正题 题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3307 题目大意 \(n\)个珠子的一个环形项链,每个珠子有三个\(1\sim k\)的整数. 两个珠子不同当且仅当它们不能通过翻转或者旋转得到 两个项链不同当且仅当它们不能通过旋转得到 珠子要求上面的数字互质 项链要求相邻珠子不同 求方案数. 解题思路 珠子的计数和项链计数是没什么关系的,所以两个分开求. 先考虑求珠子有多少种.相当与求有多少种三元组,因为三个数字的排列通过以上操作可以得到任何其他排列. 首先…

传送门 思路 很明显的一个思路:先搞出有多少种珠子,再求有多少种项链. 珠子 考虑这个式子: \[ S3=\sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^a\sum_{k=1}^a [\gcd(i,j,k)==1] \] 显然可以莫比乌斯反演一波,但这个是对的吗? 当有两个数字相同时只被算了3遍,而三个都相同的只被算了一遍. \[ S2=\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^a [\gcd(i,j)==1] \] 显然有\(S1=1\),那么就会得到最终答案: \[ ans=\frac…

题面传送门 看到题目我们显然可以将题目拆分成两部分:首先求出有多少个符合要求的珠子 \(c\),这样我们就可以将每种珠子看成一种颜色,题目也就等价于有多少种用 \(c\) 种颜色染长度为 \(n\) 的环的方法,满足相邻格子颜色不同,可以通过旋转重合的染色方案算同一种,这就是题目的第二部分.显然两部分是独立的,因此可以分开来计算. 首先考虑怎样求出 \(c\) 的值,注意到这里涉及 \(\gcd\),故可以套路地想到莫比乌斯反演,记 \(f(i)\) 为珠子上三个数 \(\gcd\) 恰好为 \…

[BZOJ3202]项链(莫比乌斯反演,Burnside引理) 题面 BZOJ 洛谷 题解 首先读完题目,很明显的感觉就是,分成了两个部分计算. 首先计算本质不同的珠子个数,再计算本质不同的项链个数. 前面一个部分和\(gcd\)相关,一种莫比乌斯反演的感觉. 后面一个部分出现了旋转操作,要求本质不同的方案数,不难想到Burnside引理. 首先先考虑怎么求本质不同的珠子个数. 我们直接考虑无序的三元组\((x,y,z)\),满足\(x,y,z\le a,gcd(x,y,z)=1\) 容斥考虑最…

题目传送门:洛谷P3307.这题在bzoj上是权限题. 题意简述: 这题分为两个部分: ① 有一些珠子,每个珠子可以看成一个无序三元组.三元组要满足三个数都在$1$到$m$之间,并且三个数互质,两个珠子不同当且仅当这个三元组不同.计算有多少种不同的珠子. ② 把这些珠子串成一个环,要满足相邻的珠子不同.两个环不同当且仅当旋转任意角度后仍然不同.计算有多少种不同的环. 题解: 分成两部分做. 第一部分: 考虑计算三元组的个数,转无序为有序,再去重. 答案=(三个都不同的有序三元组方案)/6+(两个…

思路:首先考虑如何求珠子个数,一个珠子由a,b,c三个数组成且属于区间[1,a],并满足gcd(a,b,c)=1.由于要求本质相同,对于a,b,c这样的一个无序的数列且满足gcd(a,b,c)=1,设其总方案数为t1,那么显然本质相同的重复了6次,即(a,b,c),(a,c,b),(b,a,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a),所以要将t1/=6,但如果存在两个数相同,这样的其实只出现了三次,因此还要加上3*这样的情况(设其为t2)的方案数,同时可能有三个相同,这样的情况只可能是…

description luogu 最近,铭铭迷恋上了一种项链.与其他珍珠项链基本上相同,不过这种项链的珠子却与众不同,是正三菱柱的泰山石雕刻而成的. 三菱柱的侧面是正方形构成的,上面刻有数字. 能够让铭铭满意的项链必须满足下面的条件: 这串项链由\(n\)颗珠子构成的. 每一个珠子上面的数字\(x\),必须满足\(0<x\le a\),且珠子上面的数字的最大公约数要恰 好为\(1\).两个珠子被认为是相同的,当且仅当他们经过旋转,或者翻转后能够变成一样的. 相邻的两个珠子必须不同. 两串项链如…

Color Description Beads of N colors are connected together into a circular necklace of N beads (N<=1000000000). Your job is to calculate how many different kinds of the necklace can be produced. You should know that the necklace might not use up all…

//待更qwq 反演原理 二项式反演 若 \[g_i=\sum_{j=1}^i {\binom ij} f_j\] , 则有 \[ f_i=\sum_{j=1}^i (-1)^{i-j} {i \choose j} g_j \] 同时, 若 \[g_i=\sum_{j=1}^i (-1)^j {i \choose j} f_j\] , 则有 \[f_i=\sum_{j=1}^i (-1)^j {i \choose j} g_j\] 通过反演原理和组合数的性质不难证明. 0/1? todo Sti…

