设 $L=L(\xi_0,\xi_1,\cdots,\xi_n)$ 关于变量 $\xi_0>0,\xi_1,\cdots,\xi_n$ 为严格凸的. 证明函数 $$\bex M=\cfrac{1}{\xi_0}L(\xi_0,\xi_1,\cdots,\xi_n) \eex$$ 关于变量 $$\bex \eta_0=\cfrac{1}{\xi_0},\quad \xi_1=\cfrac{\xi_1}{\xi_0},\cdots,\eta_n=\cfrac{\xi_n}{\xi_0} \eex$$…

试给出在 Coulomb 规范下, 电磁场的标势 $\phi$ 与矢势 ${\bf A}$ 所满足的方程. 解答: 真空中的 Maxwell 方程组为 $$\bee\label{1_10_12:eq} \bea \Div{\bf E}&=\cfrac{\rho}{\ve_0},\\ \rot{\bf E}&=-\cfrac{\p{\bf B}}{\p t},\\ \Div{\bf B}&=0,\\ \rot{\bf B}&=\mu_0\sex{\ve_0\cfrac{\p{…

[物理学与PDEs]第2章习题1 无旋时的 Euler 方程 [物理学与PDEs]第2章习题2 质量力有势时的能量方程 [物理学与PDEs]第2章习题3 Laplace 方程的 Neumann 问题 [物理学与PDEs]第2章习题4 习题 3 的变分 [物理学与PDEs]第2章习题5 正应力的平均值 [物理学与PDEs]第2章习题6 有旋的 Navier-Stokes 方程组 [物理学与PDEs]第2章习题7 一维不可压理想流体的求解 [物理学与PDEs]第2章习题8 一维定常粘性不可压缩流体的…

[物理学与PDEs]第1章习题1 无限长直线的电场强度与电势 [物理学与PDEs]第1章习题2 均匀带电球面的电场强度与电势 [物理学与PDEs]第1章习题3 常场强下电势的定解问题 [物理学与PDEs]第1章习题4 偶极子的极限电势 [物理学与PDEs]第1章习题5 偶极子的电场强度 [物理学与PDEs]第1章习题6 无限长载流直线的磁场 [物理学与PDEs]第1章习题7 载流线圈的磁场 [物理学与PDEs]第1章习题8 磁场分布 $\ra$ 电流分布 [物理学与PDEs]第1章习题9 磁偶极…

[物理学与PDEs]第3章习题1 只有一个非零分量的磁场 [物理学与PDEs]第3章习题2 仅受重力作用的定常不可压流理想流体沿沿流线的一个守恒量 [物理学与PDEs]第3章习题3电磁场的矢势在 Lorentz 规范下满足的方程 [物理学与PDEs]第3章习题4 理想磁流体的能量守恒方程 [物理学与PDEs]第3章习题5 一维理想磁流体力学方程组的数学结构 [物理学与PDEs]第3章习题6 Lagrange 坐标下的一维理想磁流体力学方程组的数学结构 [物理学与PDEs]第3章习题7 快.慢及A…

[物理学与PDEs]第4章习题1 反应力学方程组形式的化约 - 动量方程与未燃流体质量平衡方程 [物理学与PDEs]第4章习题2 反应力学方程组形式的化约 - 能量守恒方程 [物理学与PDEs]第4章习题3 一维理想反应流体力学方程组的数学结构 [物理学与PDEs]第4章习题4 一维理想反应流体力学方程组的守恒律形式及其 R.H. 条件…

[物理学与PDEs]第5章习题1 矩阵的极分解 [物理学与PDEs]第5章习题2 Jacobian 的物质导数 [物理学与PDEs]第5章习题3 第二 Piola 应力张量的对称性 [物理学与PDEs]第5章习题4 广义 Hookean 定律的张量的对称性 [物理学与PDEs]第5章习题5 超弹性材料中客观性假设的贮能函数表达 [物理学与PDEs]第5章习题6 各向同性材料时强椭圆性条件的等价条件 物理学与PDEs]第5章习题7 各向同性材料时稳定性条件的等价条件 [物理学与PDEs]第5章习题…

