分析:对于每个数,找到欧拉函数值大于它的,且标号最小的,预处理欧拉函数,然后按值建线段树就可以了 #include <iostream> #include <stdio.h> #include <string.h> #include <algorithm> #include <cmath> #include <map> using namespace std; typedef long long LL; ; const int INF…

传送门:Bi-shoe and Phi-shoe 题意:给出多个n(1<=n<=1e6),求满足phi(x)>=n的最小的x之和. 分析:先预处理出1~1e6的欧拉函数,然后建立一颗线段树维护最大值,对于每个n询问大于等于n的最左边下标. #pragma comment(linker,"/STACK:1024000000,1024000000") #include <cstdio> #include <cstring> #include <…

链接 题意:给定长度为 \(n\) 的序列 A,每次求区间 \([l,r]\) 的乘积的欧拉函数 题解 考虑离线怎么搞,将询问按右端点排序,然后按顺序扫这个序列 对于每个 \(A_i\) ,枚举它的质因数,由于不同的质因数只算一次,所以我们只关心每个质数它最后一次出现的位置,开一棵线段树维护一下每个位置的质数,加入新的质数时,先把之前的删掉,再加新的 现在强制在线,可以开可持久化线段树维护一下 #include<bits/stdc++.h> #define REP(i,a,b) for(int…

题意 给出一个长度为 \(n\) 的序列 \(\{a_i\}\) 以及一个数 \(p\) ,现在有 \(m\) 次操作,每次操作将 \([l, r]\) 区间内的 \(a_i\) 变成 \(c^{a_i}\) . 或者询问 \([l, r]\) 之间所有 \(a_i\) 的和对 \(p\) 取模的结果 . \(n, m \le 5 \times 10^4, p \le 2^{14}\) 题解 考虑欧拉降幂(扩展欧拉定理),不会的可以看 这篇博客 . 然后对于这些不断叠加的指数,有如下式子 \[…

这题是六省联考的...据说数据还出了点锅,心疼六省选手QAQ 首先要知道扩展欧拉定理... 可以发现每次区间操作都会使模数进行一次phi操作,而一个数最多取logp次phi就会变成1,这时后面的指数就没有用了,以后这个数的答案就不会变化了,也就是说一个数最多只会进行log次修改,那么我们就可以用线段树维护,如果某棵子数的最小操作次数达到了使模数变成1的次数我们就不需要修改了. 但是我们发现快速幂还有一个log,如果不优化的话三个log很有可能TLE.这个时候就有新操作了,底数是一定的c,指数最大…

原题为2017六省联考的D1T3 给出一个序列,m次操作,模数p和参数c 操作分为两种: 1.将[l,r]区间内的每个数x变为\(c^x\) 2.求[l,r]区间内数的和%p 首先,我们要了解一些数论姿势: 1.扩展欧拉定理 //我们熟知的费马小定理用于p是质数,欧拉定理用于a,p互质,而这道题都不满足这个限制 当\((b>=\phi(p))\)时,\(a^b=a^{b\mod \phi(p) + \phi(p)}\) 2.(其实不算数论姿势)一个数最多经过log此\(\phi\)就会变成1 所…

刷个清新的数据结构题爽一爽? 题意: 有一棵点数为 N 的树,以点 1 为根,且树点有边权.然后有 M 个 操作,分为三种: 操作 1 :把某个节点 x 的点权增加 a . 操作 2 :把某个节点 x 为根的子树中所有点的点权都增加 a . 操作 3 :询问某个节点 x 到根的路径中所有点的点权和.   注意到操作3,询问x到根的路径之间点权和,容易发现这就是欧拉序列中的前缀和. 所以按照树的欧拉序列建线段树,然后操作1就变成单点修改,操作2,就变成了区间内某些点+a,某些点-a,也容易用tag…

