传送门 解题思路 设\(f(k)\)为交集元素个数为\(k\)的方案数.发现我们并不能直接求出\(f(k)\),就考虑容斥之类的东西,容斥首先要扩大限制,再设\(g(k)\)表示至少有\(k\)个交集的方案数.\(g(k)\)是特别好算的,可以强制\(k\)个元素必选,其余的任意,那么有 \[ g(k)=\sum\limits_{i=k}^n\dbinom{n}{i}(2^{2^{n-i}}-1) \] 用\(g\)来表示\(f\)可得 \[ g(k)=\sum\limits_{i=k}^n\d…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2839 设 \( f(i) \) 为至少 \( i \) 个选择,则 \( f(i) = C_{n}^{i} * (2^{2^{n-i}} - 1) \),因为其他可选可不选: 设 \( g(i) \) 为恰好 \( i \) 个选择,则 \( f(i) = \sum\limits_{j=i}^{n} g(j) * C_{j}^{i} \) 感觉形式不是一般那种,所以想换一下,设 \( f(…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2839 设 \( g(i) \) 表示至少有 i 个, \( f(i) \) 表示恰好有 i 个,则 \( g(i)=C_{n}^{i}*(2^{2^{n-i}}-1) \) \( g(i)=\sum\limits_{j=i}^{n}C_{j}^{i}f(j) \) \( f(i)=\sum\limits_{j=i}^{n}(-1)^{j-i}C_{j}^{i}g(j) \) 以为把 g 写…

BZOJ 2839: 集合计数 Description 一个有\(N\)个元素的集合有\(2^N\)个不同子集(包含空集),现在要在这\(2^N\)个集合中取出若干集合(至少一个),使得 它们的交集的元素个数为\(K\),求取法的方案数,答案模\(1000000007\). Input 一行两个整数\(N,K\) Output 一行为答案. HINK 对于\(100\%\)的数据,\(1≤N≤1000000,0≤K≤N\): 设交集拥有元素集合\(S\)的取法方案数为\(f(S)\),有 \[…

2839: 集合计数 题意:n个元素的集合,选出若干子集使得交集大小为k,求方案数 先选出k个\(\binom{n}{k}\),剩下选出一些集合交集为空集 考虑容斥 \[ 交集为\emptyset = 任意选的方案数-交集\ge 1 的方案数+交集\ge 2的方案数-... \] 交集\(\ge i\)就是说先选出i个元素在交集里,剩下的元素的集合任选 那么就是 \[ \sum_{i=0}^n \binom{n}{i}(2^{2^{n-i}}-1) \] 组合数直接推阶乘和逆元 后面的\(2^{…

2839: 集合计数 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 495  Solved: 271[Submit][Status][Discuss] Description 一个有N个元素的集合有2^N个不同子集(包含空集),现在要在这2^N个集合中取出若干集合(至少一个),使得 它们的交集的元素个数为K,求取法的方案数,答案模1000000007.(是质数喔~) Input 一行两个整数N,K Output 一行为答案. Sample Inp…

题目传送门 https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2839 题解 二项式反演板子题. 类似于一般的容斥,我们发现恰好 \(k\) 个不怎么好求,但是至少 \(k\) 个还是很好求的. 考虑固定 \(k\) 个数必须存在,然后剩下的 \(n-k\) 个数的集合的子集中随意选择(不能不选),所以至少 \(k\) 个的方案就是 \(\binom nk (2^{2^{n-k}}-1)\). 令 \(f(k)\) 表示钦定了至少 \(k\) 个的方案,\…

LINK:集合计数 容斥简单题 却引出我对广义容斥的深思. 一直以来我都不理解广义容斥是为什么 在什么情况下使用. 给一张图: 这张图想要表达的意思就是这道题目的意思 而求的东西也和题目一致. 特点:求出某个集合恰好为k的个数. 转换:求出集合>=k的个数或者<=k的个数 从而使用广义容斥容斥出来答案. 关于>=k个数 如上图可见 又很多重复的地方 而广义容斥也是在这么多重复的地方使用的 而并非严格>=k的个数. 换个说法 >=k的方案数 可能有一些存在重复 但是其特点是&g…