试证明: 在物质描述下, 动量矩守恒定律等价于第二 Piola 应力张量的对称性. 证明: 由 $$\beex \bea \int_{G_t}\rho\sex{{\bf y}\times\cfrac{\rd {\bf v}}{\rd t}}\rd y &=\int_{G_0} \rho_0\sex{{\bf y}\times\cfrac{\p {\bf v}}{\p t}}\rd x,\\ \int_{S_t} ({\bf y}\times{\bf \sigma})\rd S_t&=\in…

写出在忽略粘性与热传导性, 即设 $\mu=\mu'=\kappa=0$ 的情况, 在 Euler 坐标系下具守恒律形式的一维反应流动力学方程组. 由此求出在解的强间断线上应满足的 R.H. 条件 (见第二章 $\S 4$), 并证明越过强间断线, 函数 $Z$ 保持连续. 解答: (1)  具守恒律形式的一维反应流动力学方程组为 $$\beex \bea \cfrac{\p \rho}{\p t}+\cfrac{\p}{\p x}(\rho u)&=0,\\ \cfrac{\p}{\p t}(…

证明: Euler 坐标系下的一维反应流体力学方程组 (3. 10)-(3. 13) 也是一个一阶拟线性双曲型方程组. 证明: 由 (3. 10), (3. 12), (3. 13) 知 $$\bex \cfrac{1}{\rho c^2}\cfrac{\p p}{\p t} +\cfrac{u}{\rho c^2}\cfrac{\p p}{\p x}+\cfrac{\p u}{\p x}=0.  \eex$$ 令 $U=(p,u,S,Z)^T$, 则 (3. 10)-(3. 13) 可化为 $…

试将一维理想磁流体力学方程组 (5. 10)-(5. 16) 化为一阶拟线性对称双曲组的形式. 解答: 由 (5. 12),(5. 16) 知 $$\beex \bea 0&=\cfrac{\p p}{\p \rho}\sex{\cfrac{\p \rho}{\p t}+u_1\cfrac{\p \rho}{\p x}+\rho \cfrac{\p u_1}{\p x}} +\cfrac{\p\rho}{\p S}\sex{\cfrac{\p S}{\p t}+u_1\cfrac{\p S}{\…

设 $\phi$ 及 ${\bf A}$ 分别为电磁场的标势及矢势 (见第一章 $\S$ 6). 试证明: 若 $\phi$ 及 ${\bf A}$ 满足条件 $$\bex \phi+\cfrac{1}{\sigma \mu_0}\Div{\bf A}=0, \eex$$ 则方程 (2. 32) 可写为如下的形式: $$\bex \cfrac{\p {\bf A}}{\p t}={\bf u}\times\rot{\bf A}+\cfrac{1}{\sigma\mu_0}\lap{\bf A}.…

试计算由习题 4 给出的电偶极子的所形成的电场的电场强度. 解答: $$\beex \bea {\bf E}(P)&=\cfrac{1}{4\pi\ve_0} \sez{\cfrac{-q}{r_{P_0P}^3}{\bf r}_{P_0P}+\cfrac{q}{r_{P_1P}^3}{\bf r}_{P_1P}}\\ &=\cfrac{q}{4\pi \ve_0} \sez{ \sex{-\cfrac{1}{r_{P_0P}^3}+\cfrac{1}{r_{P_0P}^3}}{\bf r…

证明函数 $$\bex \hat W({\bf F})=\sedd{\ba{ll} \cfrac{1}{\det{\bf F}},&if\ \det{\bf F}>0,\\ +\infty,&if\ \det{\bf F}\leq 0 \ea} \eex$$ 是多凸的. 证明: 由 $$\bex f(x)=\cfrac{1}{x}\ra f'(x)=\cfrac{-1}{x^2}\ra f''(x)=\cfrac{2}{x^3} \eex$$ 知 $$\bex \cfrac{\rd…

设 $3\times 3$ 阵 ${\bf A}$ 的特征值为 $\lm_1,\lm_2,\lm_3$, 证明 $\cof {\bf A}$ 的特征值为 $$\bex \lm_2\lm_3,\quad \lm_3\lm_1,\quad \lm_1\lm_2.  \eex$$ 证明: 证明: 由扰动法, 不妨设 ${\bf A}$ 可逆, 而 $$\beex \bea 0&=|\lm_i{\bf I}-{\bf A}|\cdot|\cof {\bf A}|\\ &=|\lm_i\cof{\b…