题意: 有一棵点数为 N 的树,以点 1 为根,且树点有边权.然后有 M 个 操作,分为三种: 操作 1 :把某个节点 x 的点权增加 a . 操作 2 :把某个节点 x 为根的子树中所有点的点权都增加 a . 操作 3 :询问某个节点 x 到根的路径中所有点的点权和.   思路: 处理出这棵树的欧拉序,入栈时为这个点的正权,出栈时为这个点的负权 对于操作1,对x入栈点加a,出栈点减a 对于操作2,对x入栈点到x出栈点所有的点执行操作1 对于操作3,即查询点1的入栈点到x入栈点的点权和   在正…

题意: 操作 1 :把某个节点 x 的点权增加 a . 操作 2 :把某个节点 x 为根的子树中所有点的点权都增加 a . 操作 3 :询问某个节点 x 到根的路径中所有点的点权和. 显然树链剖分可做,但我是来练欧拉序列的 和splay维护一样了 其实没大有意义....如果树形态不改变人家树链剖分本来就可以维护子树信息.... 唯一的好处就是不会爆栈吧 #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #i…

AC通道 要点 欧拉函数对于素数有一些性质,考虑将输入数据唯一分解后进行素数下的处理. 对于素数\(p\)有:\(\phi(p^k)=p^{k-1}*(p-1)=p^k*\frac{p-1}{p}\),因此将\(a_i\)唯一分解后有:\(\phi(\prod_{i=l}^ra_i)=\prod_{i=l}^ra_i*\prod_{p\ \in P}\frac{p-1}{p}\),其中\(P\)是\([l,r]\)内的\(a_i\)分解后的素数集合. 这样转化公式以后,就只需线段树维护一下区间乘…

Codeforces 洛谷:咕咕咕 CF少有的大数据结构题. 思路 考虑一些欧拉函数的性质: \[ \varphi(p)=p-1\\ \varphi(p^k)=p^{k-1}\times (p-1)=p^k \times \frac{p-1}{p},k>0\\ \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b),gcd(a,b)=1\\ \dots \] 有上面三个就够了. 要求 \[ \varphi(\prod a_i) \] 可以考虑把\(\prod a_i\)拆成 \[ \p…

https://codeforces.com/contest/1114/problem/F 欧拉函数 + 区间更新线段树 题意 对一个序列(n<=4e5,a[i]<=300)两种操作: 1. 将a[l,r]的数字乘以x(x<=300) 2. 求\(\varphi(\prod_{i=l}^ra[i])\)对1e9+7取模 题解 欧拉函数性质 假如\(p\)是一个质数,\(\varphi(p)=p-1\),\(\varphi(p^k)=p^{k-1}*(p-1)=p^k*\frac{p-1}…

题目链接 传送门 题面 思路 设\(x=\prod\limits_{i=l}^{r}a_i\)=\(\prod\limits_{i=1}^{n}p_i^{c_i}\) 由欧拉函数是积性函数得: \[ \begin{aligned} \phi(x)&=\phi(\prod\limits_{i=1}^{n}p_i^{c_i})&\\ &=\prod\limits_{i=1}^{n}\phi(p_i^{c_i})&\\ &=\prod\limits_{i=1}^{n}p_…

这题我在考场上也是想出了正解的……但是没调出来. 题目链接:CF原网 题目大意:给一个长度为 $n$ 的序列 $a$,$q$ 个操作:区间乘 $x$,求区间乘积的欧拉函数模 $10^9+7$ 的值. $1\le n\le 4\times 10^5,1\le q\le 2\times 10^5,1\le a_i,x\le 300$.时限 5.5s,空限 256MB. 明显线段树. 有一个想法是维护区间积的欧拉函数,但是这样时间复杂度和代码复杂度都很高…… 我的做法是维护区间积.而欧拉函数,就是看看…

3813: 奇数国 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 755  Solved: 432[Submit][Status][Discuss] Description 在一片美丽的大陆上有100000个国家,记为1到100000.这里经济发达,有数不尽的账房,并且每个国家有一个银行.某大公司的领袖在这100000个银行开户时都存了3大洋,他惜财如命,因此会不时地派小弟GFS清点一些银行的存款或者让GFS改变某个银行的存款.该村子在财产上的求…

