试证明: 当流场为无旋, 即 $\rot{\bf u}={\bf 0}$ 时, 理想流体的 Euler 方程可写为如下形式: $$\bex \cfrac{\p {\bf u}}{\p t}+\n \cfrac{u^2}{2}+\cfrac{1}{\rho}\n p={\bf F}. \eex$$ 证明: 仅须注意到 $$\bex ({\bf u}\cdot\n){\bf u}=\Div({\bf u}\otimes{\bf u})= (\Div{\bf u}){\bf u}+\rot{\bf u…

在线性弹性时, 证明各向同性材料, 稳定性条件 (5. 27) 等价于 Lam\'e 常数满足 $$\bex \mu>0,\quad \lm+\cfrac{2}{3}\mu>0.  \eex$$ 证明: (1)  写出 $$\beex \bea \sum_{i,j,k,l} a_{ijkl}e_{ij}e_{kl} &=\sum_{i,j,k,l}\sez{ \lm \delta_{ij}\delta_{kl} +\mu\sex{ \delta_{ik}\delta_{jl} +\de…

在线性弹性时, 证明各向同性材料, 强椭圆性条件 (5. 6) 等价于 Lam\'e 常数满足 $$\bex \mu>0,\quad \lm+2\mu>0.  \eex$$ 证明: (1)  对各向同性材料, $$\beex \bea a_{ijkl}&=\lm\delta_{ij}\delta_{kl} +\mu\sex{\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk}},\\ \sum_{i,j,k,l}a_{ijkl}\xi_i\xi_k…

试证明: 由 Navier-Stokes 方程组描述的流体运动一般总是有旋的, 即若 $\rot{\bf u}={\bf 0}$, 则 Navier-Stokes 方程组 (3. 4)-(3. 5) 即化为 Euler 方程组 (1. 15). 证明: 若 $\rot{\bf u}={\bf 0}$, 则 $$\bex -\lap{\bf u}=\rot\rot{\bf u}-\n \Div{\bf u}={\bf 0}, \eex$$ 而 Navier-Stokes 方程组化为 Euler 方…

[物理学与PDEs]第2章习题1 无旋时的 Euler 方程 [物理学与PDEs]第2章习题2 质量力有势时的能量方程 [物理学与PDEs]第2章习题3 Laplace 方程的 Neumann 问题 [物理学与PDEs]第2章习题4 习题 3 的变分 [物理学与PDEs]第2章习题5 正应力的平均值 [物理学与PDEs]第2章习题6 有旋的 Navier-Stokes 方程组 [物理学与PDEs]第2章习题7 一维不可压理想流体的求解 [物理学与PDEs]第2章习题8 一维定常粘性不可压缩流体的…

[物理学与PDEs]第5章习题1 矩阵的极分解 [物理学与PDEs]第5章习题2 Jacobian 的物质导数 [物理学与PDEs]第5章习题3 第二 Piola 应力张量的对称性 [物理学与PDEs]第5章习题4 广义 Hookean 定律的张量的对称性 [物理学与PDEs]第5章习题5 超弹性材料中客观性假设的贮能函数表达 [物理学与PDEs]第5章习题6 各向同性材料时强椭圆性条件的等价条件 物理学与PDEs]第5章习题7 各向同性材料时稳定性条件的等价条件 [物理学与PDEs]第5章习题…

[物理学与PDEs]第1章习题1 无限长直线的电场强度与电势 [物理学与PDEs]第1章习题2 均匀带电球面的电场强度与电势 [物理学与PDEs]第1章习题3 常场强下电势的定解问题 [物理学与PDEs]第1章习题4 偶极子的极限电势 [物理学与PDEs]第1章习题5 偶极子的电场强度 [物理学与PDEs]第1章习题6 无限长载流直线的磁场 [物理学与PDEs]第1章习题7 载流线圈的磁场 [物理学与PDEs]第1章习题8 磁场分布 $\ra$ 电流分布 [物理学与PDEs]第1章习题9 磁偶极…

[物理学与PDEs]第3章习题1 只有一个非零分量的磁场 [物理学与PDEs]第3章习题2 仅受重力作用的定常不可压流理想流体沿沿流线的一个守恒量 [物理学与PDEs]第3章习题3电磁场的矢势在 Lorentz 规范下满足的方程 [物理学与PDEs]第3章习题4 理想磁流体的能量守恒方程 [物理学与PDEs]第3章习题5 一维理想磁流体力学方程组的数学结构 [物理学与PDEs]第3章习题6 Lagrange 坐标下的一维理想磁流体力学方程组的数学结构 [物理学与PDEs]第3章习题7 快.慢及A…

[物理学与PDEs]第4章习题1 反应力学方程组形式的化约 - 动量方程与未燃流体质量平衡方程 [物理学与PDEs]第4章习题2 反应力学方程组形式的化约 - 能量守恒方程 [物理学与PDEs]第4章习题3 一维理想反应流体力学方程组的数学结构 [物理学与PDEs]第4章习题4 一维理想反应流体力学方程组的守恒律形式及其 R.H. 条件…

写出在忽略粘性与热传导性, 即设 $\mu=\mu'=\kappa=0$ 的情况, 在 Euler 坐标系下具守恒律形式的一维反应流动力学方程组. 由此求出在解的强间断线上应满足的 R.H. 条件 (见第二章 $\S 4$), 并证明越过强间断线, 函数 $Z$ 保持连续. 解答: (1)  具守恒律形式的一维反应流动力学方程组为 $$\beex \bea \cfrac{\p \rho}{\p t}+\cfrac{\p}{\p x}(\rho u)&=0,\\ \cfrac{\p}{\p t}(…