CF960G Bandit Blues 第一类斯特林数、NTT、分治/倍增

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CF960G Bandit Blues 第一类斯特林数、NTT、分治/倍增

传送门弱化版:FJOI2016 建筑师由上面一题得到我们需要求的是$\begin{bmatrix} N - 1 \\ A + B - 2 \end{bmatrix} \times \binom {A+B-2} {A - 1}$ 注意到这题的复杂度瓶颈是求第一类斯特林数,因为求组合数可以$O(N)$,但是暂时我们求第一类斯特林数只有$O(N^2)$的方法考虑第一类斯特林数的转移式子:\(\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{b…

[CF960G]Bandit Blues(第一类斯特林数+分治卷积)

Solution: 先考虑前缀,设 $f(i, j)$ 为长度为 $i$ 的排列中满足前缀最大值为自己的数有 $j$ 个的排列数. 假设新加一个数 $i+1$ 那么会有: \[ f(i,j)\rightarrow f(i + 1, j + 1)\\ f(i, j)\times i\rightarrow f(i + 1, j) \] 即将 $i+1$ 放在那哪个位置,会对后面产生贡献,综合一下,$f(i, j)$ 就是第一类斯特林数 $i \brack j$ .…

CF960G Bandit Blues 第一类斯特林数+分治+FFT

题目传送门 https://codeforces.com/contest/960/problem/G 题解首先整个排列的最大值一定是 $A$ 个前缀最大值的最后一个,也是 $B$ 个后缀最大值的最后一个. 那么枚举一下最大值的位置为 $i$,那么左右两边各选一些数的方案数为 $\binom {n-1}{i-1}$. 然后,左边有 $i-1$ 个数,要分成 $A-1$ 个部分,每一个部分的第一个数是所有数中最大的,并且每一个部分之间的最大值要递增. 可以发现这个问题等价于…

Codeforces960G Bandit Blues 【斯特林数】【FFT】

题目大意: 求满足比之前的任何数小的有A个,比之后的任何数小的有B个的长度为n的排列个数. 题目分析: 首先写出递推式,设s(n,k)表示长度为n的排列,比之前的数小的数有k个. 我们假设新加入的数为1,那么s(n,k)=s(n-1,k-1)+(n-1)*s(n,k). 这个式子是第一类斯特林数的递推式. 用h(n,a,b)表示满足题目给出条件的排列个数. 得出h(n,a,b)=Σs(k,a-1)*s(n-k-1,b-1)*C(n-1,k).直观的理解就是将原排列从最高点分成两部分,两部分分别组…

CF960G Bandit Blues 【第一类斯特林数 + 分治NTT】

题目链接 CF960G 题解同FJOI2016只不过数据范围变大了考虑如何预处理第一类斯特林数性质 \[x^{\overline{n}} = \sum\limits_{i = 0}^{n}\begin{bmatrix} n \\ i \end{bmatrix}x^{i}\] 分治$NTT$即可在$O(nlog^2n)$的时间内预处理出同一个$n$的所有$\begin{bmatrix} n \\ i \end{bmatrix}$ 其实还有比较优美的倍增$fft$的\(O(…

CF960G Bandit Blues 分治+NTT（第一类斯特林数）

$ \color{#0066ff}{ 题目描述 }$ 给你三个正整数 $n$,$a$,$b$,定义 $A$ 为一个排列中是前缀最大值的数的个数,定义 $B$ 为一个排列中是后缀最大值的数的个数,求长度为 $n$ 的排列中满足 $A = a$ 且 $B = b$ 的排列个数.$n \le 10^5$,答案对 $998244353$ 取模. $\color{#0066ff}{输入格式}$ 三个整数n,a,b \(\color{#0066ff}{输出格式}\…