一个结论:(从二维扩展来的,三维也是对的,证明可以考虑质因数分解) \[ d(ijk)=\sum_{i'|i}\sum_{j'|j}\sum_{k'|k}[\gcd(i',j')=1][\gcd(i', k')=1][\gcd(j', k')=1] \] \[ \sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b\sum_{k=1}^c\sum_{i'|i}\sum_{j'|j}\sum_{k'|k}[\gcd(i',j')=1][\gcd(i', k')=1][\gcd(j', k')=1] \]…

题目类型:莫比乌斯反演 传送门:>Here< 题意:求有多少对正整数对\((a,b)\),满足\(0<a<A\),\(0<b<B\),\(gcd(a,b)=d\) 解题思路 学了莫比乌斯反演,就以这道题来介绍一下莫比乌斯反演的题的应用(下文中,对数表示在规定范围内满足特定条件的数对数量,不是\(log\)的那个对数) 一般碰到有关\(gcd\)的题,一般地,设\(f(n)\)表示\(gcd=n\)的对数,\(F(n)\)表示\(n|gcd\)的对数 根据定义,满足\[F…

题目链接:http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/viewProblem.action?id=71738 题意:给你一个整数序列a1, a2, a3, ... , an.求gcd(ai, aj) = 1 且 i < j的对数. 思路:利用莫比乌斯反演很快就能得到公式,但是求解时我们要知道序列中1, 2, 3, ... , max(a1, a2, ... , an)的倍数各是多少.我们用num[i]=k,来表示序列中有k个数是i的倍数,那么这部分对结果的影响是m…

题目链接 LOJ2476:https://loj.ac/problem/2476 LOJ2565:https://loj.ac/problem/2565 题解 参考照搬了 wxh 的博客. 为了方便,下文用 \((x, y)\) 表示 \({\rm gcd}(x, y)\). 先分析 LOJ2476. 注意到对于任意一个数组 \(a\),第 \(x\) 项的值 \(a_x\) 可以展开写成 \(\sum_\limits{i = 1}^{x} a_i[i = x]\),进一步地,有: \[\beg…

题意 有一张 \(n\times m\) 的数表,其第\(i\)行第\(j\)列的数值为能同时整除\(i\)和\(j\)的所有自然数之和. \(T\)组数据,询问对于给定的 \(n,m,a\) , 计算数表中\(\leq a\) 的数之和. \(T \leq 2\times 10^4,1 \leq n,m\leq 10^5\). 题解 令\(\sigma(x)\)表示\(x\)的约数和,容易写出答案的式子: \[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m\sigma(\gcd(i,j))…

题意 设\(d(x)\)为\(x\)的约数个数,求\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}d(ij)\). 题解 首先证个公式: \[d(ij) = \sum_{x|i}\sum_{y|j} [gcd(x,y)=1]\] 可以这么考虑:利用唯一分解定理把\(i,j\)分解,即: $i=\prod_{k = 1}^{m} p_k^{c_k},j=\prod_{k=1}^m p_k^{d_k} $ 那等式左边显然为\(\prod(c_k+d_k+1)\), 然后考虑等式右边在干什…

题目链接 简单的数学题 题目描述 输入一个整数n和一个整数p,你需要求出 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n (i\cdot j\cdot gcd(i,j))\ mod\ p\]  其中\(gcd(a,b)\)表示\(a\)与\(b\)的最大公约数 输入 一行两个整数\(p,n\) 输出 一行一个整数,为题目中所求值 样例 样例输入 998244353 2000 样例输出 883968974 数据范围 \(n\leq 10^{10}\) \(5\times 10^8 \leq…

interlinkage: https://nanti.jisuanke.com/t/38226 description: solution: 显然$\frac{\phi(j^2)}{\phi(j)}=j,\frac{\phi(k^3)}{\phi(k)}=k^2$ 原式可以化简为 $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^{n}jk^2\phi(gcd(i,j,k))$ 我们枚举$gcd(i,j,k)$,得 $\sum_{d=1}^{n}\phi(d)\sum…