原文链接www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Burnside-Polya.html 问题模型 有一个长度为 $n$ 的序列,序列中的每一个元素有 $m$ 种取值. 如果两个序列循环同构,那么我们称这两个序列等价. 求两两不等价的序列个数. Burnside引理 假设有若干个置换 $P_1,P_2,\cdots$ ,设由这些置换生成的置换群为 $Q$ .如果序列 A 可以通过一个 $Q$ 中的置换变成序列 B,那么我们认为 A 和 B 等价. 对于一个置换 $P$ ,如果…

[POJ2888]Magic Bracelet 题意:一个长度为n的项链,有m种颜色的珠子,有k个限制(a,b)表示颜色为a的珠子和颜色为b的珠子不能相邻,求用m种珠子能串成的项链有多少种.如果一个项链在旋转后与另一个项链相同,则认为这两串珠子是相同的. $n\le 10^9,m\le 10,k\le \frac{m(m-1)} 2 $ 题解:好题. 依旧回顾从Burnside引理到Pólya定理的推导过程.一个置换中的不动点要满足它的所有循环中的点颜色都相同,那么在旋转i次的置换中,循环有gc…

Description 有一个长度为 \(n\) 的项链,首尾相接形成环,现在你要给每一个位置一个颜色 \([1,m]\), 求所有不同的项链个数(可以通过旋转变成一样的称为相同) Solution 根据 \(burnside\) 引理,答案为 \(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{|G|}c1_i\) 也就是枚举所有的置换,求不动点个数之和 置换一共有 \(n\) 种,分别为 \(1,2...n\) 枚举旋转的长度 \(i\) ,那么循环节的大小为 \(\frac{n}{gcd(i…

题目来源:UVa 10294 Arif in Dhaka (First Love Part 2) 题意:n颗珠子t种颜色 求有多少种项链和手镯 项链不可以翻转 手镯可以翻转 [分析] 要开始学置换了. 置换是什么呢?  置换的广义概念在不同语境下有不同的形式定义: 在集合论中,一个集合的置换是从该集合映至自身的双射:在有限集的情况,便与上述定义一致. 在组合数学中,置换一词的传统意义是一个有序序列,其中元素不重复,但可能有阙漏.例如1,2,4,3可以称为1,2,3,4,5,6的一个置换,但是其中…

也许更好的阅读体验 \(Burnside引理\) 公式 \(\begin{aligned}L=\frac{1}{|G|}\sum_{i=1}^{|G|}D_{G_i}\end{aligned}\) 一些定义 \(E_i\) 表示与\(i\)同类的方案 \(Z_i\) 表示使\(i\)不变的置换 \(G\) 表示所有的置换方法 \(D_i\) 表示第\(i\)种置换能使多少方案不变 \(n\) 表示方案总数 \(L\) 表示本质不同的方案数 引理的引理 \(|E_i|*|Z_i|=|G|\) \(…

Burnside引理经典好题呀! 题解参考 https://blog.csdn.net/maxwei_wzj/article/details/73024349#commentBox 这位大佬的. 这题时间卡得很紧,注意矩阵乘法不能太多次取模,不然会TLE.   因为这题的模数是9973,加完之后再取模也不会炸. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstring> usin…

Burnside's lemma 引例 题目描述 一个由2*2方格组成的正方形,每个格子上可以涂色或不涂色, 问共有多少种本质不同的涂色方案. (若两种方案可通过旋转互相得到,称作本质相同的方案) 解法 每个格子可以涂色,可以不涂色,共有16种方案.将16种方案编号. 把本质相同的方案合并: 方案1:{1},方案2:{2}, 方案3:{3,4,5,6},方案4:{7,8,9,10}, 方案5:{11,12},方案6:{13,14,15,16}, 共6种方案. 旋转可以看作是置换,所有置换组成置换…

Visible Trees 传送门 解题思路: 实际上的答案就是1~n与1~m之间互质的数的对数,写出式子就是 \(ans=\sum^{n}_{i=1}\sum^{m}_{j=1}[gcd(i,j)=1]\) 由莫比乌斯反演引理 \(\sum_{d|n}\mu(d)=\epsilon(n)=[n=1]\)将\(\epsilon(n)\)替换为\([gcd(i,j)=1]\)有 \(\sum_{d|gcd(i,j)}\mu(d)=[gcd(i,j)=1]\) \(ans=\sum^{n}_{i=1…

前言 咕咕了好久终于来学习莫反了 要不是不让在机房谁会发现数学一本通上有这么神奇的东西 就是没有性质的证明 然后花了两节数学课证明了一遍 舒服- 前置知识:欧拉函数,二项式定理(组合数) 会欧拉函数的可以直接看\(Mobius\)了 欧拉函数 含义 \(\phi (n)\) 表示比\(n\)小的数中与\(n\)互质的数的个数 引理1 \(n\)为质数,\(\phi(n) = n - 1\) \(n=a*b\) 且 \((a, b) = 1\),则\(\phi(n) = \phi(a) * \ph…