在线性弹性时, 证明各向同性材料, 稳定性条件 (5. 27) 等价于 Lam\'e 常数满足 $$\bex \mu>0,\quad \lm+\cfrac{2}{3}\mu>0.  \eex$$ 证明: (1)  写出 $$\beex \bea \sum_{i,j,k,l} a_{ijkl}e_{ij}e_{kl} &=\sum_{i,j,k,l}\sez{ \lm \delta_{ij}\delta_{kl} +\mu\sex{ \delta_{ik}\delta_{jl} +\de…

在线性弹性时, 证明各向同性材料, 强椭圆性条件 (5. 6) 等价于 Lam\'e 常数满足 $$\bex \mu>0,\quad \lm+2\mu>0.  \eex$$ 证明: (1)  对各向同性材料, $$\beex \bea a_{ijkl}&=\lm\delta_{ij}\delta_{kl} +\mu\sex{\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk}},\\ \sum_{i,j,k,l}a_{ijkl}\xi_i\xi_k…

设超弹性材料的贮能函数 $\hat W$ 满足 (4. 19) 式, 证明由它决定的 Cauchy 应力张量 ${\bf T}$ 满足各向同性假设 (4. 7) 式. 证明: 若贮能函数 $W$ 满足 ``$\hat W({\bf F}{\bf Q})=W({\bf F})$ 对任意正交阵 ${\bf Q}$'', 则 $$\beex \bea p_{ij}({\bf F})&=\cfrac{\p \hat W({\bf F})}{\p f_{ij}}\\ &=\cfrac{\p \hat…

设材料是超弹性的, 并设参考构形为自然状态, 证明由线性化得到的张量 ${\bf A}=(a_{ijkl})=\sex{2\cfrac{\p \bar p_{ij}}{c_{kl}}}$ 具有以下的对称性: $$\bex a_{ijkl}=a_{klij}. \eex$$ 证明: 注意到 $$\beex \bea {\bf C}={\bf F}^T{\bf F}&\ra c_{mn}=\sum_t f_{tm}f_{tn}\\ &\ra \cfrac{\p c_{mn}}{\p f_{kl…

验证 (3. 6) 式, 即证明 $$\bex \cfrac{\rd J}{\rd t}=J\Div_y {\bf v}. \eex$$ 证明: $$\beex \bea \cfrac{\rd J}{\rd t} &=\cfrac{\rd }{\rd t}|{\bf F}|\\ &=\cfrac{\rd }{\rd t} \sum_{j_1\cdots j_n}(-1)^{\tau(j_1\cdots j_n)} f_{1j_1}\cdots f_{nj_n}\\ &=\sum_{…

证明引理 2. 1. 证明: (1)  先证明存在正交阵 ${\bf P},{\bf Q}$ 及对角阵 ${\bf D}$ 使得 $$\bex {\bf F}={\bf P}{\bf D}{\bf Q}. \eex$$ 事实上, 由 ${\bf F}$ 可逆知 ${\bf F}^T{\bf F}$ 正定, 而存在正交阵 ${\bf Q}$, 使得 $$\bex {\bf F}^T{\bf F}={\bf Q}^T\diag(\lm_1,\cdots,\lm_n){\bf Q},\quad(\lm…

试证明: 利用连续性方程及动量方程, 能量守恒方程 (2. 15) 可化为 (2. 21) 的形式. 证明: 注意到 $$\beex \bea &\quad\cfrac{\p}{\p t}\sex{\cfrac{1}{2}\rho u^2} +\Div\sez{\cfrac{1}{2}\rho u^2{\bf u}-{\bf P}{\bf u}} -\rho {\bf F}\cdot{\bf u}\\ &=\cfrac{u^2}{2}\cfrac{\p \rho}{\p t} +\cfra…