[bzoj3813]: 奇数国 题意:给定一个序列,每个元素可以分解为最小的60个素数的形式.(x=p1^k1*p2^k2*......p60^k60)(p1=2,p2=3,…,p60=281) 支持单点修改,查询一段区间的积的欧拉函数 mod 19961993(是一个质数). 线段树维护区间积x,bitset b[i]记录第i个素数是否存在. 预处理inv[i]=(p[i]-1)/p[i] mod 19961993 ans=x*inv[i] (b[i]==1) /* http://www.cn…

题面 传送门 思路 这题目是真的难读......阅读理解题啊...... 但是理解了以后就发现,题目等价于: 给你一个区间,支持单点修改,以及查询一段区间的乘积的欧拉函数值,这个答案对19961993取模 这里是欧拉函数的原因显然,题目中的那个不相冲实际上就是扩展欧几里得里面的那个定理,要满足不相冲(也就是方程有解),$product$和$number$必须互质 序列当中,每个元素大小不超过1e6,质因数都是前60个 那么我们显然可以开一棵线段树来维护这个区间乘积,但是怎么处理欧拉函数呢?$O(…

HYSBZ - 3813奇数国 中文题,巨苟题,巨无敌苟!!首先是关于不相冲数,也就是互质数的处理,欧拉函数是可以求出互质数,但是这里的product非常大,最小都2100000,这是不可能实现的.所以我们要求互质数的话,得用到所有金额都用60个素数表示的这个条件.也就是x=p1a1xp2a2x...p60a60表示,pi是第i个素数,ai是对应的指数,这就变成了互质素求欧拉函数,可以先了解一下欧拉函数,引用一下境外大佬的博客欧拉函数的讲解.我们需要用到这一条 p为质数 1. phi(p)=p-…

调了半天,写线段树老是写炸 /* 两个操作 1.区间乘法 2.区间乘积询问欧拉函数 欧拉函数计算公式 phi(mul(ai))=mul(ai) * (p1-1)/p1 * (p2-1)/p2 * .. * (pk-1)/pk 因为只有300以内的质数(62个)用一个long long来状态压缩 因此线段树结点维护住区间的质数状态集合S,区间的乘积 操作1 [l,r] x:把x质因数分解,然后更新S,然后再更新乘积, 操作2 [l,r]:询问到区间的状态集合S,区间的乘积,再求逆元进行除法 先把6…

A. 神炎皇 很好的一道题,可能第一次在考场上遇到欧拉函数 题意:对于一个整数对 $(a,b)$,若满足 $a\times b\leq n$且$a+b$是$a\times b$的因子, 则称为神奇的数对.问这样的数对共有个? 首先式子同时除一个$gcd(a,b)$,那么设$d=gcd(a,b)$,则$a=A/d,b=B/d$, 所以因为$a$,$b$,中已经将因子全部提出,所以$a\times b$与$a+b$是互质的 然后设$k$为$d/(a+b)$,显然$k\times (a+b)\time…

BZOJ_4026_dC Loves Number Theory _主席树+欧拉函数 Description  dC 在秒了BZOJ 上所有的数论题后,感觉萌萌哒,想出了这么一道水题,来拯救日益枯 竭的水题资源.    给定一个长度为 n的正整数序列A,有q次询问,每次询问一段区间内所有元素乘积的 φ(φ(n)代表1~n 中与n互质的数的个数) .由于答案可能很大,所以请对答案 mod 10^6 +  777. (本题强制在线,所有询问操作的l,r都需要 xor上一次询问的答案 lastans,…

题目大意:给你一个序列,求出指定区间的(l<=i<=r) mod 1000777 的值 还复习了欧拉函数以及线性筛逆元 考虑欧拉函数的的性质,(l<=i<=r),等价于 (p[j]是区间内所有出现过的质数) 那么考虑找出区间内所有出现过的质数,这思路和HH的项链是不是很像?? 由于此题强制在线,所以把树状数组替换成了主席树而已 原来我以前写的主席树一直都是错的......还好推出了我原来错误代码的反例 在继承上一个树的信息时,注意不要破坏现在的树 #include <cstd…

