转载请注明出处,谢谢http://blog.csdn.net/ACM_cxlove?viewmode=contents    by---cxlove 题意 :求满足gcd(i , j)是素数(1 <= i <= n && 1 <= j <= m)二元组(i , j)个数. 很值得总结的题... 首先得会一点前提东西 ...先简单说下Mobius反演,就是偏序集上的容斥原理. 定义 F(n) = sigma (G(d))   d | n 那么G(n) = sigma…

欧拉函数 \(\varphi\) \(\varphi(n)=\)表示不超过 \(n\) 且与 \(n\) 互质的正整数的个数 \[\varphi(n)=n\cdot \prod_{i=1}^{s}(1-\frac{1}{p_i})\] 其中 \(n = {p_1}^{\alpha1} \cdot {p_2}^{\alpha2} \cdots {p_s}^{\alpha s} \cdot\) 是 \(n\) 的标准分解. 由此易见 \(\text{Euler}\) 函数是积性函数. 线性求 \(\…

mobius反演的基本形式为,假设知道函数F(x)=Σf(d) d|x,那么我们可以推出f(x)=Σmiu(d)*F(x/d) d|x,另一基本形式为假设知道函数F(x)=Σf(d) x|d,那么我们可以推出f(x)=Σmiu(d)*F(d/x) x|d,第二种形式可以由容斥定理得出,在此不再赘述. 我们由一个例子来了解mobius反演的作用. 求解ans=Σ(0<i<=n)Σ(0<j<=m)1(gcd(i,j)=1)即n,m范围中互质点对儿数. 我们设 F(x)为gcd(i,j)…

Dirichlet 卷积是两个定义域在正整数上的函数的如下运算,符号为 $*$ $(f * g)(n) = \sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$ 如果不强调 $n$ 可简写为 $f * g$ 常用: $\mu * 1 = \epsilon$ $\phi * 1 = id$ $\epsilon(n) = [n=1]$ $id(n)=n$ Mobius 反演是基于 Dirichlet 卷积的一种....化简式子的方法? 比较有用的结论就是 $\mu * 1 = [n=1]$ 由…

下文中所有讨论都在数论函数范围内开展. 数论函数指的是定义域为正整数域, 且值域为复数域的函数. 数论意义下的和式处理技巧 因子 \[ \sum_{d | n} a_d = \sum_{d | n} a_{\frac n d} \] 双重因子 \[ \sum_{k | n} \sum_{j | k} a_{k, j} = \sum_{k | n} \sum_{j | \frac n k} a_{jk, k} \] \[ \sum_{n | k} \sum_{k | j} a_{k, j} = \…

积性函数 积性函数 指对于所有互质的整数 aaa 和 bbb 有性质 f(ab)=f(a)f(b)f(ab)=f(a)f(b)f(ab)=f(a)f(b) 的数论函数. 特别地,若所有的整数 aaa 和 bbb 有性质 f(ab)=f(a)f(b)f(ab)=f(a)f(b)f(ab)=f(a)f(b),则称这个函数 f(x)f(x)f(x) 是 完全积性函数. 常见积性函数及其性质 Mobius 函数.∀n∈N∗\forall n\in\N^*∀n∈N∗ 有 μ(n)={1,n=1(−1)k,…

这篇文章参考了许多资料和自己的理解. 先放理论基础. 最大公约数:小学学过,这里只提一些重要的公式: $·$若$a=b$,则$\gcd(a,b)=a=b$: $·$若$\gcd(a,b)=d$,则$\gcd(b,a-b)=d$,所以就有了欧几里得辗转相除法: $·$如果$a$为偶数,$b$为奇数,则$\gcd(a,b)=\gcd\left(\dfrac a2,b\right)$: $·$如果$a$.$b$均为偶数,则$\gcd(a,b)=2\times \gcd\left(\dfrac a2,\…

目录 Preface 数论函数 积性函数 Dirichlet 卷积 Dirichlet 卷积中的特殊函数 Mobius 函数 & Mobius 反演 Mobius 函数 Mobius 反演 基础应用 约数个数 欧拉函数 反演魔法 例一 例二 例三 魔法中的 tricks 线性筛 trick 筛 筛 筛 刷表 trick Conclusion   UPD:修改了 Euler 筛法代码框架.   若无特别说明,\(x,y\) 等形式变量均 \(\in\mathbb N_+\):\(p\) 为素数.…

首先我们来看一道题  BZOJ 2301 Problem b Description 对于给出的n个询问,每次求有多少个数对(x,y),满足a≤x≤b,c≤y≤d,且gcd(x,y) = k,gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数. Input 第一行一个整数n,接下来n行每行五个整数,分别表示a.b.c.d.k Output 共n行,每行一个整数表示满足要求的数对(x,y)的个数 Sample Input 2 2 5 1 5 1 1 5 1 5 2 Sample Output 14 3 HI…

