传送门 三视图 该几何体如图所示,是一个边长为$2\sqrt{3}$的正四面体,高是$h=2\sqrt{2}$,内切球半径是$r=\frac{h}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,则体积$V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{\sqrt{2}}{3}*\pi$ 至于为什么$r=\frac{h}{4}$你可以连接内切球球心到各个点,把这个正四面体切成4个三棱锥,根据体积列式:$\frac{1}{3}h*S=4*\frac{1}{3}r*S$(S表示一个面的面积) 定位…

学弟说我好久没更blog了. 因为自己最近其实没干什么. 所以来搬运一下GMA Round 1 的比赛内容吧,blog访问量.网站流量一举两得. 链接:https://enceladus.cf/contest.html?id=1 题目&&解题报告都搬运到blog里了.…

传送门 数列与方程 首项为1,各项均大于0的数列{$a_n$}的前n项和$S_n$满足对于任意正整数n:$S_{n+1}^2-2*S_{n+1}*S_{n}-\sqrt{2}*S_n-1=0$,求$a_{30}$的值,保留3位小数. 由$S_{n+1}^2-2S_{n+1}S_{n}-\sqrt{2}S_n-1=0$,$S_{n+1}=a_{n+1}+S_n$可得$a_{n+1}^2=S_n^2+\sqrt{2}S_n+1=S_n^2+1-2*S_n*cos\frac{3\pi}{4}$. 因此…

传送门 离心率 P是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上一点,F1.F2为椭圆左右焦点.△PF1F2内心为M,直线PM与x轴相交于点N,NF1:NF2=4:3.以F1为圆心,以OF1为半径作的圆与以P为圆心,以PF2为半径作的圆正好外切.请求出这个椭圆的离心率,结果保留6位小数. 这两个圆的条件是在告诉你$|PF_1|-|PF_2|=c$,再结合$|PF_1|+|PF_2|=2a$可以得到$|PF_1|=a+\frac{c}{2}$,$|PF_2|=a-\…

传送门 波动函数 f(x)是一个定义在R上的偶函数,f(x)=f(2-x),当$x\in[-1,1]$时,f(x)=cos(x),则函数$g(x)=f(x)-|cos(\pi x)|$,求g(x)在[0.5,4]上所有零点的横坐标之和. 这题应该一张图就可以解决了. 定位:简单题…

传送门 新年的复数 已知$\left\{\begin{matrix}A>B>0\\ AB=1\\ (A+B)(A-B)=2\sqrt{3}\end{matrix}\right.$ 求$(A+Bi)^{2018}$ $(A+Bi)^{2018}$ $=[(A+Bi)^2]^{1009}$ $=(A^2-B^2+2ABi)^{1009}$ $=(2\sqrt{3}+2i)^{1009}$ $=4^{1009}*(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)^{1009}$ $=…

传送门 空降 在一块100m*100m的平地上,10位战士从天而降!他们每人会均匀随机地落在这个地图上的一个点. 紧随其后,BOSS随机出现在这个地图上的某一点,然后它会奔向位于左上角的出口,而战士们的任务是将BOSS拦截.要是一名战士到出口的距离比BOSS到出口距离近,他就可以将BOSS顺利拦截.问BOSS被拦截的概率.保留到小数点后6位. 假设我们先随机选出11个点来,这11个点存在某两个点与出口距离相等的可能是可以忽略不计的,那么11个点中总有一个点离出口最近,那么只要BOSS是剩下10个…

传送门 新程序 程序框图如图所示,当输入的n=时,输出结果的ans是多少? 容易看出该程序求n以内质数个数,50以内有15个. 定位:简单题…

传送门 三角形 在△ABC中已知$sin2A+sin2B+sin2C=\frac{3\sqrt{3}}{2}$,求$cos\frac{A}{2}*cos\frac{B}{2}*cos\frac{C}{2}$的最小值.保留3位小数. $$sin2A+sin2B+sin2C=2sin(A+B)cos(A-B)+2sinCcosC=4*sinA*sinB*sinC$$ $$4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}$$ $$=2cos\frac{A}{2}(…

传送门 最短距离 在椭圆C:$\frac{x^2}{20^2}+\frac{y^2}{18^2}=1$上作两条相互垂直的切线,切线交点为P,求P到椭圆C的最短距离.结果保留6位小数. 设椭圆方程:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$,结论是两垂直切线交点P的轨迹为$x^2+y^2=a^2+b^2$.当切线斜率不存在或为0时易验证.否则设P坐标为$(x_0,y_0)$,两条直线 $l_1:y=k(x-x_0)+y_0$,$l_2:y=-\frac{1}{k}(x-…

传送门 大吉大利,晚上吃鸡 新年走亲访友能干点啥呢,咱开黑吃鸡吧. 这里有32个人,每个人都可能想玩或者不想玩,这样子一共有$2^{32}$种可能.而要开黑当然得4人4人组一队(四人模式),所以说如果想玩的人数不是4的倍数,大家就会不高兴.那么,这$2^{32}$种可能中有多少种是大家都高兴的呢?(即使没人想吃鸡也是一个大家都高兴的可能) 由于数字较小,可以借助计算器直接算出来. 考虑式子$(1+a)^{32}$,当a=-1时和a=1时进行二项式展开,并将2式相加可得 $$\sum_{i=0}^…