In an attempt to make peace with the Mischievious Mess Makers, Bessie and Farmer John are planning to plant some flower gardens to complement the lush, grassy fields of Bovinia. As any good horticulturist knows, each garden they plant must have the e…

题目链接  Round  #440  Div 1  Problem D 题意   把每个数看成一个点,如果$gcd(x, y) \neq 1$,则在$x$和$y$之间连一条长度为$1$的无向边.    设$d(u, v)$为$u$到$v$之间的最短路,如果$u$和v不连通那么$d(u, v) = 0$    现在给定$n$,求所有的满足$1 <= u < v <= n$的$d(u, v)$之和. 首先把$1$和大于$\frac{n}{2}$的质数去掉,这些数和任何数之间的最短距离为$0$…

题目链接  Power Tower 题意  给定一个序列,每次给定$l, r$ 求$w_{l}^{w_{l+1}^{w_{l+2}^{...^{w_{r}}}}}$  对m取模的值 根据这个公式 每次递归计算. 因为欧拉函数不断迭代,下降到$1$的级别大概是$log(m)$的,那么对于每一次询问最多需要递归$log(m)$次 注意每次求解欧拉函数的时候要用map存下来,方便以后查询 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define re…

题目链接 先看题目中给的函数f(n)和g(n) 对于f(n),若自然数对(x,y)满足 x+y=n,且gcd(x,y)=1,则这样的数对对数为f(n) 证明f(n)=phi(n) 设有命题 对任意自然数x满足x<n,gcd(x,n)=1等价于gcd(x,y)=1 成立,则该式显然成立,下面证明这个命题. 假设gcd(x,y)=1时,gcd(x,n)=k!=1,则n=n'k,x=x'k,gcd(x,y)=gcd(x,n-x)=gcd(x'k,(n'-x')k)=k,与假设gcd(x,y)=1不符,…

题目:戳这里 题意:要求构成有n个点,m条边的无向图,满足每条边上的两点互质. 解题思路: 显然1~n这n个点能构成边的条数,就是2~n欧拉函数之和(x的欧拉函数值代表小于x且与x互质的数的个数. 因此m>n-1 && m <= sum成立则可以构成无向图. 接着求出1e5以内的欧拉函数,求和可以发现前1000项的欧拉值就已经远远大于1e5. 所以m条边直接两层循环暴力即可. 附本人代码: 1 #include <bits/stdc++.h> 2 typedef l…

 number⋅x+product⋅y=1  有整数x,y解的条件是gcd(number, product) == 1. product用线段树维护一下,然后现学了个欧拉函数. 可以这样假如x = p1^a1 * p2^a2 * p3^a3 * ... * pn^an,那么phi(x) = (p1 - 1) * p1^(a1 - 1) + (p2 - 1) * p2^(a2 - 1) + (p3 - 1) * p3^(a3 - 1) + ... + (pn - 1) * pn^(an - 1).…

ACM训练联盟周赛 这一场有几个数据结构的题,但是自己太菜,不会树套树,带插入的区间第K小-替罪羊套函数式线段树, 先立个flag,BZOJ3065: 带插入区间K小值 计蒜客 Zeratul与Xor 赛后知道这是个01字典树的题目(嘤嘤嘤???) 这一场写了两道(具体来说就一道)就开溜了,但是计蒜客上这个比赛貌似没有赛后补题,但是有差不多的题目,所以去补那些题就可以了. 有题库链接,可以补题了. G. 算个欧拉函数给大家助助兴 这个题和上一场的 F.Divisions,其实就是一样的题目,代码…

找了一些曾经没提到的算法.这应该是数学基础系最后一篇. 曾经的文章: 数学基础I 莫比乌斯反演I 莫比乌斯反演II 数学基础II 生成函数 数学基础III 博弈论 容斥原理(hidden) 线性基(hidden) 卡特兰数/第二类斯特林数(hidden) 置换群(hidden) 莫比乌斯反演III(hidden) 线性筛(hidden) 欧拉函数 计算单个欧拉函数 设\(n\)的唯一分解为\(p_i\),则\(\varphi(n)=n\prod(1-\frac{1}{p_i})\). 奇偶性 \…