题链: http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2839 题解: 容斥原理 真的是神题!!! 定义 f[k] 表示交集大小至少为 k时的方案数怎么求出这个数组呢?考虑先确定 k个元素(有C(N,k)种方法),那么还剩下 N-k个元素,这剩下的 N-k个元素可以得到 2^(N-k)个集合,然后每个集合可以选或不选,(但不能一个都不选),可以得到 2^(2^(N-k))-1 种选法,每种选法里面的每个集合都加上那以及固定的 k个元素,可以发现这…

在一个 $N$ 个元素集合中的所有子集中选择若干个,且交集大小为 $k$ 的方案数. 按照之前的套路,令 $f[k]$ 表示钦定交集大小为 $k$,其余随便选的方案数. 令 $g[k]$ 表示交集恰好为 $k$ 的方案数. 则有 $f[k]=\sum_{i=k}^{n}\binom{i}{k}g[k]$,反演得 $g[k]=\sum_{i=k}^{n}(-1)^{i-k}\binom{i}{k}f[i]$ 而 $f[k]=\binom{n}{k}2^{2^{n-k}}$,直接带入求值即可. co…

Description 题库链接 有 \(2^n\) 个集合,每个集合只包含 \([1,n]\) ,且这些集合两两不同.问有多少种选择方法(至少选一个),使得这些集合交集大小为 \(k\) . \(0\leq k\leq n\leq 1000000\) Solution 设 \(f(n)\) 为交集元素大于 \(k\) 的方案数,设 \(g(n)\) 为交集元素等于 \(k\) 的方案数. 容易得到 \[f(k)=\sum_{i=k}^n{i\choose k}g(i)\Rightarrow g…

因为要在n个里面选k个,所以我们先枚举选的是哪$k$个,方案数为$C_{n}^k$ 确定选哪k个之后就需要算出集合交集正为好这$k$个的方案数,考虑用容斥原理. 我们还剩下$n-k$个元素,交集至少为$k$的方案数为$2^{2^{n-k}}$. 相当于在仅有剩下$n-k$个元素的集合里随便选,最后再往每个集合里塞进这$k$个元素. 然后就是很简单的容斥了. 减去交集至少为k加上其他一个元素的方案数,加上交集至少为k加上其他两个元素的方案数... $$ans=C_{n}^k\times(2^{2^…

首先,考虑容斥,我们所要的答案是并集至少有\( k \)个数的方案数减去并集至少有\( k+1 \)个数的方案数加上并集至少有\( k \)个数的方案数-- 在n个数中选i个的方案数是\( C_{n}^{i} \),n种集合的组合方案数为\( 2^n \) 并集至少有i个元素的方案数即为选\( i \)个元素的方案数\( C_{n}^{i} \),乘上剩下\( n-i \)个元素任意组合的方案数\( 2^{2^{n-i}-1} \) 然后乘上容斥系数\( (-1)^{i-k} \),再乘上在并集…

2839: 集合计数 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 399  Solved: 217 Description 一个有N个元素的集合有2^N个不同子集(包含空集),现在要在这2^N个集合中取出若干集合(至少一个),使得 它们的交集的元素个数为K,求取法的方案数,答案模1000000007.(是质数喔~) Input 一行两个整数N,K Output 一行为答案. Sample Input 3 2 Sample Output 6 HI…

好神的一道计数题呀. code: #include <cstdio> #include <algorithm> #include <cstring> #define N 5000003 #define ll long long #define mod 998244353 #define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) using namespace std; int invg[N],dp[N]…