传送门 YGGDRASIL 在YGGDRASIL世界,一年有213天. Demiurge推广种植了一种植物,姑且称之为“黄金果”,它第一期生长需要140天,此后第i期生长需要的天数$a_i$满足$a_{i+1}=a_i^2+2*a_i$. 现在,新年的伊始(第一天),黄金果开始了它的第88期生长,Ainz现在要问,等到它可以收获那天(生长结束),是一年的第几天? 容易得到$a_{n+1}+1=(a_n+1)^2$,于是$a_n=141^{2^{n-1}}-1$稍微算一下就会发现141的偶数次幂都…

传送门 年货 三角形的年货有没有见过啊?(如下图所示,图中共有12层小三角形,共计144个) 啊,不,这不是真正的年货,真正的年货是正六边形的!(这是什么设定?) 总之,麻烦你在图中找出顶点在三角形格点上的正六边形数量吧.图中已经帮你画出来两个了. 其实一个个数未尝不是个好办法,总共也就100多个,分好类别数错就行.n特意改小降低难度. 注意到一个六边形我们只要找到它出现最少需要多少层三角形就能确定它在整个三角形中的出现次数.我们换个角度思考,最小出现层数为a的三角形一共有多少个呢?下图给出了a…

传送门 新年祝福 15个人聚集在一起,新年到来,他们每个人写下了一句新年祝福.大家把祝福收集起来,然后重新分回去.如果一个人拿到了自己写的祝福,他就会觉得很没有意思,因为得不到别人的祝福.要避免这种尴尬,一共会有多少种分配方案? 一句话题意:求满足下列条件的n的排列个数:对于任意i(1≤i≤n),排列的第i个数不是i.本题中n=15. 例如n=3时,满足条件的排列有2个:312和231 设答案数列为$a_n$,容易知道$a_0=1$,$a_1=0$,下面我们证明$a_n=(n-1)(a_{n-1…

传送门 逃亡 你在森林中,遇到了一只老虎.此时此刻,老虎在(0,0)的位置,你在(2,1)的位置. 你开始沿着一条林间小路逃亡,移动向量是$(\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{6}}{2})$,也就是说,一单位的时间里,你能跑过$\sqrt{3}$个单位长度. 老虎的追赶则是每时每刻朝着你奔跑(速度方向永远指向你),它的奔跑速度是$\sqrt{5}$.你当然逃不过这只老虎,但是老虎要多长时间才能追上你呢?这关系到救援你的人能否及时赶到.结果保留6位小数. 如图所示,我…

传送门 极坐标的愤怒 我也想被积分啊!可是为什么你们从来不知道我的心意!——极坐标 愤怒会夺走理智,哪怕是被迫的也好,请为极坐标方程$r=t$(也写作$ρ=θ$)积分吧. 为了考验你的忠诚,你需要回答$r=t(t\in[0,\frac{π}{2}]$)与坐标轴截出的面积,结果保留九位小数. Tip: 提示中已经告知积分方向: $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}r*rdt$ $=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}t^2dt$…

传送门 极坐标的忧伤 为什么你们不喜欢为我求导……——极坐标 极坐标的心意,想必已经传达到了,那么请为极坐标方程$r=t$(也写作$ρ=θ$)求导吧. 为了考验你的忠诚,你需要回答$r=t$在(0,$\frac{π}{2}$)处切线的斜率,结果保留六位小数. Tip:y=f(x)的导函数除了f'(x)外还可以表示成$\frac{dy}{dx}$,其中d表示微分.对于一个参数方程$\begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\end{cases}$(t为参数),求它的导函数往往就需要这种…

传送门 奇怪的数列 已知数列{$a_n$},$a_1=1$,$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$,现在需要你估计$a_{233333}$的值,求出它的整数部分即可. 将原等式两边平方得$a_{n+1}^2=a_n^2+2+\frac{1}{a_n^2}$,$\frac{1}{a_n^2}$可舍去,于是$a_n\approx\sqrt{2*n-1}$ 定位:简单题.思维题…

传送门 数列求和(Hard) 在数列{$a_n$}中,$a_1=-\frac{1}{4}$,$\frac{1}{a_{n+1}}+\frac{1}{a_n}=\begin{cases}-3(n为偶数)\\3(n为奇数) \end{cases}$ 当n趋近于正无穷时,求{$a_n$}的前n项和. 由泰勒公式得 $$\frac{1}{1+x^3}=1-x^3+x^6-x^9+……+(-1)^nx^{3n}+……(x\in(-1,1))$$ 对两端从0到t进行积分得 $$\int_{0}^{t}\fr…

传送门 数列求单项 在数列{$a_n$}中,$a_1=-\frac{1}{4}$,$\frac{1}{a_{n+1}}+\frac{1}{a_n}=\begin{cases}-3(n为偶数)\\3(n为奇数) \end{cases}$ 求$a_{233}$的值,保留6位小数. 设$b_n=\frac{1}{a_n}$,易得$b_n=(-1)^n(3n+1)$,因此$a_n=\frac{1}{(-1)^n(3n+1)}$. 定位:简单题…

