传送门 差分是真心人类智慧--完全不会 这么经典的式子肯定考虑莫比乌斯反演,不难得到\(b_k = \sum\limits_{i=1}^k \mu(i) \lfloor\frac{k}{i} \rfloor^n\) 直接做是\(O(n\sqrt{n})\)的不够优秀,但是我们需要求的是\(b_1\)到\(b_K\)而不是单独的一个\(b\),这是最重要的一个性质. 考虑每一个数\(p\)对\(b_1\)到\(b_k\)的贡献.因为\(\mu(p)\)不变,所以对于\(\forall k \in…

Coprime Arrays CodeForces - 915G Let's call an array a of size n coprime iff gcd(a1, a2, ..., *a**n) = 1, where gcd* is the greatest common divisor of the arguments. You are given two numbers n and k. For each i (1 ≤ i ≤ k) you have to determine the…

[题目]G. Coprime Arrays [题意]当含n个数字的数组的总gcd=1时认为这个数组互质.给定n和k,求所有sum(i),i=1~k,其中sum(i)为n个数字的数组,每个数字均<=i,总gcd=1的方案数.n<=2*10^6.答案将所有sum(i)处理成一个数字后输出. [算法]数论(莫比乌斯反演) [题解]假设当前求sum(k),令f(i)表示gcd=i的数组方案数,F(i)表示i|gcd的数组的方案数. 因为F(x)=Σx|df(d),由莫比乌斯反演定理,f(x)=Σx|d…

Coprime Arrays 啊,我感觉我更本不会莫比乌斯啊啊啊, 感觉每次都学不会, 我好菜啊. #include<bits/stdc++.h> #define LL long long #define fi first #define se second #define mk make_pair #define PLL pair<LL, LL> #define PLI pair<LL, int> #define PII pair<int, int> #d…

CF915G Coprime Arrays 题解 (看了好半天终于看懂了) 我们先对于每一个i想,那么 我们设 我们用莫比乌斯反演 有了这个式子,可比可以求出△ans呢?我们注意到,由于那个(i/d)是下取整了的,所以i++后(下文的 i 是+1后的 i),只有当(d+1)|i 时答案有变化,于是 我们可以预处理a^n,以及用埃氏筛预处理△ans[i] CODE #include<cstdio> #include<cstring> #include<vector> #i…

题目链接:http://codeforces.com/gym/101982/attachments 题目大意:有区间[a,b]和区间[c,d],求gcd(x,y)=1,其中x属于[a,b],y属于[c,d],求这样的x,y有多少对. 解题思路: 第一种反演思路: 把下界变换一下 代码: #include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; typedef long long ll; ; ll a,b,c,d,mu[maxn…

正题 题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF585E 题目大意 给出一个大小为\(n\)的可重集\(T\),求有多少个它的非空子集\(S\)和元素\(x\)满足 \(x\notin S,gcd\{S\}>1,gcd(S,x)=1\) \(1\leq n\leq 5\times 10^5\),值域范围是\([2,10^7]\) 解题思路 \(x\notin S\)这个条件是没有用的,可以去掉 然后设\(f_i\)表示与\(i\)互质的数的个数,\(s_i\…

http://codeforces.com/contest/803/problem/F 这题正面做了一发dp dp[j]表示产生gcd = j的时候的方案总数. 然后稳稳地超时. 考虑容斥. 总答案数是2^n - 1 那么需要减去gcd = 2的,减去gcd = 3的,减去gcd = 5的.加上gcd = 6的,那么gcd  = 4的呢? 不用处理,因为这些在gcd = 2的时候减去就行.就是把他们的贡献统计到gcd = 2的哪里去. 然后这个 #include <cstdio> #inclu…

CO-PRIME 时间限制:1000 ms  |  内存限制:65535 KB 难度:3   描述 This problem is so easy! Can you solve it? You are given a sequence which contains n integers a1,a2……an, your task is to find how many pair(ai, aj)(i < j) that ai and aj is co-prime.   输入 There are mu…

题面: 传送门 有洛谷就尽量放洛谷链接呗,界面友好一点 思路: 和HDU1695比较像,但是这一回有50000组数据,直接莫比乌斯反演慢慢加的话会T 先解决一个前置问题:怎么处理a,c不是1的情况? 很简单,容斥原理搞之 我们设f(x,y)代表gcd(i,j)==e(1<=i<=x,1<=j<=y)的无序数对(i,j)的个数 那么本题答案相当于f(d,b)-f(c-1,b)-f(a-1,d)+f(a-1,c-1) 再来看反演超时的问题 我们注意到原反演过程中,f(1)==mu(i)…

这道题,先说一下单色三角形吧,推荐一篇noip的论文<国家集训队2003论文集许智磊> 链接:https://wenku.baidu.com/view/e87725c52cc58bd63186bd1b.html?from=search 单色三角形指的是n个顶点,有n(n-1)条边,很明显是每个点两两相连,那么这样所形成的所有三角形的边假如有两种颜色:红和黑.那么问一共有多少三角形的三边是一种颜色的个数. ,建议看一下那个论文,因为我只能直接给出你结论.  下面的数学符号:{...}为概率论中表…

