首先感谢又强又嘴又可爱脸还筋道的国家集训队(Upd: WC2019 进候选队,CTS2019 不幸 rk6 退队)神仙瓜 ( jumpmelon ) 给我讲解这三种筛法~~ 由于博主的鸽子属性,这篇博客可能会无限期咕咕咕 线性筛 这种算法是比较基础的筛法,在入门时就已经学习用它来筛一定范围内的质数了,因此具体算法流程无需赘述.但在筛质数的基础上,这种算法由于其优越性质在处理数论函数时也被广泛应用.这里直接给出筛出小于 \(N\) 的质数的模板. void init() { for (int i…

BZOJ_4176_Lucas的数论_杜教筛+莫比乌斯反演 Description 去年的Lucas非常喜欢数论题,但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了. 在整理以前的试题时,发现了这样一道题目“求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N”,其中 表示i的约数个数.他现在长大了,题目也变难了. 求如下表达式的值:   其中 表示ij的约数个数. 他发现答案有点大,只需要输出模1000000007的值. Input 第一行一个整数n. Output 一行一个整数ans,表示答案模100000…

杜教筛 \(\) 是 \(\) 的前缀和,\(\), \(\) 同理. 假设 \( × = ℎ\) ,并且 \(, \) 易求出,\(\) 难求出. 那么 \[H () = \sum_{ \cdot ≤} () () = \sum_{≤} () (\frac {} {})\\ = f(1)\cdot () + \sum_{2≤≤} () (\frac {} {})\] 有: \[f(1)\cdot G(n)=H(n)-\sum_{2≤≤} () (\frac {} {}) \] 整除分块,可以在…

题意 求 \[ \sum_{i = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} f(\gcd(i, j))^k \pmod {2^{32}} \] 其中 \(f(x)\) 为 \(x\) 的次大质因子,重复的质因子计算多次. 特别的,定义 \(f(1) = 0, f(p) = 0\) ,此处 \(p\) 为质数. 题解 首先先莫比乌斯反演前几步. \[ ans = \sum_{d = 1}^{n} f(d)^k \sum_{i = 1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloo…

题意: 求\(\sum_{i=1}^n\varphi(i)\)和\(\sum_{i=1}^n\mu(i)\) 思路: 由性质可知:\(\mu*I=\epsilon,\varphi*I=id\)那么可得: \[S_{\varphi}(n)=\sum_{i=1}^n\varphi(i)=\frac{(n+1)n}{2}-\sum_{i=2}^nS_{\varphi}(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)\\ S_{\mu}(n)\sum_{i=1}^n\mu(i)=1-\sum_{i…

最近重新系统地学了下这几个知识点,以前没发现他们的联系,这次总结一下. 莫比乌斯反演入门:https://blog.csdn.net/litble/article/details/72804050 线性筛筛常见积性函数及其代码:https://blog.masterliu.net/algorithm/sieve/ 积性函数与线性筛(包括普通线性函数):https://blog.csdn.net/weixin_42562050/article/details/87997582 bzoj2154/b…

P4213 [模板]杜教筛(Sum) 题目描述 给定一个正整数$N(N\le2^{31}-1)$ 求 $$ans_1=\sum_{i=1}^n\varphi(i)$$ $$ans_2=\sum_{i=1}^n \mu(i)$$ 输入输出格式 输入格式: 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问 输出格式: 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2 输入输出样例 输入样例#1: 复制 6 1 2 8 13 30 2333 输出样例#1…

hihocoder #1456 : Rikka with Lattice(杜教筛) 题意 : 给你一个\(n*m\)方格图,统计上面有多少个格点三角形,除了三个顶点,不覆盖其他的格点(包括边和内部). 答案对于\(998244353\)取模... (\(n,m \le 5 * 10^9\)) 题解 : 这个题十分的巧妙... 集训时是大佬ztzshiwo出的.. 据他所说,是不那么杜教筛的杜教筛QAQ 考试时候提示了一个皮克定理... 皮克定理: \[S=a+\frac{b}{2}-1\] \(…

Description Input 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问 Output 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2 Sample Input 6 1 2 8 13 30 2333 Sample Output 1 1 2 0 22 -2 58 -3 278 -3 1655470 2 正解:线性筛+杜教筛. 杜教筛板子题.然而感觉自己还不是很理解的样子.. 唐老师博客:http://blog.csdn.net/skyw…

BZOJ3944: Sum(杜教筛模板) 题面描述 传送门 题目分析 求\(\sum_{i=1}^{n}\mu(i)\)和\(\sum_{i=1}^{n}\varphi(i)\) 数据范围线性不可做. 需要使用杜教筛. 杜教筛可以在非线性时间里求出一个积性函数的前缀和. 借这里先写一些杜教筛内容...或许以后会补总结(雾 最开始扔积性函数: \(\mu(n)\),莫比乌斯函数 \(\phi(n)\),欧拉函数. \(d(n)\),约数个数. \(\sigma(n)\),约数和函数. \(\eps…