传送门 双曲线与面积 P是双曲线$\frac{x^2}{1471^2}-\frac{y^2}{1372^2}=1$上的一个动点,现在过P作一条直线与该双曲线的两条渐近线相交于A.B两点,且|AP|=|BP|,求△AOB的面积. 如图,本题中a=1471,b=1372,设A坐标为$(x_1,\frac{b}{a}x_1)$,B坐标为$(x_2,-\frac{b}{a}x_2)$,易得$\frac{(x_1+x_2)^2}{4a^2}-\frac{(x_1-x_2)^2}{4a^2}=1$,化简得$…

传送门 函数求值 设函数$f(x)=x^{2018}+a_{2017}*x^{2017}+a_{2016}*x^{2016}+...+a_{2}*x^2+a_{1}*x+a_{0}$,其中$a_{0},a_{1},a_{2},....,a_{2016},a_{2017}$是实常数. 已知$f(1)=212,f(2)=424,……,f(k)=k*212,……,f(2017)=2017*212$.求$f(2018)+f(0)-A_{2018}^{2018}$ 设g(x)=f(x)-212x,1~20…

传送门 最大值 求$f(x)=cos(x)+\sqrt{cos^2(x)-4\sqrt{3}cos(x)+4\sqrt{2}sin(x)+10}$的最大值.保留到小数点后3位. $f(x)+\sqrt{3}$ $=\sqrt{cos^2x+2\sqrt{3}x+3}+\sqrt{cos^2x-4\sqrt{3}cos+4\sqrt{2}sinx+10}$ $=\sqrt{3cos^2x+2\sqrt{3}x+2sin^2x+1}+\sqrt{3cos^2x-4\sqrt{3}cosx+4sqrt…

传送门 相交 在实数范围内,设抛物线$C_1:y^2=2x$,双曲线:$C_2:\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$(a,b为参数). 假如a和b都在(0,16)这个区间内均匀随机,求抛物线与双曲线相交的概率.保留到小数点后3位. 根据题意可以很容易得到$a≥b^2$,然后积分求面积即可. 定位:简单题…

传送门 抛硬币 扔一个硬币,正面概率为0.6.扔这枚硬币666次,正面就得3分,反面就得1分,求总分的方差. 直接套公式$np(1-p)*(X-Y)^2=666*0.6*(1-0.6)*(3-1)^2$ 稍微证明一下这个式子,题目等价于正面2分,反面不得分,这里我们先假设正面得1分. 首先我们来证明期望得分E(x)=np: $\sum_{i=0}^{n}*P(i)*i$ $=\sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}*i*p^i*(1-p)^{n-i}$ $=\sum_{i=1}^{n}n*…

传送门 简单的线性规划 已知D(x,y)满足$\left\{\begin{matrix}x>-3\\ y>1\\ x+y<12\end{matrix}\right.$ 求$\frac{99}{\frac{1}{x+3}+\frac{1}{y-1}+\frac{1}{12-x-y}}$最大值 根据不等式$\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\leq \sqrt[3]{abc}\leq \frac{a+b+c}{3}(a>0,b&g…

传送门 二项式展开 求$(2x-y+\frac{3}{x}+4z)^{12}$展开式中不含x的任意非0次幂的项的系数和. 用排列组合的思想,相当于在12个括号里选项出来.先把$2x$和$\frac{3}{x}$的项选出来,确保选这两种项的个数相等,假设$2x$和$\frac{3}{x}$各选i个(0<=i<=6),方案数为$C_{12}^{i}C_{12-i}^{i}$,系数为$6^i$.剩下的项自由分配给-y和4z,令y=z=1,则可得系数和为$(4-1)^{12-2i}$.主要难点可能是计…

传送门 向量计算 已知$\left |\overrightarrow{AB} \right |^2+\left |\overrightarrow{CD} \right |^2+\left |\overrightarrow{EF} \right |^2+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{EF}+\overrightarrow{EF}\cdot \overrigh…

在查询分析器中执行:select rand(),可以看到结果会是类似于这样的随机小数:0.36361513486289558,像这样的小数在实际应用中用得不多,一般要取随机数都会取随机整数.那就看下面的两种随机取整数的方法:1.A:select floor(rand()*N) ---生成的数是这样的:12.0 B:select cast( floor(rand()*N) as int) ---生成的数是这样的:12 2.A:select ceiling(rand() * N) ---生成的数是这…

项目中的一个功能模块上用到了标量值函数,函数中又有ceiling()函数的用法,自己找了一些资料,对SQL中这几个函数做一个简单的记录,方便自己学习.有不足之处欢迎拍砖补充 1.round()函数遵循四舍五入原则,用于把数值字段舍入为指定的小数位数 2.floor(value)函数返回小于或等于指定值(value)的最小整数 3.ceiling(value)函数返回大于或等于指定值(value)的最小整数 例如:对于12.9,floor(12.9)返回12:ceiling(12.9)返回13:r…