Problem A: Sgu282 Isomorphism Time Limit: 15 Sec  Memory Limit: 64 MBSubmit: 172  Solved: 88[Submit][Status][Discuss] Description 给 定一个N 个结点的无向完全图( 任意两个结点之间有一条边), 现在你可以用 M 种颜色对这个图的每条边进行染色,每条边必须染一种颜色. 若两个已染色的图,其中一个图可以通过结点重新编号而与另一个图完全相同, 就称这两个染色方案相同. 现…

分析 三倍经验题,本文以[BZOJ1478][SGU282]Isomorphism为例展开叙述,主体思路与另外两题大(wan)致(quan)相(yi)同(zhi). 这可能是博主目前写过最长也是最认真的题解了. 题目中规定"若两个已染色的图,其中一个图可以通过结点重新编号而与另一个图完全相同, 就称这两个染色方案相同",说明这个置换群是定义在点上的,而染色方案是定义在边上的.把边的染色方案转化为点的染色方案不太现实,所以说我们可以考虑如何将点的置换转化为边的置换. 一个显然的结论是点的…

[BZOJ1478]Sgu282 Isomorphism 题意:用$m$种颜色去染一张$n$个点的完全图,如果一个图可以通过节点重新标号变成另外一个图,则称这两个图是相同的.问不同的染色方案数.答案对$P$取模. $n\le 53,m\le 1000,P>n,P$是质数. 题解:对于本题来说,每个元素是所有边,每个置换是边的置换,而边的置换难以表示,点的置换容易表示,所以我们考虑点置换和边置换的关系. 如果两个点置换有着相同的结构,则它们对应的边置换的循环数相同. $$\begin{pmatri…

1478: Sgu282 Isomorphism Description 给 定一个N 个结点的无向完全图( 任意两个结点之间有一条边), 现在你可以用 M 种颜色对这个图的每条边进行染色,每条边必须染一种颜色. 若两个已染色的图,其中一个图可以通过结点重新编号而与另一个图完全相同, 就称这两个染色方案相同. 现在问你有多少种本质不同的染色方法,输出结果 mod P.P 是一个大于N 的质数. Input 仅一行包含三个数,N.M.P. Output 仅一行,为染色方法数 mod P 的结果.…

思路:由于题目中是通过改变点的编号来判断两种染色方案是否相同,而染色的确是边,于是考虑如何将点置换转化为边置换. 对于一个有n个点的完全图,其点置换有n!个(即全排列个数),又由于每一个边置换都对应了一个点置换(因为是改变点的编号才得到的边置换),因而边置换也是n!个,也就是说已经确定了Polya定理中的分母,考虑分子怎么求. 对于一个点置换,会形成一些循环,而这些循环所对应的边置换也是一个循环,同时,这些点循环之间的边也会形成一个循环,边置换中的总循环数就取决于点置换循环中对应的边置换循环和点…

参考 https://wenku.baidu.com/view/fee9e9b9bceb19e8b8f6ba7a.html?from=search### 的最后一道例题 首先无向完全图是个若干点的置换,但是实际上要染色边,也就是要求边的置换 首先,通过dfs构造一个点的置换,然后再把每个置换分割加起来就是答案(实际上分割方案很少) 那么现在有一个点置换的长度(a1,a2,a3...),考虑边置换,一条边(pi,pj),如果pi,pj在不同的置换里,那么显然循环节是lcm(ai,aj),所以循环个…

Search GO 说明:输入题号直接进入相应题目,如需搜索含数字的题目,请在关键词前加单引号 Problem ID Title Source AC Submit Y 1000 A+B Problem 10983 18765 Y 1036 [ZJOI2008]树的统计Count 5293 13132 Y 1588 [HNOI2002]营业额统计 5056 13607 1001 [BeiJing2006]狼抓兔子 4526 18386 Y 2002 [Hnoi2010]Bounce 弹飞绵羊 43…

一.前置概念 接下来的这些定义摘自 置换群 - OI Wiki. 1. 群 若集合 \(s\neq \varnothing\) 和 \(S\) 上的运算 \(\cdot\) 构成的代数结构 \((S,\cdot)\) 满足一下性质: 封闭性:\(\forall a,b\in S,a\cdot b\in S\). 结合律:\(\forall a,b,c\in S,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\). 单位元:\(\exists e\in S,\forall…

题意: 给出n(n<=53)点的无向完全图 要将每条边染上m(m<=1000)种颜色的一种 只改变顶点编号的图视为同种方案 求本质不同方案数%p(p>n且为质树)的值 题解: 这题貌似是很裸的polya 但是发现置换有n!个 根本枚举不出来 于是我们采用算每个点置换对应的边轮换相加得到答案 注意:这里的点置换并不是指原图中的点 而是某条边的两个顶点假设现在知道一个点置换P=(1)^c1(2)^c2(3)^c3... P对应的边轮换有两种1.边的两个顶点在同一个点轮换里 设点轮换长度为L…

小结: 1.两个有限维度的向量空间,在同一数域下,是同构的 等价于 它们维数相等. Isomorphism 同构 0.1.8 Isomorphism. If U and V are vector spaces over the same scalar field F, and if f : U → V is an invertible function such that f (ax + by) = a f (x) + bf (y) for all x, y ∈ U and all a, b ∈…