试证明: 利用连续性方程, 可将动量方程 (2. 14) 及未燃流体质量平衡方程 (2. 16) 分别化为 (2. 19) 与 (2. 20) 的形式. 证明: 注意到 $$\beex \bea \cfrac{\p}{\p t}(\rho{\bf u}) +\Div(\rho{\bf u}\otimes{\bf u})&=\sez{\cfrac{\p\rho}{\p t}+\Div(\rho{\bf u})}{\bf u} +\rho \sez{\cfrac{\p{\bf u}}{\p t}+(…

证明: 当 $H_1\neq 0$ 及 $H_2^2+H_3^2\neq 0$ 时, 快.慢及 Alfv\'en 特征速度 $C_f$, $C_s$ 及 $C_a$ 满足 $$\bex 0<C_s^2<C_a^2<C_f^2.  \eex$$ 证明: 显然有 $0<C_s^2$. 往证 $C_a^2>C_s^2$: $$\beex \bea \cfrac{\mu_0}{\rho}H_1^2&\quad\wedge\quad \cfrac{1}{2}\sez{ \til…

试讨论 Lagrange 形式下的一维理想磁流体力学方程组 (5. 33)-(5. 39) 的类型. 解答: 由 (5. 33), (5. 39) 知 $$\bex 0=\cfrac{\p p}{\p \tau}\sex{\cfrac{\p \tau}{\p t'}-\cfrac{\p u_1}{\p m}}+\cfrac{\p p}{\p S}\cfrac{\p S}{\p t'} =\cfrac{\p p}{\p t'}-p'(\tau)\cfrac{\p u_1}{\p m}, \eex$…

试证明: 对理想磁流体, 能量守恒方程 (4. 14) 可以写为如下形式: $$\beex \bea \cfrac{\p}{\p t}&\sex{\rho e+\cfrac{1}{2}\rho u^2 +\cfrac{1}{2}\mu_0H^2}\\ +\sum_{k=1}^3 \cfrac{\p}{\p x_k}&\sed{ \rho u_k\sex{e+\cfrac{1}{2}u^2-\cfrac{p}{\rho}} +\mu_0u_kH^2-\mu_0H_k({\bf u}\cdot…

设定常 (即 $\cfrac{\p {\bf u}}{\p t}={\bf 0}$).不可压缩 (设 $\rho=1$) 的理想流体所受的体积力仅为重力. 又设磁场满足条件: $({\bf H}\cdot\n){\bf H}={\bf 0}$. 若取 $x_3$ 为由地面开始并指向上方的铅直坐标, 试证明: 沿流线成立 $$\bex \cfrac{u^2}{2}+p+\cfrac{1}{2}\mu_0H^2+gx_3=C, \eex$$ 其中 $g$ 为重力加速度, $C$ 沿同一流线为常数.…

设磁场 ${\bf H}$ 只有一个非零分量, 试证明 $$\bex ({\bf H}\cdot\n){\bf H}={\bf 0}. \eex$$ 证明: 不妨设 ${\bf H}=(0,0,H_3)^T$, 则 $$\bex \Div{\bf H}=0\ra \cfrac{\p H_3}{\p x_3}=0.  \eex$$ 于是 $$\bex ({\bf H}\cdot\n ){\bf H}=\sex{0,0,H_3\cfrac{\p H_3}{\p x_3}}^T={\bf 0}. \e…

试引进新的未知函数, 将 $p$ - 方程组 $$\beex \bea \cfrac{\p \tau}{\p t}-\cfrac{\p u}{\p x}&=0,\\ \cfrac{\p u}{\p t}+\cfrac{\p }{\p x}p(\tau)&=F. \eea \eeex$$ 化为守恒律形式的一阶拟线性对称双曲组. 这里假定 $p'(\tau)<0$. 解答: 由于流场是均熵流, 而 $$\bex \rd e=-p\rd \tau. \eex$$ 取 $$\bex W=e+…

对由第 10 题给出的 Lagrange 形式的一维理想流体力学方程组, 给出解在强间断线上应满足的间断连接条件 (假设体积力 $F\equiv 0$). 解答: $$\beex \bea \sez{\tau}\cfrac{\rd x}{\rd t}&=-[u],\\ [u]\cfrac{\rd x}{\rd t}&=[p],\\ \sez{e+\cfrac{u^2}{2}}\cfrac{\rd x}{\rd t}&=[pu]. \eea \eeex$$…