初学MillerRabin素数测试

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初学MillerRabin素数测试

前言 \(MillerRabin\)素数测试是一种很实用的素数判定方法. 它只针对单个数字进行判定,因而可以对较大的乃至于\(long\ long\)范围内的数进行判定,而且速度也很快,是个十分优秀的算法. 前置定理费马小定理:\(a^{p-1}\equiv1(mod\ p)\)(详见此博客:费马小定理) 二次探测定理:若\(p\)为奇素数且\(x^2\equiv1(mod\ p)\),则\(x\equiv1(mod\ p)\)或\(x\equiv p-1(mod\ p)\). 大致思路假设…

Miller-Rabin素数测试算法（POJ1811Prime Test）

题目链接:http://poj.org/problem?id=1811 题目解析:2<=n<2^54,如果n是素数直接输出,否则求N的最小质因数. 求大整数最小质因数的算法没看懂,不打算看了,直接贴代码,以后当模版用. 数据比较大,只能先用Miller_Rabin算法进行素数判断. 在用Pollard_rho分解因子. #include <iostream> #include <stdio.h> #include <string.h> #include…

Miller-Rabin素数测试

Miller-Rabin素数测试给出一个小于1e18的数,问它是否为质数?不超过50组询问.hihocoder 我是真的菜,为了不误导他人,本篇仅供个人使用. 首先,一个1e18的数,朴素\(O(\sqrt{n})\)素数判定肯定爆炸.怎么办呢? 我们知道,对于素数p,只要a不是p的倍数,一定有\(a^{p-1}=1\mod p\).那么,我们是不是可以选出某些a,对于要判定的数p,看看他是否满足以a为底的费马小定理,以此来判定质数呢?答案是基本可以. 但是很不巧,有一类合数,以任何小于它们的…

POJ Pseudoprime numbers（ Miller-Rabin素数测试）

链接:传送门题意:题目给出费马小定理:Fermat's theorem states that for any prime number p and for any integer a > 1, ap = a (mod p). 我们知道Miller-Rabin素数测试的算法原理就是基于费马小定理的,因为我们在测试底数的时候只是随机一些 a ,所以可能有的合数就脸一白通过了测试,于是就产生了伪素数这一概念,现在给你一对 p and a,判断 p 是否是以 a 为基的伪素数思路:对于素数来说是不…

Miller-Rabin素数测试算法

\(Miller-Rabin\)素数测试用途判断整数\(n\)是否是质数,在\(n\)较小的情况下,可以使用试除法,时间复杂度为\(O(\sqrt n)\).但当\(n\)的值较大的时候,朴素的试除法已经不能在规定时间内解决问题.此时,我们可以用\(Miller-Rabin\)素数测试算法,时间复杂度可以降低至\(O(\log_2n)\). 引理费马小定理若\(a,p \in \mathbb{Z}\),\(p\)为质数,则 \[ a^{p-1} \equiv 1(mod\;p) \]…

RSA，Miller-Rabin素数测试的源流及其证明

一.RSA与公钥加密系统的起源与影响. 为了更好地突出公钥加密系统相对私钥加密系统的优势,让我们从这两个问题开始: 这个世界上如果没有公钥加密系统会怎么样呢?全用私钥加密系统会出现什么问题呢? 首先,私钥密码系统中的密码,加密解密之间是存在共享性的,也就是说,会加密就能做到会解密,会解密也就能做到会加密. 如果私钥密码系统用来做数字签名,会发生什么呢?你只要告诉了别人验证你的数字签名的正确性方法(解密),就同时告诉了他们伪造这个数字签名的方法(加密).瞬间爆炸Orz. 其次,私钥加密系统需要有一…