Discipntion Let's call an array a of size n coprime iff gcd(a1, a2, ..., an) = 1, where gcd is the greatest common divisor of the arguments. You are given two numbers n and k. For each i (1 ≤ i ≤ k) you have to determine the number of coprime arrays …

点此看题面 大致题意: 求\(\sum_{x=a}^b\sum_{y=c}^d[gcd(x,y)==k]\). 关于另一道题目 在看这篇博客之前,如果你做过一道叫做[BZOJ1101][POI2007] Zap的题目,那么此题就很简单了. 如果没做过,还是推荐你先去做一下吧. 解题思路 做完了上面提到的那题,或许对这题你就有一个很显然的想法了. 即差分. 其实,上面那题就是此题\(a=c=1\)的特殊版本. 因此,如果令\(ans_{i,j}=\sum_{x=1}^i\sum_{y=1}^j[g…

[BZOJ 2301] [HAOI 2011] Problem b (莫比乌斯反演)(有证明) 题面 T组询问,每次给出a,b,c,d,k,求\(\sum _{i=a}^b\sum _{j=c}^d[gcd(i,j)=k]\) \(T,a,b,c,d,k\le 5\times 10^4\) 分析 \(O(n^2)\)暴力显然是不可行的,我们考虑优化. 首先易得\(k\times gcd(i,j)=gcd(ki,kj)\),那么我们可以把a,b,c,d都除上k,问题就变成了\(\sum _{i=a…

2154: Crash的数字表格 Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 259 MBSubmit: 2924  Solved: 1091[Submit][Status][Discuss] Description 今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple).对于两个正整数a和b,LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数.例如,LCM(6, 8) = 24.回到家后,Crash还在想着课上学的东西,为了研究…

2301: [HAOI2011]Problem b Time Limit: 50 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 4032  Solved: 1817[Submit][Status][Discuss] Description 对于给出的n个询问,每次求有多少个数对(x,y),满足a≤x≤b,c≤y≤d,且gcd(x,y) = k,gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数. Input 第一行一个整数n,接下来n行每行五个整数,分别表示a.b.c.d.k Outp…

题目大意: 一.有多少个有序数对(x,y)满足1<=x<=A,1<=y<=B,并且gcd(x,y)为p的一个约数: 二.有多少个有序数对(x,y)满足1<=x<=A,1<=y<=B,并且gcd(x,y)为p的一个倍数. 第一行两个数:p和q.(1<p<10^7 ,1<q<1000.) 接下来有q行,每行两个数A和B.(1<A,B<10^7) 我们先考虑第二个问题 ,很简单答案就是 (A/p) * (B/p) , 因为从p开…

这道题看巨巨的题解看了好久,好久.. 本文转自hdu4746(莫比乌斯反演) 题意:给出n, m, p,求有多少对a, b满足gcd(a, b)的素因子个数<=p,(其中1<=a<=n, 1<=b<=m) 分析:设A(d):gcd(a, b)=d的有多少种      设B(j): gcd(a, b)是j的倍数的有多少种,易知B(j) = (n/j)*(m/j)      则由容斥原理得:(注:不同行的μ是不相同的,μ为莫比乌斯函数)      A(1) = μ(1)*B(1)…

首先我们来看一道题  BZOJ 2301 Problem b Description 对于给出的n个询问,每次求有多少个数对(x,y),满足a≤x≤b,c≤y≤d,且gcd(x,y) = k,gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数. Input 第一行一个整数n,接下来n行每行五个整数,分别表示a.b.c.d.k Output 共n行,每行一个整数表示满足要求的数对(x,y)的个数 Sample Input 2 2 5 1 5 1 1 5 1 5 2 Sample Output 14 3 HI…

题意: 这道题和POJ 3090很相似,求|x|≤a,|y|≤b 中站在原点可见的整点的个数K,所有的整点个数为N(除去原点),求K/N 分析: 坐标轴上有四个可见的点,因为每个象限可见的点数都是一样的,所以我们只要求出第一象限可见的点数然后×4+4,即是K. 可见的点满足gcd(x, y) = 1,于是将问题转化为x∈[1, a], y∈[1, b],求gcd(x, y) = 1的个数. 类比HDU 1695可以用莫比乌斯反演来做,我还写了普通的和分块加速的两份代码,交上去发现运行时间相差并不…

题意: 有5000组询问,每组询问求有多少i,j满足i∈[1,n],j∈[1,m]且gcd(i,j)的质因子数目<=p. n,m<=500000 思路: 首先预处理出每个数的质因子数目分别等于多少,则问题转化为求给定区间内,gcd等于某一堆数的i,j有多少组 发现很像一个基础莫比乌斯反演题:hdu1695.但是此题在某组询问中可能要处理很多个gcd,所以需要进行一些预处理 我们首先筛出每个数的莫比乌斯函数和它的质因子个数 通过容斥的公式可以看出如果要求的gcd为d,那么d*i的倍数对答案的贡献…

