http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1215 题意:求解小于n的所有因子和 利用数论的唯一分解定理. 若n = p1^e1 * p2^e2 * ……*pn^en(任何一个数都可以分解成素数乘积) 则n的因子个数为  (1+e1)(1+e2)……(1+en) n的各个因子的和为(1+p1+p1^2+……+p1^e1)(1+p2+p2^2+……+p2^e2)……(1+pn+pn^2+……+pn^en) (把式子化简就知道为什么了) ac代码: #inc…

原题:https://vjudge.net/problem/UVA-10791 基本思路:1.借助唯一分解定理分解数据.2.求和输出 知识点:1.筛法得素数 2.唯一分解定理模板代码 3.数论分析-唯一分解定理的性质 唯一分解定理:该定理通过素数将任意一个大于2的n分解为 最小质数因子的幂 的乘积.这是一个数字简化的过程. 题目易错点在于要求得到的是 ‘n的多个因子的和’,且该多个因子的最小公倍数为n.是多个,而不是两个!!由此看来,其实如果把分解定理得到的每一个‘质数^指数’的形式看作一个整数…

[整除] 若a被b整除,即a是b的倍数,那么记作b|a("|"是整除符号),读作"b整除a"或"a能被b整除".b叫做a的约数(或因数),a叫做b的倍数. [质因数分解] 把一个正整数数分解成几个质数的幂相乘的形式叫做质因数分解. e.g. 10=2*5 16=24 18=2*32 [唯一分解定理] 唯一分解定理(算术基本定理)可表述为:任何一个大于1的自然数 N,如果N不为质数,那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积: N=P1a1*P2a2*P…

You are given an array aa consisting of nn integers. Your task is to say the number of such positive integers xx such that xx divides eachnumber from the array. In other words, you have to find the number of common divisors of all elements in the arr…

[唯一分解定理]:https://www.cnblogs.com/mjtcn/p/6743624.html 假设x是一个正整数,它的值不超过65535(即1<x<=65535),请编写一个程序,将x分解为若干个素数的乘积. Input 输入的第一行含一个正整数k (1<=k<=10),表示测试例的个数,后面紧接着k行,每行对应一个测试例,包含一个正整数x. Output 每个测试例对应一行输出,输出x的素数乘积表示式,式中的素数从小到大排列,两个素数之间用“*”表示乘法. Samp…

题目链接:https://cn.vjudge.net/problem/HDU-1215 题意 中文题,自己去看吧,懒得写:) 思路 \[ Ans=\prod \sum p_i^j \] 唯一分解定理 关键在于求因子了,模版到时候整理 提交过程 AC 代码 #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; int factors[200][2], fsize; vo…

题意 求n!的因子数%1e9+7. 思路 由唯一分解定理,一个数可以拆成素数幂之积,即2^a * 3^b *……,n!=2*3*……*n,所以计算每个素因子在这些数中出现的总次数(直接对2~n素因子分解即可),再用唯一分解定理公式,因子数=(a+1)*(b+1)*……. 代码 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define inf 0x3f3f3f3f #define ll long long const int N=200005; c…

Sumdiv Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 30000K Total Submissions: 17387   Accepted: 4374 Description Consider two natural numbers A and B. Let S be the sum of all natural divisors of A^B. Determine S modulo 9901 (the rest of the division of S by 99…

Consider two natural numbers A and B. Let S be the sum of all natural divisors of A^B. Determine S modulo 9901 (the rest of the division of S by 9901). Input The only line contains the two natural numbers A and B, (0 <= A,B <= 50000000)separated by…

Squarefree number Time Limit: 10000/3000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 3691    Accepted Submission(s): 971 Problem Description In mathematics, a squarefree number is one which is divisible by no per…

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6069 题意: 思路: 根据唯一分解定理,$n={a_{1}}^{p1}*{a2_{}}^{p2}...*{a_{m}}^{pm}$,那么n的因子数就是 n的k次方也是一样的,也就是p前面乘个k就可以了. 先打个1e6范围的素数表,然后枚举每个素数,在[ l , r ]寻找该素数的倍数,将其分解质因数. 到最后如果一个数没有变成1,那就说明这个数是大于1e6的质数.(它就只有0和1两种选择) #include<…

