[问题2014S12]  设 \(A,B\) 都是 \(n\) 阶半正定实对称阵, 证明: \(AB\) 的所有特征值都是非负实数. 进一步, 若 \(A,B\) 都是正定实对称阵, 证明: \(AB\) 的所有特征值都是正实数. [公告]  关于本学期复旦高等代数II(13级)每周一题,新题的公布到第十五教学周为止(即本学期一共公布 15 道思考题), 解答的公布到第十七教学周为止(通常滞后两周). [推荐]  请 13 级的同学到以下网址下载<数学之美,吴军著>一书,希望即将学完一年大学数…

本学期将继续进行高等代数每周一题的活动.计划从第一教学周开始,到第十六教学周为止(根据法定节假日安排,中间个别周会适当地停止),每周的周末将公布1道思考题(共16道),供大家思考和解答.每周一题通过“谢启鸿高等代数官方博客(以博文的形式)”和“高等代数在线课程17级课群(以课群话题的形式)”这两个渠道同时发布,并通过17级高等代数微信群及时通知大家.有兴趣的同学可以将每周一题的解答写在纸上,并拍成图片上传到该每周一题对应的课群话题中.谢启鸿老师或研究生助教会对每周一题的解答进行批改和评价,并将优…

本学期将继续进行高等代数每周一题的活动.计划从第一教学周开始,到第十五教学周结束,每周的周末公布一道思考题(预计15道),供大家思考和解答.每周一题将通过“高等代数官方博客”(以博文的形式)和“高等代数在线课程18级课群”(以课群话题的形式)这两个渠道同时发布.有兴趣的同学可以将每周一题的解答写在纸上.拍成图片,并上传到每周一题对应的课群话题中.本人会对每周一题的解答进行批改和评价,并将优秀解答标记出来推荐给全班同学. [问题2019S01]  设 $A$ 为 $n$ 阶复方阵, 满足 $(A'…

每周一题的说明 一.本学期高代II的每周一题面向16级的同学,将定期更新(一般每周的周末公布下一周的题目); 二.欢迎16级的同学通过微信或书面方式提供解答图片或纸质文件给我,优秀的解答可以分享给大家: 三.请大家先独立思考和解答每周一题,实在做不出的情况下,可以点击参考答案进行学习. *********************************************************** [问题2017S01]  设 $A$ 是 $n$ 阶对合阵, 即 $A^2=I_n$, 证明…

[问题2014S06]  试用有理标准型理论证明13级高等代数I期末考试最后一题: 设 \(V\) 为数域 \(K\) 上的 \(n\) 维线性空间,  \(\varphi\) 为 \(V\) 上的线性变换, 且存在非零向量 \(\alpha\in V\) 使得 \[V=L(\alpha,\varphi(\alpha),\varphi^2(\alpha),\cdots).\] 设 \(f(x)\) 是 \(\varphi\) 的特征多项式, 并且 \(f(x)\) 在数域 \(K\) 上至少有两…

[问题2016S01]  设 $f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ 是整系数首一多项式, 满足: $|a_0|$ 是素数且 $$|a_0|>1+\sum_{i=1}^{n-1}|a_i|,$$ 证明: $f(x)$ 是有理数域上的不可约多项式. 注  上述不可约多项式的判别法称为 Osada 定理. [问题2016S02]  (1) 设 $\varphi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换, $V$ 有一个直和分解: $$V=V_1\op…

[问题2015S01]  设 \(M_n(\mathbb{R})\) 是 \(n\) 阶实方阵全体构成的实线性空间, \(\varphi\) 是 \(M_n(\mathbb{R})\) 上的线性变换, 使得对于给定的 \(A,B\in M_n(\mathbb{R})\), 或者 \(\varphi(AB)=\varphi(A)\varphi(B)\) 成立, 或者 \(\varphi(AB)=\varphi(B)\varphi(A)\) 成立. 证明: 或者 \(\varphi(AB)=\var…

[问题2015S13]  设 \(A=(a_{ij})\) 为 \(n\) 阶实矩阵, 定义函数 \[f(A)=\sum_{i,j=1}^na_{ij}^2.\] 设 \(P\) 为 \(n\) 阶非异实矩阵, 满足: 对任意的 \(A\in M_n(\mathbb{R})\), 成立 \[f(PAP^{-1})=f(A).\] 证明: 存在非零实数 \(c\), 使得 \(PP'=cI_n\). 注  这是 [问题2014S08] 实数域上的版本,当时我们用的是基础矩阵的方法来证明的.现在,我…

问题2014S01  设 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 是次数等于 2 的 \(n\) 元实系数多项式, \(S\) 是使得 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 达到最大值或最小值的点的集合, 即 \(S=\{(b_1,b_2,\cdots,b_n)\in\mathbb{R}^n\,|\) \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\leq\)\(f(b_1,b_2,\cdots,b_n)\), \(\forall\,(x_1,x_2,\cdots,x_…

[问题2014S03]  设 \(A\in M_n(\mathbb R)\) 是非异阵并且 \(A\) 的 \(n\) 个特征值都是实数. 若 \(A\) 的所有 \(n-1\) 阶主子式之和等于零, 证明: 存在 \(A\) 的一个 \(n-2\) 阶主子式, 其符号与 \(|A|\) 的符号相反. 注  上述问题略微推广了13级缪欣晨同学问我的一道考研试题.…