莫比乌斯反演 ​ 对于两个定义域为非负整数的函数\(F(n)\)和\(f(n)\) ​ 若满足:\(F(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)\),则反演得到\(f(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)F(\frac n d)\): \[ \sum_{d\mid n}\mu(d)F(\frac n d)= \sum_{d\mid n}\mu(d)\sum_{d'\mid (n/d)}f(d')= \sum_{d'\mid n}f(d')\sum_{d|(n/d')}\m…

我也不知道什么是"莫比乌斯反演"和"杜教筛" Part0 最近一直在搞这些东西 做了将近超过20道题目吧 也算是有感而发 写点东西记录一下自己的感受 如果您真的想学会莫比乌斯反演和杜教筛,请拿出纸笔,每个式子都自己好好的推一遍,理解清楚每一步是怎么来的,并且自己好好思考. Part1莫比乌斯反演 莫比乌斯反演啥都没有,就只有两个式子(一般只用一个) 原来我已经写过一次了,再在这里写一次 就只写常用的那个吧 基本的公式 对于一个函数\(f(x)\) 设\(g(x)=\…

[BZOJ3930]选数(莫比乌斯反演,杜教筛) 题面 给定\(n,K,L,R\) 问从\(L-R\)中选出\(n\)个数,使得他们\(gcd=K\)的方案数 题解 这样想,既然\(gcd=K\),首先就把区间缩小一下 这样变成了\(gcd=1\) 设\(f(i)\)表示\(gcd\)恰好为\(i\)的方案数 那么,要求的是\(f(1)\) 设\(g(x)=\sum_{d|x}f(d)\) 所以\(g(x)\)表示\(x|gcd\)的方案数 这个不是很好求吗? 所以一波莫比乌斯反演 \[f(1)…

[BZOJ3529]数表(莫比乌斯反演,树状数组) 题解 首先不管\(A\)的范围的限制 要求的东西是 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sigma(gcd(i,j))\] 其中\(\sigma(x)\)表示\(x\)的约数之和 约数之和是一个积性函数,可以线性筛 具体的做法请参考皮皮亮的Blog 根据常见的套路 把\(gcd\)给提出来 \[\sum_{d=1}^n\sigma(d)\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)=d]\] 后面那个东西不…

[BZOJ4652]循环之美(莫比乌斯反演,杜教筛) 题解 到底在求什么呢... 首先不管他\(K\)进制的问题啦,真是烦死啦 所以,相当于有一个分数\(\frac{i}{j}\) 因为值要不相等 所以有\(i \perp j\),也就是\(gcd(i,j)=1\) 现在考虑\(K\)进制 先从熟悉的\(10\)进制入手 如果一个最简分数是纯循环小数 我们知道,他的分母里面不含\(2,5\) 而且,巧极了\(10=2*5\) 于是乎,\(YY\)一下 如果\(K\)进制中一个分数是纯循环小数 那…

[Luogu3768]简单的数学题(莫比乌斯反演,杜教筛) 题面 洛谷 \[求\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nijgcd(i,j)\] $ n<=10^9$ 题解 很明显的把\(gcd\)提出来 \[\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij[gcd(i,j)==d]\] 习惯性的提出来 \[\sum_{d=1}^nd^3\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{n/d}ij[gcd(i,j)==1]\] 后面这玩意很明显的来一发…

[BZOJ2820]YY的GCD(莫比乌斯反演) 题面 讨厌权限题!!!提供洛谷题面 题解 单次询问\(O(n)\)是做过的一模一样的题目 但是现在很显然不行了, 于是继续推 \[ans=\sum_{d=1}^n[d\_is\_prime]\sum_{i=1}^{n/d}[\frac{n}{id}][\frac{m}{id}]\] 老套路了 令\(T=id\) \[ans=\sum_{T=1}^{n}[\frac{n}{T}][\frac{m}{T}]\sum_{d|T}[d\_is\_prim…

[BZOJ4816]数字表格(莫比乌斯反演) 题面 BZOJ 求 \[\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^mf[gcd(i,j)]\] 题解 忽然不知道这个要怎么表示... 就写成这样吧.. \[\prod_{d=1}^n\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^mif(gcd(i,j)==d)f[gcd(i,j)]\] 直接把\(f[d]\)提出来 \[\prod_{d=1}^{n}f[d]^{\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}[gcd(i,…

[BZOJ2818]Gcd(莫比乌斯反演) 题面 Description 给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的 数对(x,y)有多少对. Input 一个整数N Output 如题 Sample Input 4 Sample Output 4 HINT 对于样例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2) 1<=N<=10^7 题解 题目要求的: \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[gcd(i,j)\_is\_prime]\] 把因数提出来…