莫比乌斯反演也是反演定理的一种 既然我们已经学了二项式反演定理 那莫比乌斯反演定理与二项式反演定理一样,不求甚解,只求会用 莫比乌斯反演长下面这个样子(=・ω・=) d|n,表示n能够整除d,也就是d是n的所有因子 μ(x)是莫比乌斯函数,它是这样计算的 μ(1) = 1 x = p1 * p2 * p3 ……*pk(x由k个不同的质数组成)则μ(x) = (-1)^k 其他情况,μ (x) = 0 比如 30 = 2 * 3 * 5 μ(30) = (-1)^3 4 = 2 * 2 μ(4)…

解题关键:由容斥原理得,num=1的倍数的数量−一个质数平方数(9,25,49...)的倍数的数量+两个质数的积平方数(36,100,225...)的数量−三个质数...... 这道题用莫比乌斯的正向函数表达式理解较容易 此题让自己理解了只要与倍数相关即可用mobius. 此题还需要注意的一点,是平方数只需要反演质数.貌似是常识 #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cstd…

上次看莫比乌斯繁衍反演是一个月前,讲道理没怎么看懂.. 然后出去跪了二十天, 然后今天又开始看发现其实并不难理解   开个这个仅记录一下写过的题. HAOI 2011 B   这应该是莫比乌斯反演的模板题,有很多题解,不多说. CODE: //HAOI 2011 B //by Cydiater //2016.7.25 #include <iostream> #include <cstring> #include <string> #include <algorit…

题目链接:http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2820 题意:多次询问,求1<=x<=N, 1<=y<=M且gcd(x,y)为质数有多少对. 首先,    由于这里是多次询问,并且数据很大,显然不能直接求解,需要做如下处理.. 整数的除法是满足结合律的,然后我们设T=p*d,有: 注意到后面部分是可以预处理出来的,那么整个ans就可以用分块处理来求了,设 那么有,考虑当p|x时,根据莫比菲斯mu(x)的性质,px除以其它非…

题目链接:http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2301 题意:多次询问,求有多少对数满足 gcd(x,y)=k, a<=x<=b, c<=y<=d. 对于有下界的区间,容易想到用容斥原理做.然后如果直接用Mobius反演定理做,那么每次询问的复杂度是O(n/k),如果k=1的话,那么总体就是O(n^2)的复杂度了,会TLE.这样用到了分快优化,注意到 n/i ,在连续的k区间内存在,n/i=n/(i+k),因此能用分块优化…

学了一晚上mobius,终于A了一道了.... 假设枚举到i,质数枚举到p(程序里的prime[j]),要更新A=i*p的信息. 1. p|i    这时A的素数分解式中,p这一项的次数>=2. 考虑g(A)的求和式: 如果枚举的质数p'不等于p,A/p'就也会有p这一项,次数>=2,这时候miu(A/p')=0 如果枚举的质数p'=p,A/p=i,这一项就是miu(i) 因此g(A)=miu(i)2. p!|i (即i%p!=0) 这时候A比i多一个质因子p,对miu(i)分情况讨论. 2.…

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2301 设f(i)为在区间[1, n]和区间[1, m]中,gcd(x, y) = i的个数. 设F(i)为在区间[1, n]和区间[1, m]中,gcd(x, y) % i == 0的个数,很简单的公式就是floor(n / i) * floor(m / i) 可知gcd(x, y) = k * i也属于F(i)的范围,所以可以反演得到f(i)的表达式. 算一次复杂度O(n),而且询问区间的时候要…

BZOJ 2154 crash的数字表格 Description 今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple).对于两个正整数a和b,LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数.例如,LCM(6, 8) = 24.回到家后,Crash还在想着课上学的东西,为了研究最小公倍数,他画了一张N*M的表格.每个格子里写了一个数字,其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j).一个4*5的表格如下: 1 2 3 4 5 2 2 6 4…

T1 \(\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^M [(i,j)=1]\) \(f(d)=\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^M [(i,j)=d]\) \(g(d)=\sum_{i=1}^N \sum_{i=1}^M [d|(i,j)]=\lfloor \frac{N}{d} \rfloor \lfloor \frac{M}{d} \rfloor\) \(g(n)=\sum_{n|d} f(d)\) \(f(n)=\sum_{n|d} \mu(\frac{d}{n})g(…

题意:$\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^m {lcm(i,j)} } $ 解题关键: $\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^m {lcm(i,j)} }  = \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^m {\frac{{i*j}}{{\gcd (i,j)}}} } $ 枚举gcd,上式化为: $\sum\limits_{d = 1}^{\min (…

Description: 小 D 的家门口有一片果树林,果树上果实成熟了,小 D 想要摘下它们. 为了便于描述问题,我们假设小 D 的家在二维平面上的 (0, 0) 点,所有坐标范围的绝对值不超过 N 的整点坐标上都种着一棵果树.((0, 0) 这个点没有果树) 小 D 先站在 (0, 0) 处,正对着 (1, 0) 的方向. 每次摘果实时,小 D 会逆时针选择他能看到的第 K 棵还未摘取果实的果树,然后向着这个方向走去,在行走的过程中摘下沿路的所有的果树上的果树果实,直到走到果树林的边缘. 接…