给定长度为 $n$ 的序列, 每个位置都可以被染成 $m$ 种颜色中的某一种. 如果恰好出现了 $s$ 次的颜色有 $k$ 种, 则会产生 $w_{k}$ 的价值. 求对于所有可能的染色方案,获得价值和对 $1004535809$ 取模的结果. 设 $lim=min(m,\frac{n}{s})$,即最大可能的颜色出现种类. 按照套路,令 $f[i]$ 表示钦定 $i$ 种长度为 $s$ 出现的方案数,$g[i]$ 表示恰好 $i$ 种出现的方案数. $f[k]=\binom{m}{k}\fra…

2839: 集合计数 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 229  Solved: 120[Submit][Status][Discuss] Description 一个有N个元素的集合有2^N个不同子集(包含空集),现在要在这2^N个集合中取出若干集合(至少一个),使得 它们的交集的元素个数为K,求取法的方案数,答案模1000000007.(是质数喔~) Input 一行两个整数N,K Output 一行为答案. Sample Inp…

2839: 集合计数 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 523  Solved: 287[Submit][Status][Discuss] Description 一个有N个元素的集合有2^N个不同子集(包含空集),现在要在这2^N个集合中取出若干集合(至少一个),使得 它们的交集的元素个数为K,求取法的方案数,答案模1000000007.(是质数喔~) Input 一行两个整数N,K Output 一行为答案. Sample Inp…

2839: 集合计数 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 883  Solved: 490[Submit][Status][Discuss] Description 一个有N个元素的集合有2^N个不同子集(包含空集),现在要在这2^N个集合中取出若干集合(至少一个),使得 它们的交集的元素个数为K,求取法的方案数,答案模1000000007.(是质数喔~) Input 一行两个整数N,K Output 一行为答案. Sample Inp…

F.A.Qs Home Discuss ProblemSet Status Ranklist Contest 入门OJ ModifyUser  Logout 捐赠本站 2839: 集合计数 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 854  Solved: 470 Description 一个有N个元素的集合有2^N个不同子集(包含空集),现在要在这2^N个集合中取出若干集合(至少一个),使得 它们的交集的元素个数为K,求取法的方案数,答案模…

权限题 根据广义容斥的套路就很好做了 设\(g_i\)表示交集至少有\(i\)个元素,\(f_i\)表示交集恰好有\(i\)个元素 显然有 \[g_i=\sum_{j=i}^n\binom{j}{i}f_j\] 二项式反演可得 \[f_i=\sum_{j=i}^n(-1)^{j-i}\binom{j}{i}g_j\] 我们求得就是\(f_k\) 我们考虑\(g\)如何求 我们先从\(n\)个元素里选择\(j\)个元素作为我们的交集,这里是\(\binom{n}{j}\),之后对于剩下的\(n-j…

传送门 解题思路 首先将\(a\),\(b\)排序,然后可以算出\(t(i)\),表示\(a(i)\)比多少个\(b(i)\)大,根据容斥套路,设\(f(k)\)表示恰好有\(k\)个\(a(i)\)比\(b(i)\)大,\(g(k)\)表示至少有\(k\)个,那么\(g(k)=\sum\limits_{i=k}^n\dbinom{i}{k}f(i)\).发现这是一个二项式反演的形式,现在的问题变为如何求\(g(k)\),发现可以强制选\(k\)组,其余的任意搭配,强制选\(k\)组就可以\(d…

题目传送门 https://loj.ac/problem/3119 现在 BZOJ 的管理员已经不干活了吗,CTS(C)2019 和 NOI2019 的题目到现在还没与传上去. 果然还是 LOJ 好. 题目 恰好有 \(k\) 个极大数不太好求,我们还是转化成二项式反演. 然后就变成了给定一个点的集合 \(S\),求钦定 \(S\) 中的点是极大点的方案数.可以发现 \(S\) 中的点因为必须要保证没有一维的坐标相同,所以到底是哪些点是不重要的,有用的只有 \(|S|\).所以问题转化为钦定了…