题意:求(1,b)区间和(1,d)区间里面gcd(x, y) = k的数的对数(1<=x<=b , 1<= y <= d). 知识点: 莫比乌斯反演/*12*/ 线性筛求莫比乌斯反演函数: void Init() { memset(vis,0,sizeof(vis)); mu[1] = 1; cnt = 0; for(int i=2; i<N; i++) { if(!vis[i]) { prime[cnt++] = i; mu[i] = -1; } for(int j=0;…

2154: Crash的数字表格 Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 259 MBSubmit: 2924  Solved: 1091[Submit][Status][Discuss] Description 今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple).对于两个正整数a和b,LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数.例如,LCM(6, 8) = 24.回到家后,Crash还在想着课上学的东西,为了研究…

2301: [HAOI2011]Problem b Time Limit: 50 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 4032  Solved: 1817[Submit][Status][Discuss] Description 对于给出的n个询问,每次求有多少个数对(x,y),满足a≤x≤b,c≤y≤d,且gcd(x,y) = k,gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数. Input 第一行一个整数n,接下来n行每行五个整数,分别表示a.b.c.d.k Outp…

题意:求sigma{lcm(i,j)},1<=i<=n,1<=j<=m 不妨令n<=m 首先把lcm(i,j)转成i*j/gcd(i,j) 正解不会...总之最后化出来的莫比乌斯反演式子并没有除法- 本脑子有坑选手的做法:20101009是一个质数,而且n和m的范围小于20101009,这一定有其原因.经过仔细思考,我们发现这保证了每个1~n的数都有mod20101009意义下的乘法逆元.用inv[x]表示x的逆元,我们发现原先的式子等于sigma{inv[gcd(i,j)]…

模板: int p[MAXN],pcnt=0,mu[MAXN]; bool notp[MAXN]; void shai(int n){ mu[1]=1; for(int i=2;i<=n;++i){ if (notp[i]==0){ p[++pcnt]=i; mu[i]=-1; } for (int j=1,t=p[j]*i;j<=pcnt&&t<=n;++j,t=p[j]*i){ notp[t]=1; if (i%p[j]==0){ mu[i]=0; break; }e…

2440: [中山市选2011]完全平方数 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 2371  Solved: 1143[Submit][Status][Discuss] Description 小 X 自幼就很喜欢数.但奇怪的是,他十分讨厌完全平方数.他觉得这些数看起来很令人难受.由此,他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数.然而这丝毫不影响他对其他数的热爱. 这天是小X的生日,小 W 想送一个数给他作为生日礼物.当然他不能送一个小X讨厌…

题意:http://hzwer.com/4205.html 同hdu1695 #include <iostream> #include <cstring> #include <cmath> #include <cstdio> using namespace std; #define LL long long #define MMX 50010 int mu[MMX],msum[MMX]; LL n; bool check[MMX]; int prime[MM…

Code Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others) Total Submission(s): 300    Accepted Submission(s): 124 Problem Description WLD likes playing with codes.One day he is writing a function.Howerver,his computer b…

题目大意: 一.有多少个有序数对(x,y)满足1<=x<=A,1<=y<=B,并且gcd(x,y)为p的一个约数: 二.有多少个有序数对(x,y)满足1<=x<=A,1<=y<=B,并且gcd(x,y)为p的一个倍数. 第一行两个数:p和q.(1<p<10^7 ,1<q<1000.) 接下来有q行,每行两个数A和B.(1<A,B<10^7) 我们先考虑第二个问题 ,很简单答案就是 (A/p) * (B/p) , 因为从p开…

传送门 看了1个多小时,终于懂了一点了 题目大意:给n,m,k.求gcd(x,y) = k(1<=x<=n, 1<=y<=m)的个数 思路:令F(i)表示i|gcd(x,y)的(x,y)的对数,显然F(x)=[nx]∗[mx]. 设f(x)为gcd(x,y)=x的对数. 因为F(x)=∑i|xf(i),所以我们可以莫比乌斯反演它. 根据公式f(x)=∑x|dμ(d)F(d) 我们的目标就是f(1)(因为n和m都可以除以k) 所以我们就可以在O(n)的时间复杂度内求出答案了. #in…

GCD Time Limit: 6000/3000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 4291    Accepted Submission(s): 1502 Problem Description Given 5 integers: a, b, c, d, k, you're to find x in a...b, y in c...d that GCD(x, y)…

莫比乌斯反演真(TMD)难学.我自看了好长时间. BZOJ 2820: YY的GCD Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 512 MBSubmit: 1384  Solved: 718 Description 神犇YY虐完数论后给傻×kAc出了一题给定N, M,求1<=x<=N, 1<=y<=M且gcd(x, y)为质数的(x, y)有多少对kAc这种 傻×必然不会了,于是向你来请教……多组输入 Input 第一行一个整数T 表述数据组数接下来T行,…