Problem 对于给出的n个询问,每次求有多少个数对(x,y),满足a≤x≤b,c≤y≤d,且gcd(x,y) = k,gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数. 1≤n≤50000,1≤a≤b≤50000,1≤c≤d≤50000,1≤k≤50000 Sub problem 设Ans(i,j)表示有多少个数对(x,y),满足x≤i,c≤y≤j,且gcd(x,y) = k. 我们可以先求出Ans(b,d),Ans(b,c−1),Ans(a−1,d),Ans(a−1,c−1), 然后ans=Ans…

2301: [HAOI2011]Problem b Time Limit: 50 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 1007  Solved: 415[Submit][Status] Description 对于给出的n个询问,每次求有多少个数对(x,y),满足a≤x≤b,c≤y≤d,且gcd(x,y) = k,gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数. Input 第一行一个整数n,接下来n行每行五个整数,分别表示a.b.c.d.k Output 共n行,每行一…

传送门 发现自己对mobius反演的理解比较浅显-- 首先我们只需要维护每一个数的出现次数\(\mod 2\)的值,那么实际上我们只需要使用\(bitset\)进行维护,每一次加入一个数将其对应次数异或\(1\).那么\(2\)操作就相当于将集合\(x\)对应的\(bitset\)赋值为\(y\)与\(z\)的异或和. 看到\(3\)操作中的gcd,考虑莫比乌斯反演.我们在加入一个数到集合中的时候,不是加入它本身,而是加入它的所有因子.这样我们的\(3\)操作的实质就是一个按位与操作了. 对于\…

题意 给定a, b, c, d, k,求出: \[\sum_{i=a}^b\sum_{j=c}^d[gcd(i, j) = k]\] 题解 为方便表述,我们设 \[calc(\alpha, \beta) = \sum_{i=1}^{\alpha}\sum_{j=1}^{\beta}[gcd(i, j) = k]\] 令\(A = \{ (x, y) | x < a\}\), \(B = \{(x, y)|y < c\}\), 根据容斥原理, \[|S| = |U| - |A| - |B| +…

目录 基本理论基础 数论函数 线性筛 Mobius 反演 Dirichlet 卷积 数论分块 / 整除分块 拆函数 时间复杂度分析 基本形式 GCD 形 万能 Prod 的莫比乌斯反演 正常例题 YY 的 GCD 数表 DZY Loves Math 约数个数和 数字表格 于神之怒加强版 jzptab 一个人的数论 2021 年写的:数论基础模板库(不保证正确性) ; Mobius 反演(内含 \(\mu\) 作容斥系数) 基本理论基础 规定素数集记做 \(\mathbb P\) . \(\gcd…

初期: 一.基本算法:      (1)枚举. (poj1753,poj2965)      (2)贪心(poj1328,poj2109,poj2586)      (3)递归和分治法.      (4)递推.      (5)构造法.(poj3295)      (6)模拟法.(poj1068,poj2632,poj1573,poj2993,poj2996) 二.图算法:      (1)图的深度优先遍历和广度优先遍历.      (2)最短路径算法(dijkstra,bellman-ford…

OJ上的一些水题(可用来练手和增加自信) (poj3299,poj2159,poj2739,poj1083,poj2262,poj1503,poj3006,poj2255,poj3094)初期: 一.基本算法:      (1)枚举. (poj1753,poj2965)      (2)贪心(poj1328,poj2109,poj2586)      (3)递归和分治法.      (4)递推.      (5)构造法.(poj3295)      (6)模拟法.(poj1068,poj2632…

[转] POJ推荐50题以及ACM训练方案 -- : 转载自 wade_wang 最终编辑 000lzl POJ 推荐50题 第一类 动态规划(至少6题, 和 必做) 和 (可贪心) (稍难) 第二类 搜索(至少4题) (稍难,也可并查集) 第三类 贪心(至少2题) (难) 第四类 最短路 (至少3题) Bellman-Ford (难) 第五类 最小生成树 (至少2题, 而且 Prim 和 Kruskal 至少各用一次) 第六类 最大流 (至少2题) (最小费用最大流) (难) 第七类 二分图…

Log 2016-3-21 网上找的POJ分类,来源已经不清楚了.百度能百度到一大把.贴一份在博客上,鞭策自己刷题,不能偷懒!! 初期: 一.基本算法: (1)枚举. (poj1753,poj2965) (2)贪心(poj1328,poj2109,poj2586) (3)递归和分治法. (4)递推. (5)构造法.(poj3295) (6)模拟法.(poj1068,poj2632,poj1573,poj2993,poj2996) 二.图算法: (1)图的深度优先遍历和广度优先遍历. (2)最短路…

初期:一.基本算法:     (1)枚举. (poj1753,poj2965)     (2)贪心(poj1328,poj2109,poj2586)     (3)递归和分治法.     (4)递推.     (5)构造法.(poj3295)     (6)模拟法.(poj1068,poj2632,poj1573,poj2993,poj2996)二.图算法:     (1)图的深度优先遍历和广度优先遍历.     (2)最短路径算法(dijkstra,bellman-ford,floyd,hea…