(莫比乌斯反演) 题面 BZOJ 求: \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)^k\] 题解 根据惯用套路 把公约数提出来 \[\sum_{d=1}^nd^k\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)==d]\] 再提一次 \[\sum_{d=1}^nd^k\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}[gcd(i,j)==1]\] 后面这个东西很显然可以数论分块+莫比乌斯反演做到\(O(\…