题目链接 Sumdiv Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 30000K Total Submissions: 25841   Accepted: 6382 Description Consider two natural numbers A and B. Let S be the sum of all natural divisors of A^B. Determine S modulo 9901 (the rest of the division of S…

Sumdiv Time Limit:1000MS     Memory Limit:30000KB     64bit IO Format:%I64d & %I64u Submit Status Practice POJ 1845 Appoint description:   System Crawler  (2015-05-27) Description Consider two natural numbers A and B. Let S be the sum of all natural…

题意:给定n个数ai(n<=1e6,ai<=1e6),定义,并且fac(l,r)为mul(l,r)的不同质因数的个数,求 思路:可以先用欧拉筛求出1e6以内的所有质数,然后对所有ai判断,如果ai不是质数就利用唯一分解定理计算其所有质因数.然后按照顺序依次计算每个质因子的贡献.假设n=5,对质因子2,依次记录它在数组出现的下标,如果它在2.4下标出现了,那么它的贡献即为所有包含2或4的区间个数,逆向计算,即所有区间个数-不包含2和4的区间个数,即 n(n+1)/2-m1(m1+1)/2-m2(…

唯一分解定理: Uva10791 题意: 输入整数n,要求至少两个正整数,使得他们的最小公倍数为n,且这些整数的和最小 解法: 首先假设我们知道了一系列数字a1,a2,a3……an,他们的LCM是n,那么什么时候他们是最优解呢,当他们两两互质的时候 为了方便我们以两个数来说明问题. a和b的LCM是n,GCD是m,那么n=a/m*b , 它们的和就是sum=a+b; 如果m不为1(即a和b不互质),那么我们为什么不优化一下,将a变为a=a/m呢?,改变后a和b的LCM依然是n,但是他们的和显然减…

题目描述 Hanks 博士是 BT (Bio-Tech,生物技术) 领域的知名专家,他的儿子名叫 Hankson.现 在,刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题. 今天在课堂上,老师讲解了如何求两个正整数 c1 和 c2 的最大公约数和最小公倍数.现 在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识,他开始思考一个“求公约数”和“求公 倍数”之类问题的“逆问题”,这个问题是这样的:已知正整数 a0,a1,b0,b1,设某未知正整 数 x 满足: 1． x 和 a0 的最大公约…

UVA - 10375 Choose and divide Choose and divide Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 65536K Total Submissions: 4053   Accepted: 1318 Description The binomial coefficient C(m,n) is defined as m! C(m,n) = -------- n!(m-n)! Given four natural numbers p, q…

uva10375 Choose and Divide(唯一分解定理) 题意: 已知C(m,n)=m! / (n!*(m-n!)),输入整数p,q,r,s(p>=q,r>=s,p,q,r,s<=10000), 计算C(p,q)/C(r,s).输出保证不超过10^8,保留5位小数. 分析: 本题时间上基本上没有太大的限制,可以暴力求解C(m,n); #include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream>…

http://lightoj.com/volume_showproblem.php?problem=1341 题目大意: 给你矩形的面积(矩形的边长都是正整数),让你求最小的边大于等于b的矩形的个数. 什么叫唯一分解定理:算术基本定理可表述为:任何一个大于1的自然数 N,如果N不为质数,那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积N=P1a1P2a2P3a3......Pnan,这里P1<P2<P3......<Pn均为质数,其中指数ai是正整数.这样的分解称为 N 的标准分解式 我们求出n的因…

题意:求C(p,q)/C(r,s),4个数均小于10000,答案不大于10^8 思路:根据答案的范围猜测,不需要使用高精度.根据唯一分解定理,每一个数都可以分解成若干素数相乘.先求出10000以内的所有素数,用a数组表示唯一分解式中个素数的指数,求出每个分子部分的素因子,并且相应的素数的指数加一.分母则减一.最后求解唯一分解式的值. #include<stdio.h> #include<string.h> #include<math.h> ; int pr[N],p[N…

一行代表一个数 x 给你底数和指数 求x-1的唯一分解定理的底数和指数 从大到小输出 #include<stdio.h> #include<string.h> #include<algorithm> #include<vector> #include<math.h> using namespace std; #define MAXN 100010 double z[MAXN],x[MAXN]; bool pri[MAXN]; int p[MAXN…

