ll random(ll n) { return (ll)((double)rand()/RAND_MAX*n + 0.5); } ll pow_mod(ll a,ll p,ll n) { ) ; ll ans = pow_mod(a,p/,n); ans = ans*ans%n; ) ans = ans*a%n; return ans; } bool Witness(ll a,ll n) { ll m = n-; ; )) { j++; m >>= ; } ll x = pow_mod(a,…

Given a positive integer, your job is writing a program to determine whether it is a prime number or not. Input There are several tests. Each test consists of a positive integer n(no more than 2^31) on a single line. Input is terminated by end of fil…

1. 为什么需要素性测试? 我们其实已经知道有一些判断素数的方法,比如: 遍历测试:待测试数n与2,3,...√n做除法判断余数是否为零,如果没有任何一个数可以整除n,则说明n为素数 Wilson定理:对于给定的正整数n,n是素数的充要条件为,则可以通过判断这个方程是否成立来判断n是否为素数 上面的方法都可以确定的判断出一个数是否为素数,但问题在于对于大整数,这两个算法都需要很大计算量和时间,能不能有一个更快速的判定算法呢? 答案是当前还没有一个更高效且能准确判定素数的方法.但借助随机算法和数论…

前置 费马小定理(即若P为质数,则\(A^P\equiv A \pmod{P}\)). 欧几里得算法(GCD). 快速幂,龟速乘. 素性测试 引入 素性测试是OI中一个十分重要的事,在数学毒瘤题中有着举足轻重的地位. 常见的素性测试如下: int check(int N){ for(int i=2;i*i<=N;i++) if(N%i==0)return 0; return 1; } 以上是一个\(O(\sqrt{N})\)的算法,虽然不优,但在绝大多数情况下是可以的. 但是,假如\(N\)的范…

之前一直对于这个神奇的素性判定方法感到痴迷而又没有时间去了解.借着学习<信息安全数学基础>将素性这一判定方法学习一遍. 首先证明一下费马小定理. 若p为素数,且gcd(a, p)=1, 则有 a^(p-1) = 1 (mod p) 基于以下定理 若(a, p)=1,{x| (x, p)=1}为模p下的一个完全剩余系,则{ax| (x, p)=1}也为模p下的一个完全剩余系. 又{0, 1, 2, ... p-1}为模p下一个剩余系   因此有, {a*0, a*1, a*2, ... a*(p…

额,我们今天来讲一讲Miller-Rabin素性测试算法. 读者:怎么又是随机算法!!!(⊙o⊙)… [好了,言归正传] [费马小定理] 费马小定理只是个必要条件,符合费马小定理而非素数的数叫做Carmichael Carmichael数是非常少的. 在1~100000000范围内的整数中,只有255个Carmichael数. 为此又有二次探测定理,以确保该数为素数. 这就构成了Miller-Rabin的基本原理 ╰(￣▽￣)╭ [二次探测定理] 二次探测定理 如果p是一个素数,0<x<p,则…

摘自:http://blog.csdn.net/pi9nc/article/details/27209455 看了好久没看懂,最后在这篇博客中看明白了. 费马定理的应用,加上二次探测定理. Fermat素数测试 1819年有人发现了Fermat小定理逆命题的第一个反例:虽然2的340次方除以341余1,但341=11*31.后来,人们又发现了561, 645, 1105等数都表明a=2时Fermat小定理的逆命题不成立.人们把所有能整除2^(n-1)-1的合数n叫做伪素数(pseudoprime…

目录 @1 - 素性测试:Miller-Rabin算法@ @1.1 - 算法来源@ @1.2 - 算法描述@ @1.3 - 算法实现@ @2 - 因数分解:Pollard-Rho算法@ @2.0 - 参考资料@ @2.1 - 算法来源@ @2.2 - 算法描述@ @2.3 - 算法实现@ @1 - 素性测试:Miller-Rabin算法@ @1.1 - 算法来源@ 假如我们需要检测一个数 x 是否为素数,我们应该怎么做? 最显然的就是从 2~n-1 尝试去找到 x 的另一个因数. 当然可以稍微优…

Tomcat 7在我们日常开发.测试.生产环境都会使用到,但对于大部分开发人员来说,对其性能还是没有多大了解.本文就对它做一次性能测试,对比优化前后的性能区别. 一.运行环境 CPU: Intel(R) Pentium(R) P6200@2.13GHz  : 内存:4G,装的是32位win7,只认出3G,没有花时间去整ramdisk之类的东西: 操作系统:win7 32位: JDK:1.7.0_55 Tomcat:7.0.53 大家不要笑,公司电脑,就给配这样的,慢的要死,悲剧! 下面所有测试都…

题意: 给你一个数n(n <= 2^54),判断n是不是素数,如果是输出Prime,否则输出n最小的素因子 解题思路: 自然数素性测试可以看看Matrix67的  素数与素性测试 素因子分解利用的是Pollard rho因数分解,可以参考 Pollard rho因数分解 存个代码~ /* ********************************************** Author : JayYe Created Time: 2013-9-25 16:02:25 File Name…