题意 求 \[ \sum_{i = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} f(\gcd(i, j))^k \pmod {2^{32}} \] 其中 \(f(x)\) 为 \(x\) 的次大质因子,重复的质因子计算多次. 特别的,定义 \(f(1) = 0, f(p) = 0\) ,此处 \(p\) 为质数. 题解 首先先莫比乌斯反演前几步. \[ ans = \sum_{d = 1}^{n} f(d)^k \sum_{i = 1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloo…

题目大意: 给定\(a, b, c\),求\(\sum \limits_{i = 1}^a \sum \limits_{j = 1}^b \sum \limits_{k = 1}^c [(i, j) = 1][(j, k) = 1][(i, k) = 1]\) $a, b, c \leq 5*10^4 $ 首先莫比乌斯反演 $Ans = \sum \limits_{i = 1}^a \sum \limits_{j = 1}^b \sum \limits_{k = 1}^c [(i, j) = 1…

问题描述 BZOJ2301 LG2522 积性函数 若函数 \(f(x)\) 满足对于任意两个最大公约数为 \(1\) 的数 \(m,n\) ,有 \(f(mn)=f(m) \times f(n)\),则称 \(f(x)\) 为积性函数. 狄利克雷卷积和莫比乌斯函数 今天 zzk 神仙讲了一下狄利克雷卷积.数论分块和莫比乌斯反演. 几个数论函数 \[1(x)=1\] \[id(x)=x\] \[id^k(x)=x^k\] \[\varepsilon(x)=\begin{cases}1&x=1\\…

传送门 思路 (以下令\(F(n)=f(n)^k\)) 首先肯定要莫比乌斯反演,那么可以推出: \[ ans=\sum_{T=1}^n \lfloor\frac n T\rfloor^2\sum_{d|T}F(d)\mu(T/d) \] 可以整除分块,但后面的东西怎么办呢? 令\(G(T)=F*\mu\),那么就有 \[ ans=\sum_{T=1}^n \lfloor\frac n T\rfloor^2G(T) \] 看到\(\mu\)函数有点烦,考虑用杜教筛的式子消去它. \[ g(1)S(…

作者:匿名用户链接:https://www.zhihu.com/question/57468448/answer/153000587来源:知乎著作权归作者所有.商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处. 先说Google 服务框架Google 服务框架全称 Google Mobile Service,其中包括了应用包,也就是我们希望用到的各种 Google 应用.Android 虽然开源且自由,但 Google 的应用程序并不包含其中,它们都属于 Google 的知识产权.所以厂家们预装…

之前写了一个 GitHub 系列,反响非常不错,突然发现居然还落下点东西没写,前段时间 GitHub 也改版了,借此机会补充下. 我们都说开源社区最大的魅力是人人多能够參与进去,发挥众人的力量,让一个项目更完好.更强壮.那么肯定有人疑问,我自己眼下还没有能力开源一个项目,可是想一起參与到别的开源项目中.该怎么操作呢?那么今天,就来给大家一起介绍下 GitHub 上的一些常见的操作,看完之后你就知道方法了. 我们姑且以 Square 公司开源的 Retrofit 为例来介绍. 打开链接: http…

详解shell脚本括号区别--$().$「 」.$「 」 .$(()) .「 」 .「[ 」] 原创 波波说运维 2019-07-31 00:01:00 https://www.toutiao.com/i6716847801076023815/ 概述 很多时候我们在写shell脚本的时候总会碰到不同的括号,那么这些不同的括号有什么区别呢? $() 用于命令交换 说明:平时脚本用的``符号也是用于命令交换的哦,和$() 的操作是一样的 ${ } 用于变量替换,这里每次调用环境的时候是需要带一个${…

作者:HelloGitHub-小鱼干 本周大热点无疑是前几天 GitHub 发布的 Copilot,帮你补全代码,给你的注释提出建议,预测你即将使用的代码组件-如此神奇的 AI 技术,恰巧本周微软也开源了他们的机器学习入门课程,你在 12 周之内完成 24 堂课程即可入门机器学习.除此之外,本周的特点主题之一 DevOps 和 SRE,包括 Google.百度在内的多家科技公司在本周特推给出了他们的最佳实践. 以下内容摘录自微博@HelloGitHub 的 GitHub Trending 及 H…

