中国剩余定理,又叫孙子定理. 作为一个梗广为流传.其实它的学名叫中国单身狗定理. 中国剩余定理 中国剩余定理是来干什么用的呢? 其实就是用来解同余方程组的.那么什么又是同余方程组呢. 顾名思义就是n个同余方程. 形如 如果只有一个方程的话那么是很容易用exgcd来解决. 但如果变成n个就需要用到CRT了. 下面我们言归正传. 首先我们要知道只有满足m1,m2,mn两两互质才能运用CRT. 首先,我们令M=Πni=1. 令Mi=M/mi,这样我们就可以满足Mi%mk=0(k!=i). 然后我们在构…

今天在$xsy$上翻题翻到了一道扩展CRT的题,就顺便重温了下(扩展CRT模板也在里面) 中国剩余定理是用于求一个最小的$x$,满足$x\equiv c_i \pmod{m_i}$. 正常的$CRT$有一个微小的要求,就是$\forall i,j (m_i,m_j)=1$. 在某些情况下,这个式子无法被满足,这个时候就要用扩展$CRT$来求解了. 我们先假设我们只有两条方程要被求解,它们分别是: $\begin{cases} x\equiv c_1 \pmod{m_1}\\x\equiv c_2…

一.求解模线性方程 由ax=b(mod n) 可知ax = ny + b 就相当于ax + ny = b 由扩展欧几里得算法可知有解条件为gcd(a, n)整除d 可以直接套用扩展欧几里得算法 最终由d个不同解时在模n下有d个不同的数字 二.中国剩余定理 证明可看:https://www.cnblogs.com/MashiroSky/p/5918158.html ll extgcd(ll a, ll b, ll& x, ll& y) //求解ax+by=gcd(a, b) //返回值为gc…

前置知识 1. a%b=d,c%b=e, 则(a+c)%b=(d+e)%b(正确性在此不加证明) 2. a%b=1,则(d\(\times\)a)%b=d%b(正确性在此不加证明) 下面先看一道题(改编自曹冲养猪): 烤绿鸟的故事 题目描述: mian包是一个贪吃的孩子,这天,他买了一堆绿鸟吃.当然他的妈妈并不想让他吃太多食物(因为那样会发胖),为了避免老妈的唠叨,他决定不告诉他的妈妈绿鸟数量,而是将绿鸟的数量x用以下式子来描述 \[\begin{cases}x≡b_1 (mod a_1)\\x…

You are given two arithmetic progressions: a1k + b1 and a2l + b2. Find the number of integers x such that L ≤ x ≤ R and x = a1k' + b1 = a2l' + b2, for some integers k', l' ≥ 0. Input The only line contains six integers a1, b1, a2, b2, L, R (0 < a1, a…

问题背景   孙子定理是中国古代求解一次同余式方程组的方法.是数论中一个重要定理.又称中国余数定理.一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作<孙子算经>卷下第二十六题,叫做"物不知数"问题,原文如下:   有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何?即,一个整数除以三余二,除以五余三,除以七余二,求这个整数.<孙子算经>中首次提到了同余方程组问题,以及以上具体问题的解法,因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称…

1.欧几里得算法(辗转相除法) 直接上gcd和lcm代码. int gcd(int x,int y){ ?x:gcd(y,x%y); } int lcm(int x,int y){ return x*y/gcd(x,y); } 2.扩欧:exgcd:对于a,b,一定存在整数对(x,y)使ax+by=gcd(a,b)=d ,且a,b互质时,d=1. x,y可递归地求得. 我懒得改返回值类型了 long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,…

中国剩余定理 CRT 推导 给定\(n\)个同余方程 \[ \left\{ \begin{aligned} x &\equiv a_1 \pmod{m_1} \\ x &\equiv a_2 \pmod{m_2} \\ &... \\ x &\equiv a_n \pmod{m_n} \end{aligned} \right. \] \(m_1, m_2 , ... , m_n\)两两互质 令\(M = \prod_{i=1}^{n} m_i\),求\(x \mod M\)…

清除一个误区 虽然中国剩余定理和拓展中国剩余定理只差两个字,但他俩的解法相差十万八千里,所以会不会CRT无所谓 用途 求类似$$\begin{cases}x \equiv b_{1}\pmod{a_{1}} \\x \equiv b_{2}\pmod{a_{2}} \\...\\x \equiv b_{n}\pmod{a_{n}} \\ \end{cases}$$的线性同余方程组的解 具体过程 假设现在我们只有两个同余方程$$x \equiv b_{1}\pmod{a_{1}}$$ $$x \e…

POJ.1006 Biorhythms (拓展欧几里得+中国剩余定理) 题意分析 不妨设日期为x,根据题意可以列出日期上的方程: 化简可得: 根据中国剩余定理求解即可. 代码总览 #include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> #include <cmath> using namespace std; typedef int ll; ll p,e,i,d; void exgcd(ll a,…