Description 题库链接 一个带标号的图的价值定义为每个点度数的 \(k\) 次方的和.给定 \(n\) 和 \(k\) ,请计算所有 \(n\) 个点的带标号的简单无向图的价值之和.对 \(998244353\) 取模. \(1\leq n\leq 10^9,1\leq k\leq 200000\) Solution 单独考虑每个点连边情况,容易发现答案就是 \[n\cdot 2^{n-1\choose 2}\sum_{i=0}^{n-1}{n-1\choose i}i^k\] 其中…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5093 每个点都是等价的,从点的贡献来看,得到式子: \( ans = n * \sum\limits_{d=0}^{n-1} d^{k} * 2^{C_{n-1}^{2}} * C_{n-1}^{d} \) 使用 \( n^{k} = \sum\limits_{i=0}^{k} S(k,i) * i! *C_{n}^{i} \) 得到 \( ans = n * \sum\limits_{d…

题面 显然只需要考虑一个点(再乘n),那么枚举这个点的度数,另外的$\frac{(n-1)(n-2)}{2}$条边是随意连的,而这个点连出去的边又和其余$n-1$个点产生组合,所以答案就是 $n*\frac{(n-1)(n-2)}{2}*\sum\limits_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^i i^k$ 运用第二类斯特林数和自然数幂的关系展开$i^k$,然后发现后面那一坨只要算到$min(n-1,k)$就可以了(再往后斯特林数就成零了) 于是问题变成了快速求一行第二类斯特林数,多项式卷积…

第二类斯特林数模版题 需要一些组合数的小$ trick$ upd:这里更新了本题巧妙的$ O(k)$做法,虽然常数很大就是了 传送门:here 题意:求所有$ n$个节点的无重边自环图的价值和,定义一张图的价值为每个点度数的$ k$次方和,点有标号 $ Solution$ 显然每个节点的贡献是独立的 枚举每个节点的度数,和这个点不联通的边可连可不连 $ ans=n*2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}\ \ \sum\limits_{i=0}^{n-1}i^kC_{n-1}^i$ 我…

[Lydsy1711月赛]图的价值 Time Limit: 30 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 245  Solved: 128[Submit][Status][Discuss] Description “简单无向图”是指无重边.无自环的无向图(不一定连通). 一个带标号的图的价值定义为每个点度数的k次方的和. 给定n和k,请计算所有n个点的带标号的简单无向图的价值之和. 因为答案很大,请对998244353取模输出.   Input 第一行包含两个正整数n,…

定义有向图的价值为图中每一个点的度数的 \(k\) 次方之和. 求:对于 \(n\) 个点的无向图所有可能情况的图的价值之和. 遇到这种题,八成是每个点单独算贡献,然后累加起来. 我们可以枚举一个点的度数是多少,然后试着去算该情况下的贡献,即 \(\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}i^k\) 由于一共有 \(n\) 个点,而除了我们限定的边之外其余的边都是可以随便连的. 故 \(Ans=n\times 2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}\times \su…

[BZOJ5093]图的价值(第二类斯特林数,组合数学,NTT) 题面 BZOJ 题解 单独考虑每一个点的贡献: 因为不知道它连了几条边,所以枚举一下 \[\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^i·i^k·2^{\frac{n(n-1)}{2}}\] 因为有\(n\)个点,所以还要乘以一个\(n\) 所以,我们真正要求的就是: \[\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^i·i^k\] 怎么做? 看到了\(i^k\)想到了第二类斯特林数 \[m^n=\sum_{i=0}^{m}…

CF题面 题意:求\(\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}i^k\) \(n\le10^9,k\le5000\) 模\(10^9+7\) BZOJ题面 题意:求\(n*2^{\frac{n(n-1))}{2}-(n-1)}*\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}i^k\) \(n\le10^9,k\le2*10^5\) 模\(998244353\) 第二类斯特林数 赶紧去学第二类斯特林数啊 第二类斯特林数:\(S(n,m)\),表示把\(n\)个不同的的球放…

5093: [Lydsy1711月赛]图的价值 Time Limit: 30 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 250  Solved: 130[Submit][Status][Discuss] Description “简单无向图”是指无重边.无自环的无向图(不一定连通). 一个带标号的图的价值定义为每个点度数的k次方的和. 给定n和k,请计算所有n个点的带标号的简单无向图的价值之和. 因为答案很大,请对998244353取模输出. Input 第一行包含两个正…

题目描述 “简单无向图”是指无重边.无自环的无向图(不一定连通). 一个带标号的图的价值定义为每个点度数的k次方的和. 给定n和k,请计算所有n个点的带标号的简单无向图的价值之和. 因为答案很大,请对998244353取模输出. 题解 因为懒得敲公式了,所以就直接粘题解了. 我们发现在这张图中每个点都是等价的,所以我们就只需要考虑一个点的贡献,最后乘上n就可以了. . 当一个点的度数为i时,我们可以从其他n-1个点中任意挑出i个点和它连边,而其余n-1个点之间可以任意连边. 然后我们发现后面那一…