题目链接 题意:输入两个整数L,U(L <= U <= 1000000000, u - l <= 10000),统计区间[L,U]的整数中哪一个的正约数最多,多个输出最小的那个 本来想着用欧拉函数,打个表求所有的约数个数,但是u太大,直接暴力求解 利用唯一分解定理,刷选出根号1000000000的素数,对l,u区间的每一个数进行分解 #include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> #…

题意:给出n,求至少两个正整数,使得它们的最小公倍数为n,且这些整数的和最小 看的紫书--- 用唯一分解定理,n=(a1)^p1*(a2)^p2---*(ak)^pk,当每一个(ak)^pk作为一个单独的数的时候,和最小 然后就有三种情况 普通的,比如,2*3*3*5,sum=2+9+5=16 只有1个因数的,比如32=2^5,sum=32+1; 没有因数,自己本身是质数,sum=n+1: 因为分解的时候是找到根号n的,比如21,最后还会剩下7,所以sum=sum+n #include<iost…

http://lightoj.com/volume_showproblem.php?problem=1341 Aladdin and the Flying Carpet Time Limit:3000MS     Memory Limit:32768KB     64bit IO Format:%lld & %llu Submit Status Practice LightOJ 1341 Description It's said that Aladdin had to solve seven…

给出n.m,求得最终求和数列an=C(n-1,0)*x1 + C(n-1,1)*x2+...+C(n-1,n-1)*xn; 若xi与m无关,则an除以m的余数与xi无关,即余数不含xi的项: 输入:n,m 输出:ans  //无关项的总数: xi1 xi2 ...  //无关项,升序 Tips: 对于组合数的唯一分解定理 由于10^5级别的组合数必然会存在很大的项(long long甚至double都无法保存),要求得其唯一分解式只能采取按递推式分步分解,代码如下: bool check(int…

B - (例题)因子和 Crawling in process... Crawling failed Time Limit:1000MS     Memory Limit:32768KB     64bit IO Format:%I64d & %I64u Submit Status Description 七夕节那天,月老来到数字王国,他在城门上贴了一张告示,并且和数字王国的人们说:"你们想知道你们的另一半是谁吗?那就按照告示上的方法去找吧!" 人们纷纷来到告示前,都想知道谁才…

A - (例题)整数分解 Crawling in process... Crawling failed Time Limit:2000MS     Memory Limit:32768KB     64bit IO Format:%lld & %llu Submit Status Description Find the result of the following code: long long pairsFormLCM( int n ) {    long long res = 0;   …

题意:给出一个x 可以做两种操作  ①sqrt(x)  注意必须是完全平方数  ② x*=k  (k为任意数)  问能达到的最小的x是多少 思路: 由题意以及 操作  应该联想到唯一分解定理   经过分析可以知道   ②操作最多使用一次  将x分解成一系列素数乘积的时候  只要看最高幂次离哪个二的幂近(只取上界) 并且把所以素因子都凑成找到的这个二的幂  只要x*=k一步就可以凑成  然后一直操作①模拟即可 而如果刚好全部都相等并且都是2的幂次 那么直接一直操作①模拟即可 #include<bi…

Tennis Game CodeForces - 496D 通过排列组合解决问题. 首先两组不同素数的乘积,是互不相同的.这应该算是唯一分解定理的逆运用了. 然后是,输入中的素数,任意组合,就是n的因数,而且不会重复. 然后只需要知道,每个质数在所有组合中出现了几次就行了. 如果某一个质数再输入中只出现了一次,那么它在组合中出现的次数就应该是其他所有质数在输入中出现次数加一的乘积. 如果某一个质数x在输入中出现了多次,那么便只需把x,x*x, x*x*x等数暂且当做一个输入中的数来计算就是了,然…

题目大意:给两个数a,b,求满足c*d==a且c>=b且d>=b的c,d二元组对数,(c,d)和(d,c)属于同一种情况: 题目分析:根据唯一分解定理,先将a唯一分解,则a的所有正约数的个数为num = (1 + a1) * (1 + a2) *...(1 + ai),这里的ai是素因子的指数,见唯一分解定理,因为题目说了不会存在c==d的情况,因此num要除2,去掉重复情况,然后枚举小于b的a的约数,拿num减掉就可以了. 首先了解唯一分解定理: 题目思路:根据唯一分解定理有: 1.每个数n…