作者:HelloGitHub-小鱼干 安全问题一直是 GitHub 的一大热点,因为数据安全问题诞生的各类自托管服务便是.而本周周榜上的 2 个和安全主题相关的项目,有些不同.mimikatz 是个老项目了,很多"黑客"用它从内存中提取明文密码.哈希.PIN 码和 kerberos 凭据(ticket),而同样是"安全主题"的 scorecard 更像是个守护者,它从代码.社区等多个层面帮你检测开源项目的安全健康度.当然,命令行文件共享工具 transfer.sh…

作者:HelloGitHub-小鱼干 虽然 AI 领域藏龙卧虎,但是本周预测蛋白质结构的 alphafold 一开源出来就刷爆了朋友圈,虽然项目与我无关,但是看着科技进步能探寻到生命机理,吃瓜群众也有点小激动.虽然不能参与这个了不起的项目,但是我们可以手持编程书籍参与 Anime-Girls-Holding-Programming-Books 这个项目,通过图片让其他人感受到你所用语言的"魅力".也能在 awesome-mac 中分享平时日常办公.生活好用的软件. 以下内容摘录自微博@…

作者:HelloGitHub-小鱼干 有什么比无需安装系统,检测硬件兼容度,只要打开一个浏览器,输入某个神秘的地址回车,即可体验 Windows 11 更棒的呢?windows11 就是这么一个小工具,让你在 Web 体验 Windows 桌面版,而项目仅使用了 React 等前端技术.在线体验试玩的除了 windows11,还有 learn-python,它能让你在已有代码的基础上添加你自己的代码,来查看代码是如何运行的,以及帮你检测你所写的代码是否符合 Python 规范. 以下内容摘录自微…

作者:HelloGitHub-小鱼干 如果你有一辆普通的自行车,那么就可以使用下 X-TRACK 这个项目制作一个自己的测速器,记录你的行驶轨迹还有车速,体验一把硬件发烧友的乐趣.如果你有一个非 macOS 的系统,使用 macos-virtualbox 也能让你体验一把 macOS 系统的乐趣.同 X-TRACK.macos-virtualbox 这两个技术项目不同,Summer2022-Internships 则是一个让你体验实习工作乐趣的项目,它收录了 Apple 在内的各大互联网企业的实…

作者:HelloGitHub-小鱼干 好用的 Unix 命令替代工具能让你事半功倍,例如,bat 便是个带着高亮特性的加强版 cat,就像你用了 oh my zsh 之后便会感受到它的强大.同样好用的工具还有 mitmproxy,作为一个抓包神器能帮你提高爬虫效率.Rubick 则能帮你提高使用开发效率,搭配各种好用的取色器.截屏等等小功能. 以下内容摘录自微博@HelloGitHub 的 GitHub Trending 及 Hacker News 热帖(简称 HN 热帖),选项标准:新发布 |…

作者:HelloGitHub-小鱼干 作为一个应聘者,面试的时候经常会被面试官问:你有什么问题要问我吗?为了避免这种临时想不到问题的尴尬,reverse-interview-zh 会教你下反向操作,提前准备好也许面试官答不上来的问题 结果是被录取还是被录取就交被"为难"的面试官了.同样,存在反杀可能的是一个 Babel 相似品 swc,也是一个编译和转译兼得的小工具,虽然目前来说功能尚未完善. 写在开篇的最后,一定要体验下 PlayCover,它能让你在 MacBook 上玩各类 iO…

作者:HelloGitHub-小鱼干 本周特推的 2 个项目都很好用,Realtime-Voice-Clone-Chinese 能让你无需开启变声音,即可获得一个特定声音的语音.这个声音可以是你朋友的,也可以是你网上下载的任意音频.而 image-to-latex 则让你能快速地得到一个 Latex 代码,即便你不了解 Latex,上传一张公式截图即可.当然还有好用的 GoKart 来检测你的 Go 程序,查看变量和参数是否存在安全隐患. 以下内容摘录自微博@HelloGitHub 的 GitH…