「BZOJ2839」集合计数 题目大意: 一个包含 \(n\) 个数的集合有 \(2^n\) 个子集,从这些子集中取出若干个集合(至少一个),使他们的交集的元素个数恰好为 \(k\),求方案数,答案对 \(1e9+7\) 取模. 首先考虑一个很直观的思路:我们钦定 \(k\) 个数是他们的交集,则这样的方案数为 \(\binom{n}{k}\) ,同时,包含这 \(k\) 个数的集合个数为 \(2^{n-k}\) ,每个集合有选与不选两个状态,但依据题意,不能够全部不选,所以这样得到的总方案数…

//待更qwq 反演原理 二项式反演 若 \[g_i=\sum_{j=1}^i {\binom ij} f_j\] , 则有 \[ f_i=\sum_{j=1}^i (-1)^{i-j} {i \choose j} g_j \] 同时, 若 \[g_i=\sum_{j=1}^i (-1)^j {i \choose j} f_j\] , 则有 \[f_i=\sum_{j=1}^i (-1)^j {i \choose j} g_j\] 通过反演原理和组合数的性质不难证明. 0/1? todo Sti…

题目描述 一个有N个元素的集合有2^N个不同子集(包含空集),现在要在这2^N个集合中取出若干集合(至少一个),使得 它们的交集的元素个数为K,求取法的方案数,答案模1000000007.(是质数喔~) 题解 假设我们已经确定了这k个元素都是谁,最后再乘上C(n,k)就可以了. 根据容斥原理(二项式反演)可知,答案为选出至少k个的方案数-选出至少k+1个的方案数+选出至少k+2个的方案数... 如何求选出至少x个的方案数,考虑有多少种集合包含x个元素,答案是2n-x(相当于我们已经确定了x个元素…

题目 一个有 \(N\) 个 元素的集合有 \(2^N\) 个不同子集(包含空集), 现在要在这 \(2^N\) 个集合中取出若干集合(至少一个), 使得它们的交集的元素个数为 \(K\) ,求取法的方案数,答案模 \(1000000007\) . \((1 \le N \le 10^6, 0 \le K \le N)\) 题解 又是一道 裸的 广义容斥定理 还没这道题难qwq 广义容斥定理 (二项式反演) : \[\displaystyle b_k = \sum_{i=k}^n \binom…

题目链接: 洛谷 BZOJ 题目大意:有两个长为 $n$ 的序列 $a,b$,问有多少种重排 $b$ 的方式,使得满足 $a_i>b_i$ 的 $i$ 的个数比满足 $a_i<b_i$ 的 $i$ 的个数恰好多 $k$ 个.答案对 $10^9+9$ 取模. $1\le n\le 2000,0\le k\le n$.保证 $a,b$ 中没有相同的数. 首先根据小学数学知识可知,$a_i>b_i$ 的个数应该是 $\frac{n+k}{2}$.如果 $n+k$ 不是偶数那么就无解. 那么就可…

[BZOJ2839]集合计数(容斥,动态规划) 题面 BZOJ 权限题 Description 一个有N个元素的集合有2^N个不同子集(包含空集),现在要在这2^N个集合中取出若干集合(至少一个),使得 它们的交集的元素个数为K,求取法的方案数,答案模1000000007.(是质数喔~) Input 一行两个整数N,K Output 一行为答案. Sample Input 3 2 Sample Output 6 题解 比较简单的容斥吧.. 设\(f[i]\)表示至少有\(i\)个相同元素的方案数…

Description “简单无向图”是指无重边.无自环的无向图(不一定连通). 一个带标号的图的价值定义为每个点度数的k次方的和. 给定n和k,请计算所有n个点的带标号的简单无向图的价值之和. 因为答案很大,请对998244353取模输出.$n \le 10^9,k \le 200000$ 化学学考时含义推式子+手动打表找规律得到了一个$O(nlogn)$的式子开心的很我以为我要AC了回来看数据范围就升天了. 问NC大神这题用到了什么:斯特林数/伯努利数.然后就自闭了学了一天的知识点还去做了点…