Description 输入一个整数n和一个整数p,你需要求出$(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ijgcd(i,j))~mod~p$,其中gcd(a,b)表示a与b的最大公约数. Input 一行两个整数p.n. Output 一行一个整数$(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ijgcd(i,j))~mod~p$. Sample Input 998244353 2000 Sample Output 883968974 HINT 对于20%的数据,$n \leq…

题目大意:略 洛谷传送门 杜教筛入门题? 以下都是常规套路的变形,不再过多解释 $\sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{N}ijgcd(i,j)$ $\sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{N}ij\sum\limits_{d|gcd(i,j)}\varphi(d)$ $\sum\limits_{d=1}^{N} \varphi(d) \sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{…

非常恶心的一道数学题,推式子推到吐血. 光是\(\gcd\)求和我还是会的,但是多了个\(ij\)是什么鬼东西. \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij\gcd(i,j)=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij[\gcd(i,j)=d]\] 很套路的把后面的\(d\)提出来: \[\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij[\gcd(i,j)=d]=\sum_{d=1}^nd^3\sum_{i=1}^{…

求 $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}ijgcd(i,j)$   考虑欧拉反演: $\sum_{d|n}\varphi(d)=n$   $\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}ij\sum_{d|gcd(i,j)}\varphi(d)$   $\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}ij\sum_{d|i,d|j}\varphi(d)$   $\Rightarrow \sum_{d=1}^{…

1037: 一个简单的数学题 [数学] 时间限制: 1 Sec 内存限制: 128 MB提交: 259 解决: 41 统计 题目描述 小明想要知道$a^b$的值,但是这个值会非常的大. 所以退而求其次,小明想让你帮他求出来$(a^b) \% c$的值. 输入 第一行为一个数$n$,表示有$n$组数据. 每组数据有三个整数$a$,$b$,$c$. $1 \leq a,b,c \leq 50000$ $1 \leq n \leq 1100$ 输出 每组数据有一行输出:输出$(a^b) \%c $.…

[Luogu3768]简单的数学题(莫比乌斯反演,杜教筛) 题面 洛谷 \[求\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nijgcd(i,j)\] $ n<=10^9$ 题解 很明显的把\(gcd\)提出来 \[\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij[gcd(i,j)==d]\] 习惯性的提出来 \[\sum_{d=1}^nd^3\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{n/d}ij[gcd(i,j)==1]\] 后面这玩意很明显的来一发…

[LG3768]简单的数学题 题面 求 \[ (\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij\text{gcd}(i,j))\text{mod}p \] 其中\(n\leq 10^{10},5\times 10^8\leq p \leq 1.1*10^9\). 题解 推柿子: \[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij\text{gcd}(i,j)\\ =\sum_{d=1}d\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\sum_{j=1}^{\…

题目链接 luoguP3768 简单的数学题 题解 上面那个式子的最后一步,需要定理 用数学归纳法证明 \(S1=1^3=1^2\) \(S2=1^3+2^3=9=3^2=(1+2)^2\) \(S3=1^3+2^3+3^3=36=6^2=(1+2+3)^2\) \(S4=1^3+2^3+3^3+4^3=100=10^2=(1+2+3+4)^2\) \(S5=1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2=(1+2+3+4+5)^2\) 假设当\(n=k\)时,有\(Sk=1^3+2^3+..…

P3768 简单的数学题 题目描述 由于出题人懒得写背景了,题目还是简单一点好. 输入一个整数\(n\)和一个整数\(p,\)你需要求出\((\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ijgcd(i,j)) \bmod p\),其中\(gcd(a,b)\)表示\(a\)与\(b\)的最大公约数. 刚才题面打错了,已修改 输入输出格式 输入格式: 一行两个整数\(p\).\(n\). 输出格式: 一行一个整数\((\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ijgcd(i,j))\b…

\(\color{#0066ff}{ 题目描述 }\) 这是一道非常简单的数学题. 最近 LzyRapxLzyRapx 正在看 mathematics for computer science 这本书,在看到数论那一章的时候, LzyRapxLzyRapx 突然想到这样一个问题. 设 \[ F(n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\frac{\mathrm{lcm}(i,j)}{\mathrm{gcd}(i,j)} \] 其中,\(\mathrm{lcm}(a,b)\) 表示…