作者:HelloGitHub-小鱼干 虽然 Google 搜索的结果不如百度搜索结果那般广告丛生,但是对于一心只想找到匹配结果的我们而言,推广的信息条目能免则免.whoogle-search 便是一个获取 Google 搜索结果 需自建!并以不带广告形式呈现给我们的搜索服务,虽然它搭了 Google 的"便车".能免则免的还有 SQLModel,它省去了你同 SQL 数据库交互的操作,使用 Python 代码即可随意使用 SQL 数据库. 以下内容摘录自微博@HelloGitHub 的…

作者:HelloGitHub-小鱼干 人生是不能重来的,但是 lifeRestart 能满足你的重开心愿.初始值不满意,你可以一直随机生成或者自动添加颜值.智力.运气值,倒是一种"重生"的新方式.同样,重新启动的还有 GFPGAN,它能让照片焕发新生,修复残旧模糊不清的人脸照片. 以下内容摘录自微博@HelloGitHub 的 GitHub Trending 及 Hacker News 热帖(简称 HN 热帖),选项标准:新发布 | 实用 | 有趣,根据项目 release 时间分类,…

作者:HelloGitHub-小鱼干 本周 GitHub Trending 的主题词是:多语言.本周特推的 C 语言教程是大家都知道的阮一峰编写的,想必和他之前的技术文章类似,能起到科普作用.再来时 Rust 编写而成的数据库管理工具--Gobang,Gobang 虽棒,但是 Java 也不赖.Mindustry 是一个可玩性极高的塔防游戏.更不要提 Python 做的高颜值投屏软件了- 以下内容摘录自微博@HelloGitHub 的 GitHub Trending 及 Hacker News…

作者:HelloGitHub-小鱼干 数据库最重要的一个功能是容灾备份,备份不只是对数据库重要,对日常工作生活的我们一样重要,比如花了一个工作日写的代码没有备份(虽然可能只有 1 行-)总归是一个让人不爽的事情,Restic 是一个备份系统,可以帮备份自托管或线上服务,支持只备份变更部分内容.Atmosphere 可能对于一些 Switch 高玩并不陌生,它也能让你备份 Switch 相册以及游戏资料内容- 以下内容摘录自微博@HelloGitHub 的 GitHub Trending 及 Ha…

作者:HelloGitHub-小鱼干 代码,尤其是优雅规范的代码,一直都是学习编程技巧的捷径.虽然有实用的代码小片段,能拯救当前业务的燃眉之急,但是真要去提升自己的技能还是得从大型的项目,尤其是有一定用户体量的项目中学习代码,了解系统背后的设计原理和实现逻辑.所以不妨仔细阅读本周特推的 codebases,了解 Trello.Telegram 之类的大型应用是如何实现的. 以下内容摘录自微博@HelloGitHub 的 GitHub Trending 及 Hacker News 热帖(简称 HN…

作者:HelloGitHub-小鱼干 机械臂可能在医疗剧中看过,可以用来执行一些精细化的操作,例如:缝合之类的.但这次 Dummy-Robot 让你不仅看看而已,还具备一定的实操性(有一定的动手.经济能力)制作一个自己的机械臂.本周的 GitHub 热点除了 Dummy-Robot 这个非常酷的"硬汉"项目,还有将后端服务快速抽象为易部署的 Docker 微服务的 Appwrite,兼顾 Python.C 语言优势的新编译语言 Peregrine,Rust 编写的容器 Runtime…

作者:HelloGitHub-小鱼干 检测一家公司是否值得一去,除了高薪之外,还有时薪的算法.即便是同样的时薪,在一家能随时摸鱼的公司,岂不是人生快事.WorkingTime 便是上周很火的互联网作息项目,项目开源一周便有 10k+ star,上一次如此火爆的项目(没见过)-说到检测这件事,一个网站的加载速度便是检测网站指标一定要考虑的事项,ddosify 是近期开源的专用于检测加载的小工具,它的老前辈 cypress 作为一个优秀的测试框架,本周也在 GitHub Trending 榜单上.…